二次函数的应用

华乐思在线教学直播课堂马上开始请同学们准备好笔和纸，认真听讲第九讲二次函数的应用主讲教师夏祖超多篇教学设计获得区一等奖；多篇教学论文在区或市获奖；多次作研究课、展示课，有着丰富的教学经验；多次带初三毕业班，有着丰富的中考经验，对于课改背景下的中考命题有着独特的见解和研究．本讲的重点是二次函数的应用，难点是二次函数应用中的综合题．

重点难点一、基本要求1.能根据抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x

轴的位置关系，说明方程ax2+bx+c=0有两个不等实数根、两相等实数根和没有实数根的三种不同情况，体会二次函数和一元二次方程之间的内在联系；二次函数和一元二次方程的关系

y=ax2+bx+c的图象与x

轴的交点

ax2+bx+c=0的根两个不等实根两个相等实根没有实数根b2-4ac

的值b2-4ac＞0b2-4ac=0b2-4ac＜0两个交点一个交点没有交点xyxxxxxyyyyyOOOOOOx1x2x2x1x1,2x1,22.通过学习进一步认识二次函数在解决实际问题中的作用，能正确运用二次函数的知识讨论和处理一些实际问题.：1.几何问题2.增减性问题3.最值问题.一、基本要求实际问题实际问题的答案二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)

利用二次函数的图象和性质求解目标利用数形结合的思想，借助函数的图象和性质直观地解决函数的极值最值、方程的解以及图形的位置关系问题．利用转化思想，通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x轴的交点问题．

二、学习方法三、典型例题1.二次函数与一元二次方程的关系例1已知二次函数y=x2

-2x

-3.(1)

作出这个函数的图象；(2)

利用图象回答:(i)

方程x2

-2x

-3=0的解是什么?(ii)

x

取何值时，y＞0?(iii)

x

取何值时，y＜0?解:

(1)

y=x2

-2x

-3=(x

-1)2–4，列表x

······-2-101234······y

······50-3-4-305······三、典型例题1.二次函数与一元二次方程的关系描点、连图:654321-1-2-3-4-5-612345-5-4-3-2-1Oyx(2)

(i)方程x2

-2x

-3=0的解是

x1=-1，x2=3；

(ii)当x＜-1或x＞3时，

y＞0；

(iii)当-1＜x＜3时，

y＜0.三、典型例题1.二次函数与一元二次方程的关系类似题目以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行的时间t（单位：s）之间具有关系：

考虑以下问题：三、典型例题1.二次函数与一元二次方程的关系（1）小球飞行高度是0m，飞行时间是多少？由此得到小球从飞出到落地要用多少时间？（2）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（4）球的飞行高度能否达到25m？如能，需要多少飞行时间？

三、典型例题1.二次函数与一元二次方程的关系解析：（1）令h＝0，则有解得：

小球飞行高度是0m，飞行时间是0s和4s，由此得到小球从飞出到落地要用4s的时间.

三、典型例题1.二次函数与一元二次方程的关系解析（2）令h＝15，则有解得：

当球飞行1s和3s的时候，它的高度是15m.三、典型例题1.二次函数与一元二次方程的关系解析（3）令h＝20，则有解得：

当球飞行2s的时候，它的高度是20m三、典型例题1.二次函数与一元二次方程的关系解析（4）令h＝25，则有即球的飞行高度达不到25m所以方程无解

三、典型例题1.二次函数与一元二次方程的关系例2已知方程x2+ax+b=0的两根是x1=-5，

x2=2，求函数y=x2+ax+b

的图象的对称轴.解1:∵x1=-5，x2=2是方程x2+ax+b=0的根，∴函数的解析式是y=x2+3x

-10，它的图象的对称轴是直线x=-.32_(-5)2

-5a+b=022+2a+b=0∴5a

-

b=252a

+b=-4即

解此方程组得a=3，b=-10.解2:∵方程x2+ax+b=0的两根是

x1=-5，x2=2.∴抛物线y=x2+ax+b

与x

轴的两个交点是

A(-5，0)，B(2，0).32_∴抛物线y=x2+ax+b

的对称轴是直线

x=-.32_∵这两点的中点坐标是(-

，0)，三、典型例题1.二次函数与一元二次方程的关系例3二次函数的图象如图所示则四个式子中值为正数的有（）个A．4个 B．3个C．2个D．1个

xyO-11三、典型例题1.二次函数与一元二次方程的关系分析：观察图象抛物线开口向上得到a＞0对称轴在y轴的右侧，得得到b＜0，抛物线与y轴交点在y轴负半轴，c＜0，因此abc＞0．xyO-11三、典型例题1.二次函数与一元二次方程的关系图象与x轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，得b2－4ac＞0，对称轴令x＝1，则y＝a＋b＋c，由图象知当x=1时对应的点在y轴下方于是a＋b＋c

＜0答案为B（3个）xyO-11例1

有一抛物线拱桥(如图)，拱顶离水面的距离是16m，水面宽度是40m，若水面上升4m，求上升后水面的宽度(

取1.7).40m16m2.实际问题与二次函数.三、典型例题解:

以拱顶为原点建立坐标系(如图)设抛物线的函数表达式是y=ax2(a≠0).则由点A

的坐标(20，-16)有

-16=a·202解得a=-

=-.故y=-

x2.125__1620×20125__40m16mOyxBA当水面上升4m后，水面与抛物线的一个交点A’的坐标是(x，-12)，于是有

-12=-

x2x2=25×12∵x＞0，∴x==10≈17

此时，水面的宽度大约是17×2=34(m).

答:水面上升4m后，水面的宽度大约是34m.125__A’类似题目：用长为6m的条形木料作矩形窗架(包括中间的两根横条，如图)，窗架的高（长）和宽是多少时，才能使通过的光线最多(木条的宽度忽略不计).2.实际问题与二次函数.三、典型例题解:

设窗架的宽为xm，面积为ym2，则窗架的高为(6-4x)m，于是

y=x·(6-4x)=x(3-2x)=-2x2+3x=-2(x

-

)2+12_12_98_34_xm(0＜x＜).32_∵a=-2＜0，∴当x=时，y

有最大值，即通过的光线最多.此时(6-4x)=.34_98_12_32_答:窗架的高和宽分别是m和m时，通过的光线最多.32_34_xm类似题目：某农场生产西红柿在市场上出售，从2月1日起的200天内，售价y(元)与上市时间t(天)的函数关系是y=f(t)=300-t(元/百公斤)，又西红柿的种植成本(元/百公斤)与时间t(天)的函数关系式是y=g(t)=(t-150)2

+100(0≤t≤200)，若纯利润为市场售价与种植成本的差，问何时上市西红柿的纯利润最大?1200___2.实际问题与二次函数.三、典型例题解:

设纯利润为S

元.则S=f(t)

-

g(t)

1200___∵a=-

＜0，1200___1752___=-

t2+t+12_1200___

=300-

t

-

(t

-150)2

-1002.实际问题与二次函数.三、典型例题经检验知，t=50符合题意.答:西红柿在从2月1日开始的第50天时出售，所获纯利润最大.∴当t=-==50时，S

取得最大值.b2a_________1200___2×12_2.实际问题与二次函数.三、典型例题例2

公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央安装一个有造型的柱子OA，O

恰好是水面的中心，OA=1.25m，喷头安在A

点，喷水时，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，图为过OA

的一个水流截面的示意图.若在离O

点1m，水流达到距水面的最大高度为2.25m，不考虑其他因素，水池的半径多大时，才能使喷出的水不致落到池外?OA1解:

如图，建立坐标系，设水流高度为y(m)，水流落点与O

的距离是x(m)，则y

与x

的函数关系是

y=a(x

-1)2+2.25.∵点A

(0，1.25)

在抛物线上，∴1.25=a+2.25.

解得a=-1.1xyOA2.实际问题与二次函数.三、典型例题于是y=-(x

-1)2+2.25，令y=0，得(x

-1)2=2.25，解得x1=2.5，x2=-0.5(舍去).答:水池的半径至少是2.5m，才能使水流不落在池外.1xyOA2.实际问题与二次函数.三、典型例题

例3工厂生产一种产品x

件的生产成本是P元，附加成本是每件Q

元，已知P=x2

-12x+1800，Q=+2，试求这种产品是多少件时，总生产成本y

(元)最低？最低成本是多少？130__x15__2.实际问题与二次函数.三、典型例题解:

y=P+xQ

130__x215__=x2

-12x+1800++2x110__=

x2

-10x+1800110__=(x

-50)2+1550.110__∵＞0，∴当x=50时，y

有最小值1550.答:当生产件数为50时,总成本最低,最低成本是1550元.类似题目：商店出售某种商品，平均每天可售出20件，每件获利40元，若每件商品降价1元，平均每天可多售出2件，问：每件商品降低多少元，能获利最多?2.实际问题与二次函数.三、典型例题解:

设每件商品降价x

元(x

为正整数)，则每件获利(40-

x)元，每天售出(20+2x)件.此时每天的获利为:

y=(40-

x)(20+2x)=-2x2+60x+800

=-2(x-15)2+1250.

当x=15时，y

取最大值1250.

答:每件商品降低15元，每天获利最大为1250元.2.实际问题与二次函数.三、典型例题类似题目：某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间存在着如图所示的一次函数关系．

(1)求y关于x的函数关系式；(2)试写出该公司销售该种产品的年获利z(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式(年获利＝年销售额－年销售产品总进价－年总开支)．当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；(3)若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助(2)中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？解(1)由于第一个问已经明确y和x的函数关系为一次函数关系，所以可以设

由图象知此直线经过点（60,5）和（80,4）代入得

解得：

所以

解(2)第二个问题不明确z和x的函数关系，但可以根据题意表示出z

整理得：

2.实际问题与二次函数.三、典型例题函数

是二次函数

当x＝100时，z最大＝60

所以当销售单价100元时，年获利最大，最大获利为60万元．2.实际问题与二次函数三、典型例题解析（3）利用二次函数的图象来解决令z＝40，得

2.实际问题与二次函数三、典型例题画出二次函数的图象，如图所示：

由图象可知要使年获利不低于40万元，销售单价应介于80元和120元之间．在此情况下，要使产品销售量最大，则销售单价应最小，即销售单价为80元的时候，产品的销售量最大．例1已知抛物线y=x2+bx+c经过原点，且在x轴的正半轴上截得的线段长为4，对称轴为直线x=m．过点A的直线绕点A(m

，0)旋转，交抛物线于点B(x

，y)，交y轴负半轴于点C，过点C且平行于x轴的直线与直线x=m交于点D，设△AOB的面积为S1，△ABD的面积为S2．(1)求这条抛物线的顶点的坐标；(2)判断S1与S2的大小关系，并证明你的结论3.二次函数与几何结合的综合题三、典型例题分析：根据抛物线过原点可以得到c＝0，又过（4，0），得到b＝－4，于是有y＝x2－4x，因此顶点坐标为（2，－4）．根据题意画出示意图，如图．过A点的直线与抛物线有两个交点B1，B2，考虑△AOB1和△AB1D同底AB1,因此只需证明O和D到直线AB1的距离相等即可，易证四边形AOCD为矩形，得到△AOC和△ACD的面积相等，又这两个三角形同底AC，于是AC上的高相等，即点O和D到直线AB1的距离相等所以S1=S2同样考虑△AOB2和△AB2D例2已知：在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，若抛物线的对称轴为，点A的坐标为（－1，0）.（1）求这个二次函数的解析式；3.二次函数与几何结合的综合题三、典型例题（2）设抛物线的顶点为C，抛物线上一点D的坐标为（-3，12），过点B、D的直线与抛物线的对称轴交于点E.问：是否存在这样的点F，使得以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标.3.二次函数与几何结合的综合题三、典型例题（1）求这个二次函数的解析式；解答（1）由对称轴为x＝1，过（－1，0）得解得所以抛物线的解析式为3.二次函数与几何结合的综合题三、典型例题画出函数示意图,如图所示：可以得到下列结论：对称轴x＝1，B（3，0），C（1，－4）连接BD，易求BD的解析式为令x＝1，求出点E（1，4）（i）若BE和BC为四边形的邻边，由抛物线的对称性易知，四边形BCAE为平行四边形，此时F与A重合，坐标为（－1，0）（ii）若BE和EC为邻边，则如图所示，F（3，－2）（iii）若CE和BC为邻边，则F（3，2）所以存在点F,使B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形点F的坐标为（－1，0）或（3，2）或（3，－2）类似题目：已知：如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A（与x轴的交点），B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D（1）求此抛物线的解析式；（2）点M为第一象限抛物线上的一个动点，求使得△ABM的面积与△ABD的面积相等的点M的坐标.（1）求此抛物线的解析式；解析：由题易知A(3,0),B(0,3),抛物线的代入解析式得所以抛物线的解析式为3.二次函数与几何结合的综合题三、典型例题（2）令y＝0，易求C

(－1，0)，D(1，4)，画出如图所示示意图．过点D作DE⊥y轴，由ABD的坐标易证△AOB和△DEB都是等腰直角三角形，得到∠DBA＝90°，要使抛物线上点M满足△ABM的面积与△ABD的面积相等，过D作DM//AB，交抛物线于点M．设DM：y＝－x＋m，过点（1，4）易求DM:y＝－x＋5令－x＋5＝－x2＋2x＋3解之：x1＝1，x2＝2所以M(2,3)3.二次函数与几何结合的综合题三、典型例题例3已知，在平面直角坐标系xOy中，抛物线l1的解析式为将抛物线l1平移后得到抛物线l2

，若抛物线经过点（0，2），且其顶点A的横坐标为最小正整数（1）求抛物线l2的解析式；（2）说明将抛物线l1如何平移得到抛物线l2；（3）若将抛物线沿其对称轴继续上下平移，得到抛物线l3，设抛物线的顶点为B，直线OB与抛物线的另一个交点为C.当OB=OC时，求点C的坐标．3.二次函数与几何结合的综合题三、典型例题解析（1）易知l2的解析为y＝－（x－1）2＋m又过（0，2），则－（0－1）2＋m＝2得m＝3，即y＝－（x－1）2＋3（2）抛物线l2可以由l1向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到3.二次函数与几何结合的综合题三、典型例题当沿x＝1上下平移到如图所示的位置时，OB=OC，抛物线的解析式为y＝－（x－1）2＋k设B（1，k）则有C（－1，－k）代入抛物线的解析式得k＝2即C（－1，－2）四、中考相关二次函数是初中数学的重要内容之一，也是中考的必考内容，多以压轴题的形式出现，分值一般在10－12分左右．一般是通过实际情景来确定二次函数的表达式，或者是和几何、方程、三角函数等知识结合在一起，以综合题、探索题、开放题的形式出现．例1已知抛物线(1)求证此抛物线与x轴有两个不同的交点(2)若m是整数，抛物线

与x轴交于整数点，求m的值；

(3)在(2)的条件下，设抛物线的顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B.若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标.

四、中考相关(1)求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点．证明：b2－4ac＝m2－4m＋8＝（m－2）2＋4≥4＞0所以此抛物线与x轴有两个不同的交点四、中考相关（2）由题知有整数解所以（m－2）2＋4是平方数可以设（m

－2）2＋4＝n2，移项得n2－（m

－2）2＝4，即（n＋m

－2）（n－m

＋2）＝4由于n＋m

－2和n－m

＋2的奇偶性相同，因此考虑下列两种情况：四、中考相关第一种：第二种：即整数m的值为2．四、中考相关(3)画出函数的示意图根据（2）抛物线的解析式为y＝x2－2x易求B（2，0）A（1，－1）若点M在x轴上则M（1，0）若M在y轴上，易知MA=MB=1即∠MBA=∠MAB＝45°过M作AB的垂线MM′，根据题意得MM′为线段AB的中垂线，M′是另一个满足条件的点此时△MM′O为等腰三角形于是MO=OM′＝1所以M′（0，1）即满足条件的点M的坐标为（0，1）或（1，0）四、中考相关例2已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0