《衍生金融工具》(第二版)习题及答案第8章

第八章1.一个基于无红利股票的一年期的欧式看跌期权，执行价格为25欧元，期权的即期交易价格为3.19欧元。股票的即期价格为23欧元，它的年波动率为30%。年无风险收益率为5%。那么基于相同股票的欧式看涨期权的价格是多少？以连续复利计算。解：根据看跌看涨平价，c=p+S-Xe-r(T-t)=3.19+23-25e-0.05*1=2.409美元2.一个无红利支付股票的美式看涨期权的价格为$4。股票价格为$31，执行价格为$30，3个月后到期。无风险利率为8%。请推出相同股票、相同执行价格、相同到期日的美式看跌期权的价格上下限。解：由公式S-X<S-Xe-r(T-t)，可得：31－30<4－P<31－30e-0.25*0.08即1.00<4.00－P<1.59，该美式看跌期权的价格上下限为：2.41<P<3.003.你现在要对一个两年期执行价格为45美元的欧式看涨期权定价。已知初始股票价格为50美元，连续无风险利率为3%。为了确定该期权的价格范围，你考虑计算价格的上下限。那么该期权价格的上界与下界的差是多少？解：价格的上界是S=50，下界c>S-Xe-r(T-t)=50-45e-0.03*2=7.62美元那么上下界的差为50-7.62=42.38美元4.列举影响期权价格的6个因素，并简述其影响的机理。解：影响期权价格的6个因素有：标的资产价格、期权的执行价格、无风险利率、资产价格的波动率、期限以及持有期间收益。5.请解释为什么对欧式看涨期权与看跌期权之间平价关系的讨论用于美式期权不可能得到相同的结论。解：当不可提前执行时，我们可认为若两资产价值在T期相同，则在前几期也应相同。当可提前执行，以上论述则不成立。假设：P+S>C+Xe-rT，这并不存在套利机会。因为如果我们买看涨期权，卖空看跌期权并卖空股票，我们并不能确定其结果，因为我们并不确定看跌期权是否会被执行。6.一个期限为4个月的无红利支付股票的欧式看涨期权现价为$5。股票价格为$64，执行价格为$60，一个月后发红利$0.80。对所有期限的无风险年利率为12%。对套利者而言存在什么样的机会？解：执行价格现值为60e-0.3333*0.12=$57.65,红利现值为0.8e-0.08333*0.12=$0.7。因为5<64−57.65−0.79，所以，应买看涨期权的同时卖空股票，则无论如何，均将获利。1）如果股价降到低于$60，套利者将在期权损失$5，但从空头股票上至少可获得64−57.65−0.79=$5.56（现值）利润。2）如果到期日股价高于$60，套利者可获5.56－5.00＝$0.56(现值)利润。7.请直观的解释为什么当无风险利率上升且波动率减少时，提前执行美式看跌期权变得很有吸引力。解：当执行价格的利息（时间价值）大于保险价值损失时，提前执行美式看跌期权更具吸引力。1）当利率上升，执行价格的利息（时间价值）增加，这会使提前执行更具吸引力。2）当波动率减少，保险价值下降，也使提前执行更具吸引力。8.执行价格为$30，6个月后到期的欧式看涨期权的价格为$2，标的股票的价格为$29，2个月后和5个月后分红利$0.5。期限结构为水平，无风险利率为10%。执行价格为$30，6个月后到期的欧式看跌期权的价格为多少？解：由看涨－看跌期权平价公式：C+Xe-r(T-t)+D=P+S,则有：P=C+Xe-r(T-t)+D−Sp=2+30e-0.5*0.1+0.5e-0.1667*0.1+0.5e-0.4167*0.1−29=2.51所以6个月后到期的欧式看跌期权价格为$2.519.在习题8中，如果欧式看跌期权的价格为$3，请说明存在什么样的套利机会？解：若上题中，欧式看跌期权为$3，套利者可买入看涨期权、卖空看跌期权、卖空股票进行套利。无论在何种情形中，均可将利润锁定在3.00－2.51＝$0.49的现值水平。10.执行价格为$20，3个月后到期的欧式看涨期权和欧式看跌期权，售价都为$3。无风险年利率为10%，股票现价为$19，预计1个月后发红利$1。请说明对投资者而言，存在什么样的套利机会。解：因为P+S=3+19=22，而C+Xe-r(T-t)+D=3+20*e-0.10*0.25+1*e-0.10*0.0833=23.50所以，P+S>C+Xe-r(T-t)+D。因而存在套利机会，可通过买看跌期权，卖空股票及看涨期权来进行套利。11.“提前执行美式看跌期权是在货币的时间价值与看跌期权的保险价值之间的权衡。”请解释这句话。解：美式期权能为其标的股票提供保险，它可使股票以执行价格X出售。如果期权提早执行，则保险消失，但期权多头立即获得股票价格，并可获得提早执行日至到期日间资金X的时间价值。12.请给出两个原因说明为什么早执行无红利支付股票的美式看涨期权不是最好的。第一条原因应包括货币时间价值。第二条原因在利率为零时也成立。解：1）推迟执行可推迟支付期权的执行价格，期权持有者可赚取执行价格更长时间的时间价值；2）推迟执行可提供保值价值，避免执行日时股价低于执行价格。假设期权购买者有现金X，且利率为0。提早执行会使期权购买者头寸在到期日为S,而推迟执行买方头寸在到期日则为max（X,S）13.讨论题股票期权是指给一个员工以一定的行权价格(一般是一个很低的价格),在一段时间里买入公司普通股的权利。公司在刚起步的时候,付不起很高的工资,而且要员工放弃原有稳定的工作,这个时候期权就对员工有很大的激励作用。除了可以“吸引”员工加入之外,期权还可以起到“留住”员工的作用。一个员工如果拿了工资或者奖金,然后离开公司,对公司肯定有损害,但对员工自己没有损害。员工如果拿了期权,情况就不一样了:首先,期权需要几年(一般是3~5年)才会被授予,早走就少拿。如果是5年绑定期,他工作了2年就走,只能拿五分之二。其次,一般的期权协议规定,辞职的员工在离职后90天内必须行使期权,过期作废,这样即使是一分钱、一角钱的美元期权,如果是几万股,员工也可能要拿出上万元人民币才能拿到这些普通股。在公司上市前,这些普通股是不流通的,只是一张白纸而已,所以对很多员工来讲,买不买是一个困难的决定。第三,一个重要的员工走了,对公司造成损失,同样他作为股东也要承受这些损失,这也会成为促使一个员工留在公司的原因之一,或者至少不太可能离开公司到竞争对手那里去,做出对公司有害的事情。在实际中,创业者经常会遇到这样的问题:第一，最常见的问题是“给多少”。第二大问题是期权授予期限的问题，是3年、4年还是5年?第三大问题是期权授给多少人。第四大问题是行权价格该定多少。股票期权是小公司能够吸引人才并且留住人才的最大法宝,而人是公司成功最重要的因素。答：《上市公司股权激励办法（试行）》对数量规定：上市公司全部有效的股权激励计划所涉及的标的股票总数累计不得超过公司股本总额的10%。非经股东大会特别决议批准，任何一名激励对象通过全部有效的股权激励计划获授的本公司股票累计不得超过公司股本总额的1%。有效期包含等待期和行权期。等待期是指自期权颁发后，职工需要在公司任职满一定时间之后，期权的承诺才开始生效，等待期通常从1年到3年不等。行权的期限，指的是自期权生效后，职工能够在必定的时刻内真实行使期权。普华永道的研究发现，从全球到我国，期权的有效期都呈现出缩短的趋势。以往大多企业将有效期设定在10年甚至更多，如今设定在5年到7年的实践会更多一些。一个重要原因是，影响期权估值的一个重要因素是行权期，有效期越长，经过等待期后，那么行权期就越长，期权的估值相应越大，也意味着公司的财务成本越高。所以公司开始恰当缩短有效期，在保持鼓励作用的前提下合理计划公司的财务成本。激励对象一般为在公司领取报酬的董事（不含独立董事）、高级管理人员、中层管理人员、核心技术、业务人员等，也有公司仅将董事、高级管理人员列为激励对象。有些公司预留部分限制性股票、股票期权给将来引进的关键岗位人员。员工在行使期权的时按某一既定价格购买股票。行权价格定得越低也就意味着期权的价值越高，公司将会承担越高的财务成本，这样对公司的报表影响也越大。同时，在行权价格上也需要遵从上市法规中的相关要求。影响期权估值的要素有很多，包含公司现在股票报价情况，无风险利率的情况，行权期的长短等，许多要素都会影响到期权定价。关于期权定价，现在国内许多公司都在用Black-Scholes模型。《上市公司股权激励办法（试行）》规定，上市公司授予的行权价格不应低于下列价格较高者：股权激励计划草案摘要公布前一个交易日的公司标的股票收盘价，股权激励计划草案摘要公布前30个交易日内公司标的股票的平均收盘价。14.试证明有收益的资产的美式看涨期权与看跌期权的价格之间关系：S-D-K≤C-P≤S-D-Ke-r(T-t)。证明：首先验证无收益欧式看涨期权与欧式看跌期权之间的平价关系。构造如下两个资产组合:组合A:一份欧式看涨期权加上金额为的现金;组合B:一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产。期权到期时，两组合的价值都为。由于欧式期权不能提前执行，因此在t时刻两组合必须具有相等的价值：这就是无收益欧式看涨期权与欧式看跌期权之间的平价关系。对于美式期权，由于，由(1)式可得对于无收益资产美式看涨期权来说，由于c=C，因此即为了推导出更严密的C与P的关系，考虑以下两个资产组合：组合C：一份欧式看涨期权加上金额为K的现金组合D：一份美式看跌期权加上一单位标的资产如果美式期权没有被提前执行，T时刻组合D的价值为组合C的价值为，组合C的价值大于组合D。若在τ时刻美式期权被提前执行，则在τ时刻组合D的价值为K，组合C的价值大于等于，因此组合C的价值也大于组合D。也就是说，无论美式期权是否被提前执行，组合C的价值都大于组合D，因此在t时刻，组合C的价值也应大于组合D，即：由于c=C，则综上可得，对于有收益的美式看涨期权与美式看跌期权之间的价格关系，我们只需将组合C中的现金改为D+K，即可得：15.股票价格为52美元，无风险年利率为10%，一个基于这个股