第8章-回归正交试验设计

第8章回归正交试验设计OrthogonalRegressionDesign正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试验范围内的最优方案回归正交设计（orthogonalregressiondesign）：可以在因素的试验范围内选择适当的试验点用较少的试验建立回归方程能解决试验优化问题不适合非数量性因素8.1一次回归正交试验设计及结果分析建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的一次回归方程例：m＝3时，一次回归方程：

y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：

y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x38.1.1一次回归正交设计的基本方法（1）确定因素的变化范围以因素xj为例：设xj

的变化范围为[xj1，xj2]xj1为xj的下水平xj2为xj的上水平

xj0为xj的零水平：xj0＝(xj1＋xj2)/2因素xj的变化间距Δj：Δj＝上水平－零水平＝xj2－xj0Δj=(xj2

－xj1)/2（2）因素水平的编码zj：因素xj的编码，称为规范变量

xj：自然变量

上水平xj2的编码：zj2＝1下水平xj1的编码：zj1＝－1零水平xj0的编码：zj0＝0

编码（coding）：将因素xj的各水平进行线性变换：编码目的：使每因素的每水平在编码空间是“平等”的，规范变量zj的取值范围都是[－1，1]编码能将试验结果y与因素xj（j＝1，2，…，m）之间的回归问题，转换成试验结果y与编码值zj之间的回归问题（3）一次回归正交设计表将二水平的正交表中“2”用“－1”代换，例：回归正交设计表的特点：任一列编码的和为0任两列编码的乘积之和等于0正交性（4）试验方案的确定可参考正交设计的表头设计方法交互作用列的编码等于表中对应两因素列编码的乘积零水平试验（中心试验）

表头设计：8.1.2一次回归方程的建立总试验次数为n

：

n＝mc＋m0mc：二水平试验次数m0：零水平试验次数一次回归方程系数的计算：常数项：a一次项系数：bj交互项系数：bjk

j＝1，2，…，m

j＞k,k＝1，2，…，m－1说明：求得的回归系数直接反映了该因素作用的大小回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负Zji是Zj列各水平的编码ZjZk列各水平的编码8.1.3回归方程及偏回归系数的方差分析8.1.3.1无零水平试验时①平方和：总平方和：一次项偏回归平方和：交互项偏回归平方和：回归平方和：残差平方和：②自由度dfT＝n―1各种偏回归平方和的自由度＝1回归平方和的自由度：残差自由度：不考虑交互作用时:dfR=m，dfe=n-m-1。无论是否考虑交互作用，都不影响偏回归系数的计算公式③均方④F检验：回归方程显著性检验偏回归系数显著性检验：判断因素或交互作用对试验的影响程度可直接从回归方程中剔除这些一次和交互项经检验不显著的因素或交互作用应归入残差，重新检验例8-1：用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅，为提高测定灵敏度，希望吸光度大。为提高吸光度，对x1（灰化温度/℃）、x2（原子化温度/℃

）和x3（灯电流/mA）三个因素进行了考察，并考虑交互作用x1x2,x1x3,已知x1=300-700℃,x2=1800-2400℃，x3=8-10mV。试通过一次回归正交试验确定吸光度与三个因素之间的函数关系式。（1）因素水平编码-1（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）考虑交互作用x1x2,x1x3X1X2X3（2）正交表的选择和试验方案的确定（3）回归方程的建立m0＝0，n＝mc＝8计算表计算各回归系数写出y与规范变量zj的回归方程根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向（4）方差分析（5）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量xj的回归方程序号z1z2z1z2z3z1z3yy2z1yz2yz3y(z1z2)y(z1z3)y1111110.5520.3047040.5520.5520.5520.5520.5522111-1-10.5540.3069160.5540.554-0.5540.554-0.55431-1-1110.4800.2304000.480-0.4800.480-0.4800.48041-1-1-1-10.4720.2227840.472-0.472-0.472-0.472-0.4725-11-11-10.5160.266256-0.5160.5160.516-0.516-0.5166-11-1-110.5320.283024-0.5320.532-0.532-0.5320.5327-1-111-10.4480.200704-0.448-0.4480.4480.448-0.4488-1-11-110.4840.234256-0.484-0.484-0.4840.4840.484∑4.0382.0490440.0780.270-0.0460.0380.058由上表得得回归方程：由该回归方程中偏相关系数的大小，可以得到各因素和交互作用的主次顺序方差分析再计算df,MS,F,显著性，得方差分析表对显著性水平α=0.05，只有因素z2对试验指标y有非常显著的影响，其它因素及交互作用都无显著影响，故可以将z1,z3,z1z3,z1z2并入残差，然后再进行方差分析得新的回归方程：y=0.50475+0.03375z2根据编码公式将上述线性回归方程进行回代，得有关y与x2的回归方程Y=6.79525+0.0001125x28.1.3.2有零水平试验时目的：进行回归方程的失拟性（lackoffit）检验（要求m0≥2）失拟性检验：为了检验一次回归方程在整个研究范围内的拟合情况失拟性检验步骤：

设m0次零水平试验结果为y01，y02，…，y0m0

①重复试验误差：平方和：重复试验误差的自由度：由计算公式可知，只有回归系数a与零水平试验次数m0有关，其它偏回归系数都只与mc有关，所以增加零水平试验后回归平方和SSR没有变化②回归方程失拟部分：失拟平方和：失拟平方和自由度：包括其它因素及xj的高次项等引起的差异对于给定的显著性水平α（一般取0.1）当FLf＜Fα（dfLf，dfe1）时，就认为回归方程失拟不显著，失拟平方和SSLf是由随机误差造成的，所建立的回归方程是拟合得很好例8-2③失拟检验：8.2二次回归正交组合设计回归方程的建立：根据最小二乘法原理得到正规方程组求解正规方程组，得回归系数要求：试验次数＞回归方程的项数回归正交组合设计：在一次回归正交试验设计的基础上再增加一些特定的试验点，通过适当的组合形成试验方案8.2.1二次回归正交组合设计表（1）二元二次回归正交组合设计试验方案二元二次回归方程：试验方案正交组合设计的三类试验点及次数：二水平试验：全实施：mc＝2m

1/2实施：mc＝2m－11/4实施：mc＝2m－2

星号试验：与原点（中心点）的距离都为γ,mγ＝2m

零水平试验：各因素水平编码都为零时的试验试验次数m0

总试验次数：n=mc+2m+m0

二元二次回归正交组合设计（2）三元二次回归正交组合设计试验方案三元二次回归方程：试验方案

三元二次回归正交组合设计（3）星号臂长度与二次项的中心化

①星号臂长度星号臂长度γ与因素数m，零水平试验次数m0及二水平试验数mc有关γ的确定公式计算

参考表8-18m0因素数m234（1/2实施）45（1/2实施）511.0001.2151.3531.4141.5471.59621.0781.2871.4141.4831.6071.66231.1471.3531.4711.5471.6641.72441.2101.4141.5251.6071.7191.78451.2671.4711.5751.6641.7711.84161.3201.5251.6231.7191.8201.89671.3691.5751.6681.7711.8681.94981.4141.6231.7111.8201.9142.00091.4571.6681.7521.8681.9582.049101.4981.7111.7921.9142.0002.097二次回归正交组合设计γ值表②二次项的中心化对二次项的每个编码进行中心化处理：

(二次项编码)－(二次项编码算术平均值)试验号z1z2z1z2z12z22z1’z2’1111111/31/321－1－1111/31/33－11－1111/31/34－1－11111/31/35100101/3－2/36－100101/3－2/3701001－2/31/380－1001－2/31/3900000－2/3－2/3二元二次回归正交组合设计编码表8.2.2二次回归正交组合设计的应用（1）基本步骤①因素水平编码试验因素的水平被编为－γ，－1，0，1，γ变化间距：Δj＝上水平－零水平＝零水平－下水平规范变量zj自然变量xjx1x2…xm上星号臂γx1γx2γ…xmγ上水平1x12＝x10＋Δ1x22＝x20＋Δ2…xm2＝xm0＋Δm零水平0x10x20…xm0下水平－1x11＝x10－Δ1x21＝x20－Δ2…xm1＝xm0－Δm下星号臂－γx－1γx－2γ…x－mγ变化间距ΔjΔ1Δ2…Δm因素水平的编码表②确定合适的二次回归正交组合设计参考表8-22因素数m选用正交表表头设计mcmγ2L4（23）1，2列22＝443L8（27）1，2，4列23＝864（1/2实施）L8（27）1，2，4，7列24－1＝884L16（215）1，2，4，8列24＝1685（1/2实施）L16（215）1，2，4，8，15列24－1＝16105L32（231）1，2，4，8，16列25＝3210正交表的选用③试验方案的实施