第2讲公式法解决等差数列问题-四年级数学上册数学思想方法系列（人教版）（含解析）

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第2讲等差数列中的奥秘

把一些数按照一定顺序排成一列叫做数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中数的个数（项的个数）叫做项数。像：

0，1，2，3，4，5，6…

2，4，6，8，10，12…

1，4，7，10，13，16…

100，90，80，70，60…

从第2项起，每一项与前一项的差是同一个数。这个数列叫做等差数列。等差数列常见问题公式：

第n项＝首项＋（n－1）公差

项数＝（末项－首项）÷公差＋1

和＝（首项＋末项）项数÷2

【例题1】

1．有20个数，第一个数是9，以后每一个数都比前一个数大2，第20个数是（）

A．47B．49C．51D．53

思路分析：由于第一个数是9，从第二个数起，每一个数都比前一个数大2，所以第20个数比9大19个2。

规范解答：

。

答：第20个数是47。

故选：A。

【例题2】

2．有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有4根圆木，每向下一层增加二根，一共堆了28层，那么最下面一层有()根。

思路分析：本题看作是等差数列，首项是4，公差是2，项数是28，求末项，根据高斯求和相关公式：末项首项（项数公差解答即可。

规范解答：

（根）

答：最下面一层有58根。

【例题3】

3．粗心的俊俊想要计算“”的和，但他不慎把其中的一个数加了两次，结果得到了64，那么，俊俊把()加了两次。

思路分析：按照正确的计算一下，再找出两次的数字差即可求解。

规范解答：正确的做法是

原式

；

算错的结果是64，其中有一个数字计算两次，

；

【例题4】

4．在一个神奇的地方，有一排奇怪的雕塑，这些雕塑都是由巧克力构成的，第一个雕塑由3块巧克力组成，第二个雕塑由6块巧克力组成，第三个雕塑由9块巧克力组成，以此类推，每个雕塑都比前一个多3块巧克力。那么，第()个雕塑恰好由2023块巧克力组成。

思路分析：先观察，显然这些雕塑的巧克力块数组成一个首项为3，公差为3的等差数列，可以先求出数列的通项公式，再算第几项为2023。

规范解答：根据分析，这些雕塑的巧克力块数组成一个首项为3，公差为3的等差数列，设此数列第项为，则

由题意，

故答案为：671。

【例题5】

5．有这样一列数：1，2，3，4，5，…，99，100，请求出这列数各项相加的和。

思路分析：如果把数列1，2，3，4，5，…，99，100这100个数配对，如：1＋100，2＋99，3＋98，4＋97，…，50＋51，每对的和都是101，一共有100个数，2个配一对，一共可以配50对。这样就可以求出这100个数的和。

规范解答：1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋100

＝（1＋100）100÷2

＝5050

1.等差数列求项数

6．有一列数：4，10，16，22，…，52，这个数列一共有多少项？

7．有一个等差数列，首项是11，末项是101，总和是504，这个数列共有多少项？

2.等差数列求末项

8．有一个等差数列：1，4，7，10，…，这个等差数列的第30项是多少？

9．有一个等差数列：3，7，11，15，…，这个等差数列的第100项是多少？

3.等差数列求和

10．求2＋4＋6＋8＋…＋98＋100的和。

11．有一列数：3，6，9，12，…，99，请求出这列数的和。

4.利用等差数列解决问题

12．一箱苹果，第一次从箱里拿出1个，第二次拿出3个，第三次拿出5个，以后每次比前一次多拿2个，10次刚好拿完。这箱苹果一共有多少个？

13．一个电影院设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每一排都比前一排多2个座位，这个电影院一共设置了多少个座位？

14．若三个连续奇数的和是111，则最小的奇数是()。

15．在数列5，12，19，26…中，从左往右数第()个数是2023。

16．小明发现在2023年3月的日历某一列上的5个日期的数字之和是80，那么这一列上的第二个日期是()号。

17．若五个连续偶数的和是320，这五个偶数中最小的一个是()。

18．某收购站依墙堆放着同样大小的玻璃瓶（如图）。这堆玻璃瓶共有个。

19．刘大妈做一批工艺鞋，第一天做了8双，第二天起手艺越来越熟练，每天都比前一天多做2双，最后一天做了24双。她一共做了（）天？

A．7B．8C．9D．10

20．小明看一本故事书，第一天看25页，以后每天都比前一天多看3页，第五天从()页开始看。

21．药店有5000个口罩，前三天每天卖200个口罩（只卖不进），之后每天白天卖出800个，晚上买进700个，第()天刚好第一次卖光。

试卷第1页，共3页

试卷第1页，共3页

参考答案：

1．A

【分析】由于第一个数是9，从第二个数起，每一个数都比前一个数大2，所以第20个数比9大19个

【详解】9+（20﹣1）×2

=9+19×2

=9+38

=47．

答：第20个数是47．

2．58

【分析】由题可知：最上面的一层有4根圆木，每向下一层增加二根；

那么第二层就有4＋2×（2－1）根圆木；

第三层有4＋2×（3－1）根圆木；

第四层有4＋2×（4－1）根圆木；

……当到第n层时，就有4＋2×（n－1）根圆木；带入层数计算即可。

【详解】由分析得

4＋2×（28－1）

＝4＋2×27

＝4＋54

＝58（根）

那么最下面一层有58根。

【点睛】此题主要考查探索规律，找准规律是解题的关键。

3．9

【分析】按照正确的计算一下，再找出两次的数字差即可；据此解答。

【详解】根据分析：

＝11×10÷2

＝110÷2

，所以俊俊把9加了两次。

【点睛】观察并找出算式计算的规律，可以用更简便的方法进行计算。

4．671

【分析】第一个雕塑有（3×1＝3）块巧克力，第二个雕塑有（3×2＝6）块巧克力，第三个雕塑有（3×3＝9）块巧克力，第几个雕塑，巧克力的块数就是3的几倍。用2023除以3，即可算出是第几个雕塑恰好由2023个巧克力组成。

【详解】2023÷3＝671（个）

第671个雕塑恰好由2023块巧克力组成。

【点睛】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。

5．5050

【分析】如果把数列1，2，3，4，5，…，99，100这100个数配对，如：1＋100，2＋99，3＋98，4＋97，…，50＋51，每对的和都是101，一共有100个数，2个配一对，一共可以配50对，这样就可以求出这100个数的和。

【详解】1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋100

＝（1＋100）100÷2

＝101×100÷2

＝10100÷2

＝5050

答：这列数各项相加的和是5050。

【点睛】本题主要考查简单周期现象中的规律，关键培养对知识点的记忆、理解能力。

6．9项

【分析】根据“（末项－首项）÷公差＋1＝项数”解题；据此解答。

【详解】（52－4）÷（10－4）＋1

＝48÷6＋1

＝8＋1

＝9（项）

答：这个数列一共有9项。

【点睛】掌握等差数列项数的计算方法是解答本题的关键。

7．9项

【分析】等差数列的求和公式是：（首项＋末项）×项数÷2＝和，用504乘2再除以（11＋101），即可算出这个数列共有多少项。

【详解】504×2÷（11＋101）

＝504×2÷112

＝1008÷112

＝9（项）

答：这个数列共有9项。

【点睛】此题考查的是等差数列，熟记等差数列的求和公式是解题关键。

8．88

【分析】4－1＝3、7－4＝3、10－7＝3，观察发现公差为3，求等差数列第n项时，用“首项＋（n－1）×公差”即可求出；据此解答。

【详解】1＋（30－1）3

＝1＋29×3

＝1＋87

＝88

答：这个等差数列的第30项是88。

【点睛】掌握求等差数列的计算方法是解答本题的关键。

9．399

【分析】这组数据的排列规律是前一个数字加4得到下一个数字，第100项加了（100－1）个4，（100－1）乘4再加上第一个数字即是这个等差数列的第100项。

【详解】（100－1）×4＋3

＝99×4＋3

＝396＋3

＝399

答：这个等差数列的第100项是399。

【点睛】找出这组数据的排列规律是解题关键。

10．2550

【分析】从2数到100的偶数有50个，将第一个数2与末尾的数100相加，再将第二个数4与倒数第二个偶数98相加，发现每组数的结果都相等，那么凑成的数乘50再除以2即可；据此解答。

【详解】（2＋100）50÷2

＝102×50÷2

＝5100÷2

＝2550

答：2＋4＋6＋8＋…＋98＋100的和是2550。

【点睛】掌握算式的规律是解答本题的关键。

11．1683

【分析】先求出这组数有几项：（尾项－首项）÷公差＋1＝项数，再将首位相加，乘项数然后除以2即可；据此解答。

【详解】（99－3）÷（6－3）＋1

＝96÷3＋1

＝32＋1

＝33（项）

（3＋99）×33÷2

＝102×33÷2

＝3366÷2

＝1683

答：这列数的和是1683。

【点睛】掌握等差数列的计算方法是解答本题的关键。

12．100个

【分析】每次比前一次多拿2个，拿出的苹果个数是：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。将这组数据相加，利用等差数列求和公式即可算出这箱苹果一共有多少个。

【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19

＝（1＋19）×10÷2

＝20×10÷2

＝200÷2

＝100（个）

答：这箱苹果一共有100个。

【点睛】等差数列的求和公式是（首项＋末项）×项数÷2。

13．1140个

【分析】每一排都比前一排多2个座位，最后一排增加了（20－1）个2个座位，增加的座位个数加上第一排座位个数，即可算出这个电影院的第20排有多少个座位。将第一排到第20排的座位数相加，根据等差数列的求和公式：（首项＋末项）×项数÷2，即可算出这个电影院一共设置了多少个座位。

【详解】38＋（20－1）×2

＝38＋19×2

＝38＋38

＝76（个）

（38＋76）×20÷2

＝114×20÷2

＝2280÷2

＝1140（个）

答：这个电影院一共设置了1140个座位。

【点睛】此题考查的是等差数列，熟记等差数列的求和公式：（首项＋末项）×项数÷2是解题关键。

14．35

【分析】这三个连续奇数的平均数是中间的那个数，平均数＝总数÷总份数，用111除以3即可算出这三个连续奇数中间的那个数，中间的数再减去2就是最小的奇数。

【详解】111÷3－2

＝37－2

＝35

若三个连续奇数的和是111，则最小的奇数是35。

【点睛】此题主要考查奇数的认识和对平均数意义的理解，解题关键是掌握三个连续奇数的排列规律。

15．287

【分析】观察这组数，5＋7＝12，12＋7＝19，19＋7＝26……这组数的规律就是连续加7。2023减去5再除以7，即可算出连续加了多少个7，再将商加1即可。

【详解】（2023－5）÷7

＝2023÷7

＝286（个）

286＋1＝287（个）

在数列5，12，19，26…中，从左往右数第287个数是2023。

16．9

【分析】日历表上同一列上的数字之间的差是7，这5个日期的数字之和是80，用80除以7即可算出这一列数字中最中间的那个日期，最中间的那个日期减去7即可算出这一列上的第二个日期是几号。

【详解】80÷5－7

＝16－7

＝9（号）

小明发现在2023年3月的日历某一列上的5个日期的数字之和是80，那么这一列上的第二个日期是9号。

【点睛】理解日历表上日期的排列规律是解题关键。

17．60

【分析】五个连续偶数的相邻两个数之间相差2，若五个连续的偶数的和是320，即那么五个数中间的那个数应是这五个数的平均数，，所以这五个数是60、62、64、66、68；据此解答。

【详解】根据分析：，即这五个数是：60、62、64、66、68，所以这五个偶数中最小的一个是60。

【点睛】掌握偶数的概念是解答本题的关键。

18．135

【分析】玻璃瓶的横截面是梯形，且每向下一层增加一个玻璃瓶，玻璃瓶的层数就是梯形的高，所以可以根据梯形的面积公式求出玻璃瓶的个数。

【详解】由图和题意知：玻璃瓶个数＝（上层个数＋下层个数）×层数÷2，

（13＋17）×9÷2

＝30×9÷2

＝135（个）

【点睛】此题考查了梯形面积公式的实际应用。

19．C

【分析】每天都比前一天多做2双，这列数据的排列规律是：8、10、12、14……24，用24减去8再除以2，即可算出加了多少个2件，再将商加1即可算出一共做了多少天。

【详解】（24－8）÷2＋1

＝16÷2＋1

＝8＋1

＝9（天）

她一共做了9天。

故答案为：C

【点睛】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。

20．119

【分析】小明每天都比前一天多看3页，他第二天看了（25＋3）页，第三天看了（25＋3＋3）页，第四天看了（25＋3＋3＋3）页。将这4天看的页数相加，再加1即是第五天开始看的页数。

【详解】25＋3＝28（页）

28＋3＝