人教版九年级数学第一章总复习课件

1、一元二次方程的概念

像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。③都是整式方程;①只含一个未知数;②未知数的最高次数是2.即：一元二次方程的共同特点:例1：判断下列方程是否为一元二次方程？(1)x2+x=36(2)x3+x2=36(3)x+3y=36(5)x+1=0

1.关于x的方程(k－3)x2＋

2x－1＝0,当k

时，是一元二次方程．2.关于x的方程(k2－1)x2＋

2(k－1)x＋

2k＋

2＝0,当k

时，是一元二次方程．当k

时，是一元一次方程．≠3≠±1＝－13.m为何值时，方程（m-1）xm2+1+3x+2=0是关于x的一元二次方程？4.若关于x的方程2mx（x-1）-nx（x+1）=1，化成一般形式后为4x2-2x-1=0，求m、n的值。练习巩固

?问题(2)要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?分析:全部比赛共4×7=28场设应邀请x个队参赛,每个队要与其他个队各赛1场,由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共场.(x-1)即2、根据题意列一元二次方程3、一元二次方程的一般形式

一般地,任何一个关于x

的一元二次方程都可以化为的形式,我们把(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？想一想

ax2+bx+c=0(a≠

0)二次项系数一次项系数常数项找一元二次方程的二次项、一次项系数及常数项要先化为一般式例2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项3x2=5x-1(x+2)(x-1)=64-7x2=03x2－5x＋1＝0x2＋x－8＝0或－7x2＋0

x＋4＝03－5＋11＋1－8－70

43－5

111－8－70

4或7x2

－4＝070－4－7x2＋4＝0能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.4、一元二次方程的根1.已知x＝-1是方程x²-ax＋6＝0的一个根.则a＝___,另一个根为__.-762.若关于X的一元二次方程的一个根为0.则a的值为（）BA.1B.-1C.1或-1D.3、一元二次方程ax²+bx＋c=0，若x=1是它的一个根，则a+b+c=

.若a-b+c=0，则方程必有一根为

.0-14.已知m是方程x2+x－2009=0的一个根，求m2+m的值为

。提高题：若方程x2a+b-2xa-b+3=0是关于x的一元二次方程，则a、b的值各是多少？

一般地,对于形如x2=a

(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法（squarerootextraction）.这样就将一个一元二次方程转化成两个一元一次方程，这一过程称为一元二次方程的“降次”5、用直接开平方法解一元二次方程12122

练习解下列方程：方程的两根为:解：

注意：二次根式必须化成最简二次根式。把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

注意:配方时,等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.6、用配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程的步骤移项:把常数项移到方程的右边;化系数：二次项系数化为１；配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;开方:根据平方根意义,方程两边开平方;求解:解一元一次方程;定解:写出原方程的解.像上面那样,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫配方法。P9练习22.解下列方程：(5)x2+4x-9＝2x-11P9练习22.解下列方程：(3)3x2+6x-4＝0由上可知，一元二次方程的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ，当

就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。时，将a，b，c代入式子7、用求根公式法解一元二次方程公式法解一元二次方程的解题过程1.

把方程化成一元二次方程的一般形式写出方程各项的系数（系数包括前面符号）计算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值与0的关系，若b2-4ac的值小于0，则此方程没有实数根。当b2-4ac的值大于、等于0时，代入求根公式计算出方程的解（2）当 时，有两个相等的实数根。（1）当 时，有两个不等的实数根。（3）当 时，没有实数根。（4）当b2-4ac≥0时，有两个实数根。7、一元二次方程的根的情况一般的，式子b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b2-4ac。解：方程可化为例2用公式法解下列方程:(3)解：例2用公式法解下列方程：(2)解：方程可化为例2用公式法解下列方程:(4)∴方程无实数根。2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k的取值范围是（）

A.k>-1B.k>-1

且k≠0C.k<1D.

k<1且k≠0解:∵

＞0∴k＞-1又∵k≠0∴k＞-1且k≠01、关于x的一元二次方程有两个实根，则m的取值范围是——.注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根的两种情况。拓展延伸解：∴4.方程2x²-mx-m²=0有一个根为–1,m=

，另一个根为

。分解因式的方法有那些?（1）提取公因式法:（2）公式法:（3）十字相乘法:am+bm+cm=m(a+b+c).a2-b2=(a+b)(a-b),a2±2ab+b2=(a±b)2.x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).回顾与复习2用因式分解法解一元二次方程的步骤

1.方程右边化为______。

2.将方程左边分解成两个___________的乘积。

3.至少________因式为零，得到两个一元一次方程。

4.两个___________________就是原方程的根。零一次因式有一个一元一次方程的解AB=0（A、B表示两个因式）A=0或B=08、用因式分解法解一元二次方程用因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零;因式分解法2.理论依据是:如果两个因式的积等于零那么至少有一个因式等于零.因式分解法解一元二次方程的一般步骤:一移-----方程的右边=0;二分-----方程的左边因式分解;三化-----方程化为两个一元一次方程;四解-----写出方程两个解;因式分解如果a·

b=0，那么a=0或b=0。两个因式乘积为0，说明什么或降次，化为两个一次方程解两个一次方程，得出原方程的根（2）解：移项，得因式分解，得x＋2=0或3x－5=0∴x1=－2

，x2=解：化为一般式为因式分解，得x2－2x+1=0.(x－1)(x－1)=0.有x

－1=0或x

－1=0，x1=x2=1.解：因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.有2x+11=0或2x

－11=0，解：化为一般式为因式分解，得6x2－x

－2=0.(3x

－2)(2x+1)=0.有3x

－2=0或2x+1=0，x2-5x+6=0x2+5x-24=0x2+7x+10=0如果一元二次方程的两个根分别是、，那么：这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。9、用因式分解法解一元二次方程用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值例2：已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.

解：设方程的两个根分别是、，其中。所以：即：由于得：k=-7

答：方程的另一个根是，k=-7例如：已知方程x2＝2x＋1的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。（1）（x1－x2）2

（2）x13x2＋x1x23

（3）1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____。2、设X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则

X1+X2=

___,X1X2=____，

X12+X22=(X1+X2)2-___=

___(X1-X2)2

=(___)2-4X1X2=___

3、判断正误：以2和-3为根的方程是X2－X-6=0（）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是

_____

。X1+X22X1X2-3411412×2和-1基础练习（还有其他解法吗？）引申:1、若ax2

bx

c

0(a

0

0)（1）若两根互为相反数,则b

0;（2）若两根互为倒数,则a

c;（3）若一根为0,则c

0

;（4）若一根为1,则a

b

c

0;（5）若一根为

1,则a

b

c

0;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.以为两根的一元二次方程(二次项系数为1)为:4、已知两根求作新的方程例3：已知方程的两个实数根是且

求k的值。解：由根与系数的关系得

X1+X2=-k，X1×X2=k+2

又X12+X2

2=4

即(X1+X2)2-2X1X2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0

∵△=K2-4k-8当k=4时，△＜0当k=-2时，△＞0∴k=-2解得：k=4或k=－2例4：方程

有一个正根，一个负根，求m的取值范围。解:由已知,△={即{m>0m-1<0∴0<m<1总结规律：两根均为负的条件：X1+X2

且X1X2

。

两根均为正的条件：X1+X2

且X1X2

。

两根一正一负的条件：X1+X2

且X1X2

。

当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac≥0

。即：

一正根，一负根△＞0X1X2＜0两个正根△≥0X1X2＞0X1+X2＞0两个负根△≥0X1X2＞0X1+X2＜0{{{练习：方程x2

(m

1)x

2m

1

0求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？解:

(m

1)2

4(2m

1)

m2

6m

5①∵两根互为相反数∴两根之和m

1

0,m

1,且

0∴m

1时,方程的两根互为相反数.②∵两根互为倒数

m2

6m

5,∴两根之积2m

1

1m

1且

0,∴m

1时,方程的两根互为倒数.③∵方程一根为0,∴两根之积2m

1

0

且

0,∴时,方程有一根为零.有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?开始有一人患了流感,第一轮:他传染了x人,第一轮后共有______人患了流感.第一轮的传染源第一轮后共有________人患了流感.第二轮的传染源第二轮:这些人中的每个人都又传染了x人,第二轮后共有____________________人患了流感.x+1x+11+x+x(x+1)=(x+1)2列方程得1+x+x(x+1)=121x=10;x=-12(舍去)

有一个人收到短消息后,再用手机转发短消息,经过两轮转发后共有144人收到了短消息,问每轮转发中平均一个人转发给几个人?1+x1+x+(x+x2)分析:设每轮转发中平均一个人转发给x个人,第一轮后有

人收到了短消息,这些人中的每个人又转发了x人,第二轮后共有

个人收到短消息.2.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?3.要组织一场篮球联赛,每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?4.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?主干支干支干……小分支小分支……小分支小分支…………xxx1解:设每个支干长出x个小分支,则1+x+x●x=91即解得,

x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)答:每个支干长出9个小分支.5．(数字问题)两个连续奇数的积是323，求这两个数．解法一：设较小奇数为x，则另一个为x＋2，依题意，得x(x＋2)＝323.整理后，得x2＋2x－323＝0.解得x1＝17，x2＝－19.由x＝17，得x＋2＝19.由x＝－19，得x＋2＝－17.答：这两个奇数是17,19或者－19，－17.练习:

美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容。某城市近几年来通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）。（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2001年底的绿地面积为

公顷，比2000年底增加了

公顷；在1999年，2000年，2001年这三年中，绿地面积增加最多的是

____________年；（2）为满足城市发展的需要，计划到2003年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求2002年,2003年两年绿地面积的年平均增长率。20001999199820016042000解：设2002年,2003年两年绿地面积的年平均增长率为x，根据题意，得