高中数学人教A版（2023）选修二4.2等差数列同步练习（答案＋解析）

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4.2等差数列

一、单选题

1．（2023高二上·洛南月考）等差数列{}前n项和为，满足，则下列结论中正确的是（）

A．是中的最大值B．是中的最小值

C．=0D．=0

2．（2023·漯河模拟）已知等差数列的前n项和为，且，，则取得最大值时（）

A．14B．15C．16D．17

3．（2023高三上·温州月考）设公差为d的等差数列的前n项和，若，则（）

A．1B．2C．3D．4

4．（2023·浙江模拟）已知等差数列，公差，记，则下列等式不可能成立的是（）

A．B．C．D．

5．（2022高二上·广东期末）图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是（）

A．66B．91C．107D．120

6．（2023高一下·杭州期中）等差数列的前n项和为，且满足，则下列数中恒为常数的是（）

A．B．C．D．

7．（2023高三上·襄阳月考）已知为等差数列，，，的前n项和为，则使得达到最大值的是（）

A．19B．20C．21D．22

8．（2023高二上·北京月考）已知等差数列的前n项和为，，，是（）

A．5B．5C．2.5D．2.5

9．（2023高二上·林州月考）设等差数列的前项和为，，，若，，则数列的最小项是

A．第6项B．第7项C．第12项D．第13项

10．（2023高二上·柯桥期末）数列是公差不为零的等差数列，为其前n项和．若对任意的，都有，则的值不可能是（）

A．B．2C．D．3

11．（2023高二上·榆林月考）在等差数列中，，，则的前10项和为（）

A．-80B．-85C．-88D．-90

12．（2023高一下·诸暨期中）已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）

A．2B．3C．5D．4

13．（2023高一下·芜湖期末）设是等差数列的前n项和，若，则（）

A．B．C．D．

14．（2023·贵港模拟）已知数列满足，其中、为常数，则“”是“数列为等差数列”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

15．（2023高三上·包头开学考）若数列中，，，则（）

A．136B．144C．162D．170

16．（2023高二上·商丘期末）已知数列满足，，则（）

A．B．C．12D．21

17．（2023高二下·兴宁期中）已知f(n)＝，则（）

A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝

B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝

C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝

D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝

18．（2023·沧县模拟）已知等差数列的前项和为，则（）

A．21B．11C．-21D．0

19．（2023高二上·上海月考）在等差数列中，设，则是的（）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分非必要条件

20．（2023高二上·武汉期末）已知等差数列满足，则数列的前5项和为（）

A．15B．16C．20D．30

二、解答题

21．（2023·朝阳模拟）在等差数列中，已知,.

（I）求数列的通项公式；

（II）求.

22．（2023高二上·安徽月考）已知等差数列的前三项分别为，1，.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

23．（2022·内江模拟）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．

问题：已知是等差数列，其前n项和为，，▲，是否存在正整数m，n，，使得成立？若存在，求出正整数m，n满足的关系式；若不存在，请说明理由．

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

24．（2023高二上·汕尾期末）已知等差数列的前项和为，且，.

（1）求等差数列的首项和公差；

（2）求证数列是等差数列，并求出其前项和.

25．（2023高一下·公主岭期末）已知等差数列前项和为，，公差，且，.

（1）求等差数列的公差；

（2）若，求的最大值.

26．（2022·武汉模拟）公差不为零的等差数列满足，.

（1）求的通项公式；

（2）记的前项和为，求使成立的最大正整数.

27．（2023高三上·通州期中）已知数列的前6项依次成等比数列，设公比为q（），数列从第5项开始各项依次为等差数列，其中，数列的前n项和为.

（1）求公比q及数列的通项公式；

（2）若，求项数n的取值范围.

28．（2023高一上·运城期中）等差数列{}中，.

（Ⅰ）求{}的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.

29．（2023高二下·福田月考）记为等差数列的前项和，已知.

（1）求的公差；

（2）求的最大值.

30．（2023高一下·上饶期末）已知为等差数列的前项和，且满足，．

（1）求的通项公式；

（2）求的最大值．

答案解析部分

1．【答案】D

【解析】【解答】设由，知所对应的二次函数图象对称轴为所以

故答案为：D。

【分析】利用等差数列的前n项和公式结合已知条件求出等差数列{}前n项和为二次函数并求出二次函数的对称轴，再利用二次函数求最值的方法和二次函数图象的对称性，从而求出二次函数的最值和等差数列前60项的值，从而选出正确的选项。

2．【答案】A

【解析】【解答】设等差数列的公差为，则，

解得，故，

故当时，；当时，，

所以当时，取最大值.

故答案为：A.

【分析】利用已知条件算出基本量后可得等差数列的通项，根据通项的符号可得何时取最大值.

3．【答案】B

【解析】【解答】因为，

所以，

所以，

即，

解得，

故答案为：B.

【分析】由，直接利用等差数列的前项和公式求解，即可得到答案。

4．【答案】D

【解析】【解答】因为为等差数列，所以，

所以，

对于A：因为为等差数列，根据等差中项的性质可得，A正确，不符合题意；

对于B：，，

所以，B正确，不符合题意；

对于C：若，则，整理得，

因为，所以，

所以当时，满足，此时C正确，不符合题意；

对于D：若，则，

所以，

所以，

解得，不满足，D错误，符合题意.

故答案为：D

【分析根据等差数列的通项公式、求和公式，结合等差中项的性质，逐一分析各个选项，即可得答案.

5．【答案】D

【解析】【解答】因为图1有1个小正方体，图2有1+5=6个小正方体，图3有1+5+9=15个小正方体，

归纳可得：第n个叠放图形中共有n层，构成以1为首项，以4为公比的等差数列，

所以第n个叠放的图形中小正方体木块的总数是，

第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是，

故答案为：D

【分析】利用已知条件结合等差数列的定义和等差数列前n项和公式得出第8个叠放的图形中小正方体木块的总数。

6．【答案】D

【解析】【解答】解：在等差数列中，

∵，

∴（10a1+20d）-13（a1+3d）+5（a1+7d）=10，

则2a1+16d=10，所以a1+8d=5，则a9=5，

所以S17=17×（a1+a17）=17a9=85为定值，

故答案为：D．

【分析】利用已知条件，再利用等差数列通项公式和等差数列前n项和公式，从而求出等差数列第九项的值，再利用等差数列前n项和公式结合等差数列的性质，从而求出S17=17×（a1+a17）=17a9=85为定值，进而得出恒为常数的选项。

7．【答案】B

【解析】【解答】因为为等数列，所以所以，而.

可得，，由“，得，所以最大。

故答案为：B．

【分析】联立方程即可求出，，即可写出，要使达到最大值，即，解出即可。

8．【答案】C

【解析】【解答】设等差数列的公差为d，

因为，，所以，即.

由可得，所以，.

所以.

故答案为：C.

【分析】根据条件先求解首项和公差，结合求和公式及通项公式可求.

9．【答案】B

【解析】【解答】由题由题意S12＞0，S13＜0，

得a1+a12=a6+a7＞0，a1+a13=2a7＜0，

所以a6＞0，a6＞|a7|，

所以|a7|最小．

故答案为：B．

【分析】由等差数列的求和公式，结合条件可判断a6＞0，a6＞|a7|，进而可得解.

10．【答案】A

【解析】【解答】解：因为数列是公差不为零的等差数列，为其前n项和．对任意的，都有，

所以，即，解得，

则当时，，不成立；

当时，，成立；

当时，，成立；

当时，，成立；

所以的值不可能是，

故答案为：A.

【分析】由等差数数列前n项和公式推导出，由此能求出的值不可能的值。

11．【答案】A

【解析】【解答】设的公差为，则，，所以，，前10项和为.

故答案为：A

【分析】由题意利用等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式，求出的前10项和。

12．【答案】C

【解析】【解答】∵数列{an}和{bn}均为等差数列，

且其前n项和An和Bn满足，

则，

又，

验证知，当n=1，2，3，5，11时，为整数，

故答案为：C.

【分析】由已知条件结合等差数列前n项和公式，得到与n的关系式，再利用验证法得出当n=1，2，3，5，11时，为整数，即可求出正整数n的个数。

13．【答案】B

【解析】【解答】因为，化简得，

所以.

故答案为：B

【分析】根据题意由等差数列的前n项和公式代入数值，结合已知条件代入数值计算出结果即可。

14．【答案】A

【解析】【解答】充分性：若，则，可得，此时数列为等差数列，即充分性成立；

必要性：取，则，则，此时数列为等差数列，即必要性不成立.

因此，“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件.

故答案为：A.

【分析】根据题意，分析可得若“p=1”，则“数列{an}为等差数列”，反之不一定成立，由充分必要条件的定义分析可得答案.

15．【答案】B

【解析】【解答】令，故

因此数列为首项为2，公差为2的等差数列

因此

则

故答案为：B

【分析】利用赋值法结合已知条件，得出，再利用等差数列的通项公式，从而推出数列为首项为2，公差为2的等差数列，再结合等差数列的通项公式，从而求出数列的通项公式，再结合等差数列的前n项和公式，从而求出的值。

16．【答案】A

【解析】【解答】正项数列满足，，所以，

可得，所以是等差数列，首项为，公差为，

所以，所以，

故答案为：A．

【分析】根据题意，化简得到，得到是等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解.

17．【答案】D

【解析】【解答】f（n）=+++…+．表达式中共有n2-n+1项，当n=2时，f（2）=．

故选D．

【分析】的分母是首项为，公差的等差数列，由题可知，共有项，当时，的分母分别为2,3,4即可得出答案．

18．【答案】D

【解析】【解答】由，得，

所以，则，

所以.

故答案为：D.

【分析】根据等差数的有关性质求解。

19．【答案】D

【解析】【解答】若等差数列为

则当时，成立，但不成立，所以非充分条件

当时，成立，但不成立，所以非必要条件

综上可知，是的既非充分非必要条件

故答案为：D.

【分析】举出特殊数列的例子，即可排除选项。

20．【答案】A

【解析】【解答】等差数列中，，解得，而，

所以数列的前5项和.

故答案为：A

【分析】根据等差数列的性质，求得，再结合等差数列的求和公式，即可求解.

21．【答案】解：（I）因为是等差数列，,所以

解得.则,.

（II）构成首项为,公差为的等差数列.

则

【解析】【分析】（I）将已知条件转为关于首项和公差的方程组，解方程组求出，进而可求通项公式；（II）由已知可得构成首项为,公差为的等差数列，利用等差数列前n项和公式计算即可.

22．【答案】（1）解：因为为等差数列，则，，，

所以，即，

解得，

所以

所以，

所以

（2）解：因为，

所以，

所以的前项和

，

，

.

【解析】【分析】（1）根据，代入已知条件，求出的值，再计算出公差，得到的通项公式；（2）写出的通项，然后根据分组求和的方法，计算出其前项和，得到答案.

23．【答案】解：设等差数列的公差为d，

若选择条件①：∵，∴，

即，

又∵，即，∴，得，，

当时，，

∴，即，

∵，∴，

∴存在正整数m，n，当时，使得成立.

若选择条件②：∵，∴，∴，

由，即，可得，

当时，，

∴，即，

∵，∴，

∴存在正整数m，n，当时，使得成立.

若选择条件③：∵，∴，

即，即，

又∵，即，∴，，

当时，，

∴，即，

∵，∴，

∴存在正整数m，n，当时，使得成立.

【解析】【分析】设等差数列的公差为d，分别选择①，②，③，结合等差数列的通项公式和求和公式即可求出正整数m，n满足的关系。

24．【答案】（1）解：由题意可得，解得.

（2）证明：由（1）可知，所以，故.

当时，；当时，，

因此数列是等差数列，首项为，公差为.

所以等差数列的前项和.

【解析】【分析】（1）根据等差数列的求和公式可得，即可解得；

（2）由（1）可知，所以，故，数列是等差数列，首项为，公差为，再利用等差数列的求和公式可求得.

25．【答案】（1）解：由题意，得

解得，

又，

所以.

（2）解：由（1）知

所以，整理得，

所以，又，

所以的最大值为15.

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合等差数列通项公式，进而求出公差的取值范围，再利用已知条件，进而求出等差数列的公差。

（2）利用等差数列前n项和公式结合一元二次不等式求解集的方法，进而求出n的取值范围，再利用，进而求出n的最大值。

26．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，

由得：，解得：，

.

（2）解：由（1）得：，

若，，即，

解得：；

成立的最大正整数.

【解析】【分析】（1）设的公差为的公差为，利用等差数列通项公式可构造方程组求得，由此可得；

（2）由等差数列求和公式可求得，由可构造不等式组求得的范围，由此可得结果.

27．【答案】（1）解：设等比数列的公比为q，则

∵从第5项开始各项依次为等差数列，∴

∵，∴，解得或

∵数列为非常数列，∴

当