河北省2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）③（含解析）

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一．整式的加减（共1小题）

1．（2023河北二模）一个三位正整数，将它的个位数字与百位数字交换位置，所得的新数恰好与原数相同，我们把这样的三位正整数称为“对称数”，如555，323，191都是“对称数”．

（1）请你写出2个“对称数”；

（2）嘉琪说：“任意一个“对称数”减去其各位数字之和，所得的结果都是9的倍数．”他的说法是否正确，请说明理由．

二．分式的化简求值（共1小题）

2．（2023青龙县二模）先化简，再求值：，在﹣1，0，2这三个数中选一个你喜欢的代入求值．

三．一元二次方程的应用（共1小题）

3．（2023青龙县二模）小明以20元/个的单价新进一批玩具在网上销售，经统计发现，在一段时间内，销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系如图所示．

（1）AB的表达式为．

（2）若某段时间内该商品的销售单价为50元/个，则销售利润为元．

（3）要使销售利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个？

四．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）

4．（2023河北二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．

（1）求线段AB的长；

（2）若在y轴上有点P，使得S△PAB＝5，求P点坐标；

（3）求点C的坐标和直线DC的解析式．

五．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）

5．（2023遵化市二模）如图，直线y1＝﹣x+4与双曲线y＝（k≠0）交于A、B两点，点A的坐标为（1，m），经过点A直线y2＝x+b与x轴交于点C．

（1）求反比例函数的表达式以及点C的坐标；

（2）点P是x轴上一动点，连接AP，若△ACP是△AOB的面积的一半，求此时点P的坐标．

六．二次函数图象与几何变换（共1小题）

6．（2023河北二模）如图，函数的图象过原点，将其沿y轴翻折，得到函数y2的图象，把函数y1与y2的图象合并后称为函数L的图象．

（1）a的值为；函数y2的解析式为（注明x的取值范围）；

（2）对于函数L，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是；

（3）当中y＝x+b与函数L的图象有3个公共点时，求b的值．

七．作图—应用与设计作图（共1小题）

7．（2023遵化市二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均落在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题：

（1）以AB为直径的半圆的圆心为O，作出⊙O的切线AD；

（2）在线段BC上确定一点E，使得OE∥AC；

（3）在⊙O上确定一点F，使得AF平分∠BAC；

（4）在直线AF上确定一点P，使得BP+OP最短．

八．几何变换综合题（共3小题）

8．（2023河北二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，在底边BC上取点P，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，过点E作EH⊥BC交BC或其延长线于点H．

（1）△ABC面积的最大值为．

（2）当∠BAC＝60°时，求PH的值．

（3）“当∠BAC＝120°时，把点P取在腰上，比如取在AC上，然后把BP绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，再过E作AC的垂线，交CA或其延长线于H，则PH的值也是确定不变的”你认为这个结论对吗？请在备用图上画出示意图，并说明理由．

（4）你能根据上面的解答过程得出更一般的结论吗？

9．（2023遵化市二模）已知：在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E作EF⊥BD，交BC于点F，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG．

【猜想论证】

（1）猜想线段EG与CG的数量关系，并加以证明．

【拓展探究】

（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°得到图2，取DF中点G，连接EG，CG．你在（1）中得到的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．

10．（2023青龙县二模）如图1，在△ABC中，∠B＝∠BCA，D，E是BC边上的点，连接AD、AE，将△ADE沿直线AE折叠，点D与点F对应，连接CF，若∠BAC＝∠DAF．

（1）求证：△ABD≌△ACF；

（2）求证：AC平分∠BCF；

（3）如图2，若∠B＝45°，BD＝8，CE＝6，求AB的长．

九．列表法与树状图法（共2小题）

11．（2023遵化市二模）为了倡导“节约用水，从我做起”，某社区决定对该辖区200户家庭用水情况进行调查．调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：

月平均用水量（吨）34567

频数（户数）4a9107

频率0.080.40bc0.14

请根据统计表中提供的信息解答下列问题：

（1）填空：a＝，b＝，c＝．本组数据的中位数是．

（2）根据样本数据，估计该辖区200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有多少户？

（3）该社区决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率，并列出所有等可能的结果．

12．（2023开发区二模）一个不透明的口袋中放有6个涂有红、黑、白三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球个数比黑球个数多2个，从口袋中随机取出一个球是白球的概率为．

（1）求红球的个数；

（2）如下表，不同颜色小球分别标上数字“1”、“2”、“3”，则6个球上面数字的众数是；中位数是；取走一个红球后，剩下球上数字的中位数是；

球种类红球黑球白球

标注数字123

（3）从口袋中随机取出一个球不放回，之后又随机取出一个球，用列表法或画树状图的方法，求两次都取出红球的概率．

河北省2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）③

参考答案与试题解析

一．整式的加减（共1小题）

1．（2023河北二模）一个三位正整数，将它的个位数字与百位数字交换位置，所得的新数恰好与原数相同，我们把这样的三位正整数称为“对称数”，如555，323，191都是“对称数”．

（1）请你写出2个“对称数”；

（2）嘉琪说：“任意一个“对称数”减去其各位数字之和，所得的结果都是9的倍数．”他的说法是否正确，请说明理由．

【答案】（1）616，626；

（2）正确，理由见解析．

【解答】解：（1）由题意可得，

“对称数”为616，626；

（2）正确，理由：

设一个对称数为100a+10b+a，

由题意可得，（100a+10b+a）﹣（a+b+a）＝101a+10b﹣2a﹣b＝99a+9b，

∵99a+9b能被9整除，

∴任意一个“对称数”减去其各位数字之和，所得的结果都是9的倍数．

二．分式的化简求值（共1小题）

2．（2023青龙县二模）先化简，再求值：，在﹣1，0，2这三个数中选一个你喜欢的代入求值．

【答案】﹣，﹣4．

【解答】解：

＝÷

＝÷

＝

＝﹣，

要使分式有意义，必须x﹣1≠0且x≠0且x+1≠0，

所以x不能为1，0，﹣1，

取x＝2，

当x＝2时，原式＝﹣＝﹣4．

三．一元二次方程的应用（共1小题）

3．（2023青龙县二模）小明以20元/个的单价新进一批玩具在网上销售，经统计发现，在一段时间内，销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系如图所示．

（1）AB的表达式为y＝﹣x+80（20≤x≤80）．

（2）若某段时间内该商品的销售单价为50元/个，则销售利润为900元．

（3）要使销售利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个？

【答案】（1）y＝﹣x+80（20≤x≤80）；

（2）900；

（3）要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克40元或60元．

【解答】解：（1）当20≤x≤80时，设直线AB的表达式为y＝kx+b（k≠0），

把（20，60），（80，0）代入，可得，

解得，

故直线AB的表达式为y＝﹣x+80．

故答案为：y＝﹣x+80（20≤x≤80）；

（2）把x＝50代入y＝﹣x+80，得y＝﹣50+80＝30，

故销售利润位为：（50﹣20）×30＝900（元）；

故答案为：900；

（3）若销售利润达到800元，

若20≤x≤80，则（x﹣20）（﹣x+80）＝800，

解得x1＝40，x2＝60，

若0＜x＜20，则（x﹣20）×60＝800，

解得x＝（不合题意），

所以要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克40元或60元．

四．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）

4．（2023河北二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．

（1）求线段AB的长；

（2）若在y轴上有点P，使得S△PAB＝5，求P点坐标；

（3）求点C的坐标和直线DC的解析式．

【答案】（1）5；（2）（0，）或（0，）；（3）C（8，0），直线CD的解析式为y＝x﹣6．

【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，

∴B（0，4）．

∴OB＝4

令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，

∴A（3，0）．

∴OA＝3．

在Rt△OAB中，AB＝＝5；

（2）设点P的纵坐标为y，则|4﹣y|×3＝5，

解得y＝或，

∴P点坐标为（0，）或（0，）；

（3）OC＝OA+AC＝3+5＝8，

∴C（8，0），

设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．

在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，

∴D（0，﹣6）．

设CD的解析式为y＝kx﹣6，将C（8，0）代入得：8k﹣6＝0，解得：k＝，

∴直线CD的解析式为y＝x﹣6．

五．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）

5．（2023遵化市二模）如图，直线y1＝﹣x+4与双曲线y＝（k≠0）交于A、B两点，点A的坐标为（1，m），经过点A直线y2＝x+b与x轴交于点C．

（1）求反比例函数的表达式以及点C的坐标；

（2）点P是x轴上一动点，连接AP，若△ACP是△AOB的面积的一半，求此时点P的坐标．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）把A（1，m）代入y1＝﹣x+4得，m＝﹣1+4＝3，

∴A（1，3），

∵点A在双曲线y＝（k≠0）上，

∴k＝1×3＝3，

∴反比例函数的表达式为y＝，

∵直线y2＝x+b经过点A，

∴b＝2，

∴直线y2＝x+2，

令y2＝0，求得x＝﹣2，

∴C（﹣2，0）；

（2）连接OA、OB，分别作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，

由题意得，

解得或，

∴A（1，3），B（3，1），

∴AM＝3，BN＝1，MN＝2，

∴S△AOB＝S△AOM+S梯形AMNB﹣S△BON＝S梯形AMNB＝＝4，

设P（x，0），

∴CP＝|x+2|，

∴S△ACP＝＝S△AOB，

∴|x+2|＝，则x＝±﹣2，

∴x＝﹣或﹣

∴P点为（﹣，0）或（﹣，0）．

六．二次函数图象与几何变换（共1小题）

6．（2023河北二模）如图，函数的图象过原点，将其沿y轴翻折，得到函数y2的图象，把函数y1与y2的图象合并后称为函数L的图象．

（1）a的值为3；函数y2的解析式为y2＝﹣3（x﹣1）2+3（x＞0）（注明x的取值范围）；

（2）对于函数L，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1；

（3）当中y＝x+b与函数L的图象有3个公共点时，求b的值．

【答案】（1）3，y2＝﹣3（x﹣1）2+3（x＞0）；

（2）﹣1＜x＜0或x＞1；

（3）b＝．

【解答】解：（1）∵函数y1＝﹣a（x+1）2+3（x＜0）的图象过原点，

∴0＝﹣a（0+1）2+3，

解得：a＝3，

∴y1＝﹣3（x+1）2+3（x＜0），

∵将函数y1沿y轴翻折，得到函数y2的图象，

∴y2＝﹣3（x﹣1）2+3（x＞0），

故答案为：3，y2＝﹣3（x﹣1）2+3（x＞0）；

（2）函数L：y＝，

当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1；

故答案为：﹣1＜x＜0或x＞1；

（3）函数y2＝﹣3（x﹣1）2+3（x＞0）与y＝x+b联立得：﹣3（x﹣1）2+3＝x+b，

整理得：3x2﹣5x+b＝0，

当Δ＝（﹣5）2﹣12b＝0时，则b＝，此时直线y＝x+b与函数L的图象有3个交点，

∴当y＝x+b与函数L的图象有3个公共点时，b＝．

七．作图—应用与设计作图（共1小题）

7．（2023遵化市二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均落在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，并回答下列问题：

（1）以AB为直径的半圆的圆心为O，作出⊙O的切线AD；

（2）在线段BC上确定一点E，使得OE∥AC；

（3）在⊙O上确定一点F，使得AF平分∠BAC；

（4）在直线AF上确定一点P，使得BP+OP最短．

【答案】（1）作图及理由见解答；

（2）作图及理由见解答；

（3）作图及理由见解答；

（4）作图及理由见解答．

【解答】解：（1）如图1，取格点D，作直线AD，

直线AD是⊙O的切线，

理由：取格点G、H，连接DG，GH、BH，

在△DGA和△AHB中，

，

∴△DGA≌△AHB（SAS），

∴∠GDA＝∠HAB，

∴∠GAD+∠HAB＝∠GAD+∠GDA＝90°，

∴∠OAD＝90°，

∵AD经过⊙O的半径OA的外端，且AD⊥OA，

∴AD是⊙O的切线．

（2）如图1，BC交网格线于点E，连接OE，

点E就是所求的点，

理由：取格点I、J，连接CJ、EI、BJ，

∵EI∥BJ，JI＝CI，

∴＝＝1，

∴BE＝CE，

∵AO＝BO，

∴OE∥AC，

∴点E就是所求的点．

（3）如图2，延长OE交⊙O于点F，连接AF，

点F就是所求的点，

理由：∵OA＝OF，

∴∠BAF＝∠OFA，

∵OE∥AC，

∴∠CAF＝∠OFA，

∴∠BAF＝∠CAF，

∴AF平分∠BAC，

∴点F就是所求的点．

（4）如图3，连接并延长BF交AC的延长线于点Q，连接OQ交AF于点P，连接BP，

点P就是所求的点，

理由：∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB＝90°，

∴∠AFQ＝∠AFB＝90°，

在△AFQ和△AFB中，

，

∴△AFQ≌△AFB（ASA），

∴QF＝BF，

∴AF垂直平分BQ，

∴点Q与点B关于直线AF对称，

∵QP＝BP，

∴BP+OP＝QP+OP＝OQ，

∴BP+OP最短，

∴点P就是所求的点．

八．几何变换综合题（共3小题）

8．（2023河北二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，在底边BC上取点P，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，过点E作EH⊥BC交BC或其延长线于点H．

（1）△ABC面积的最大值为18．

（2）当∠BAC＝60°时，求PH的值．

（3）“当∠BAC＝120°时，把点P取在腰上，比如取在AC上，然后把BP绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，再过E作AC的垂线，交CA或其延长线于H，则PH的值也是确定不变的”你认为这个结论对吗？请在备用图上画出示意图，并说明理由．

（4）你能根据上面的解答过程得出更一般的结论吗？

【答案】（1）18；

（2）3；

（3）结论对，PH为定值，理由见解析；

（4）图形见解析，点P是△ABC的BC边上一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，过点E作EH⊥BC交BC或其延长线于点H．则PH的长是定值，

【解答】解：（1）∵AB＝AC＝6，

∴当∠BAC＝90°时，△ABC的面积最大，最大值为＝18，

故答案为：18；

（2）如图，作AD⊥BC于D，

由题意得，AP＝EP，∠APE＝90°，

∴∠1+∠2＝90°，

∵HE⊥BC，

∴∠2+∠E＝90°，

∴∠1＝∠E．

在△APD与△PEH中，

，

∴△APD≌△PEH（AAS），

∴AD＝PH，

在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵AD⊥BC，

∴∠BAD＝30°，

∴，

∴；

（3）结论对．如图，

理由：过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于D，

由（2）可知△BPD≌△PEH．

∴PH＝BD＝AB×sin．

即PH为定值．

（4）如图，

△ABC中（这里不能有其它附加条件），点P是BC边上一点，

连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，过点E作EH⊥BC交BC或其延长线于点H．

则PH的长是定值，（或“等于BC边上的高”）．

9．（2023遵化市二模）已知：在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E作EF⊥BD，交BC于点F，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG．

【猜想论证】

（1）猜想线段EG与CG的数量关系，并加以证明．

【拓展探究】

（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°得到图2，取DF中点G，连接EG，CG．你在（1）中得到的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．

【答案】（1）EG＝CG，证明见解析；

（2）（1）中结论仍然成立，证明见解析．

【解答】（1）EG＝CG．

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DCF＝90°，

在Rt△FCD中，

∵G为DF的中点，

∴CG＝FD，

同理，在Rt△DEF中，

EG＝FD，

∴CG＝EG．

（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG＝CG．

连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．

在△DAG与△DCG中，

∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，

∴△DAG≌△DCG（SAS），

∴AG＝CG；

在△DMG与△FNG中，

∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG，

∴△DMG≌△FNG（ASA），

∴MG＝NG；

∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°，

∴四边形AENM是矩形，

在矩形AENM中，AM＝EN，

在△AMG与△ENG中，

∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG，

∴△AMG≌△ENG（SAS），

∴AG＝EG，

∴EG＝CG．

证法二：延长CG至M，使MG＝CG，连接MF，ME，EC，

在△DCG与△FMG中，

∵FG＝DG，∠MGF＝∠CGD，MG＝CG，

∴△DCG≌△FMG（SAS）．

∴MF＝CD，∠FMG＝∠DCG，

∴MF∥CD∥AB，

∴EF⊥MF．

在Rt△MFE与Rt△CBE中，

∵MF＝CB，∠MFE＝∠EBC，EF＝BE，

∴△MFE≌△CBE（SAS），

∴∠MEF＝∠CEB．

∴∠MEC＝∠MEF+∠FEC＝∠CEB+∠CEF＝90°，

∴△MEC为直角三角形．

∵MG＝CG，

∴EG＝MC，

∴EG＝CG．

10．（2023青龙县二模）如图1，在△ABC中，∠B＝∠BCA，D，E是BC边上的点，连接AD、AE，将△ADE沿直线AE折叠，点D与点F对应，连接CF，若∠BAC＝∠DAF．

（1）求证：△ABD≌△ACF；

（2）求证：AC平分∠BCF；

（3）如图2，若∠B＝45°，BD＝8，CE＝6，求AB的长．

【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答；（3）12．

【解答】（1）证明：由折叠知，AD＝AF，

∵∠BAC＝∠DAF，

∴∠BAD+∠CAD＝∠CAD+∠CAF，

∴∠BAD＝∠CAF，

∵∠B＝∠BCA，

∴AB＝AC，

∴△ABD≌△ACF（SAS）；

（2）证明：由（1）知，△ABD≌△ACF，

∴∠B＝∠ACF，

∵∠B＝∠BCA，

∴∠BCA＝∠ACF，

∴AC平分∠BCF；

（3）解：∵∠B＝∠BCA，∠B＝45°，

∴∠BCA＝45°，

∴∠BAC＝90°，

由（2）知，∠BCA＝∠ACF，

∴∠ACF＝45°

∴∠ECF＝∠ACB+∠ACF＝90°，

由（1）知，△ABD≌△ACF，

∴CF＝BD＝8，

在Rt△ECF中，根据勾股定理得，EF＝＝10，

由折叠知，DE＝EF＝10，

∴BC＝BD+DE+CE＝24，

在Rt△ABC中，AB＝BC＝12．

九．列表法与树状图法（共2小题）

11．（2023遵化市二模）为了倡导“节约用水，从我做起”，某社区决定对该辖区200户家庭用水情况进行调查．调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：

月平均用水量（吨）34567

频数（户数）4a9107

频率0.080.40bc0.14

请根据统计表中提供的信息解答下列问题：

（1）填空：a＝，20，b＝0.18，c＝0.20．本组数据的中位数是5．

（2）根据样本数据，估计该辖区200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有多少户？

（3）该社区决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画