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求旋转体的体积节定积分的应用章2021/5/91一旋转体的体积圆柱圆锥圆台2021/5/92取积分变量为xo在

上任取小区间2021/5/93类似的当考虑连续曲线段绕y

轴旋转一周所形成的立体体积为2021/5/94所围图形绕x

轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1

利用直角坐标方程则(利用对称性)机动目录上页下页返回结束例1由曲线2021/5/95方法2

利用椭圆参数方程则特别当b=a

时,就得半径为a的球体的体积机动目录上页下页返回结束2021/5/96例2.求由曲线,直线及

轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所生成的旋转体的体积.解：选为积分变量，由旋转体的体积公式，得到2021/5/97例3求由曲线，直线及轴所围成的图形分别绕轴，轴旋转一周所生成的旋转体的体积xxyy2021/5/98解：绕x轴旋转体的体积

绕

y轴旋转体的体积2021/5/99的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x

轴旋转而成的立体体积.解:

绕x

轴旋转而成的体积为利用对称性例3计算摆线2021/5/910设所给立体垂直于x

轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为机动目录上页下页返回结束上连续,1应用平行截面函数求旋转体体积2021/5/911并与底面交成

角,解:

如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x

轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.机动目录上页下页返回结束例4一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，2021/5/912思考:

可否选择y

作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示:2021/5/913练习题1.求绕轴和轴旋转一周的旋转体的体积.解：由公式有2021/5/914例20.

求由星形线一周所得的旋转体的体积.解:

利用公式有绕

x

轴旋转2021/5/915星形线星形线是内摆线的一种.点击图片任意处播放开始或暂停大圆半径

R

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