第二关-以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题-(原卷版)

压轴解答题第二关以解析几何中与椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．类型一中点问题典例1已知椭圆的离心率，焦距为．(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，若轴上的一点满足，试求出点的横坐标的取值范围．【来源】河南省温县第一高级中学2021-2022学年高三上学期1月月考文科数学试题【举一反三】已知椭圆：的焦距与椭圆的焦距相等，且经过抛物线的顶点．（1）求的方程；（2）若直线与相交于，两点，且，关于直线：对称，为的对称中心，且的面积为，求的值．类型二垂直问题典例2已知椭圆：（）的离心率为，的长轴是圆：的直径.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点作两条相互垂直的直线，，其中交椭圆于，两点，交圆于，两点，求四边形面积的最小值.【来源】广东省肇庆市2021届高三二模数学试题【举一反三】已知椭圆，离心率．直线与轴交于点，与椭圆相交于两点．自点分别向直线作垂线，垂足分别为．（Ⅰ）求椭圆的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记，，的面积分别为，，，试证明为定值．类型三面积问题典例3如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上．(1)求点的纵坐标的取值范围；(2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值．【来源】浙江省2022届高三水球高考命题研究组方向性测试Ⅴ数学试题【举一反三】已知椭圆C：0)的右焦点F与右准线l：x＝4的距离为2．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线m及x轴和y轴分别相交于点D，E，G，直线GF与右准线l相交于点H．记AEGF，ADGH的面积分别为S1，S2，求的值．【来源】江苏省苏州中学等四校2021-2022学年高三下学期期初联合检测数学试题类型四范围与定值问题典例4已知椭圆C：的离心率为，且过点．(1)求C的方程；(2)若A，B是C上两点，直线与曲线相切，求的取值范围．【来源】重庆市2022届高三下学期开学考试数学试题【举一反三】已知椭圆的右焦点为，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆内一点P（0，t），斜率为k的直线l交椭圆C于M，N两点，设直线OM，ON（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，若对任意k，存在实数λ，使得，求实数λ的取值范围．【来源】江苏省扬州大学附中2021届高三下学期2月检测数学试题典例5已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点组成的三角形是等腰直角三角形，点是椭圆C上一点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设是椭圆C上的一动点，由原点向引两条切线，分别交椭圆C于点P，Q，若直线的斜率均存在，并分别记为，求证：为定值．【来源】云南省昭通市2022届高三期末数学（理）试题【举一反三】已知椭圆经过两点，.(1)求椭圆C的方程：(2)A、B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为圆上的动点（P不在坐标轴上），PA与PB分别与椭圆C交E、F两点，直线EF交x轴于H点，请问点P的横坐标与点H的横坐标之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【来源】江西省景德镇市2022届高三第二次质检数学（理）试题【精选名校模拟】1．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求椭圆C的方程及A点坐标；（Ⅱ）设直线l与x轴交于点B．过点B的直线与C交于E，F两点，记点A在x轴上的投影为G，T为BG的中点，直线AE，AF与x轴分别交于M，N两点．试探究是否为定值?若为定值，求出此定值；否则，请说明理由．【来源】湖南省长沙市第一中学、广东省深圳实验学校2021届高三下学期联考数学试题2．如图，已知椭圆上一点，右焦点为，直线交椭圆于点，且满足，．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于两点，求四边形面积的最大值．【来源】黑龙江省漠河市高级中学2020-2021学年高三上学期第三次摸底考试文科数学试题3．已知椭圆的左焦点为F，离心率，长轴长为4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与椭圆交于M，N两点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于P点，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.【来源】天津市十二区县重点学校2021届高三下学期毕业班联考（一）数学试题4．已知椭圆：()的左､右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值.【来源】陕西省宝鸡市2021届高三下学期高考模拟检测（二）文科数学试题5．已知椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在第一象限，且．（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在点，满足对于过点的任一直线与椭圆的两个交点，，都有为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【来源】河南省济源（平顶山许昌市）2021届高三第二次质量检测理科数学试题6．已知椭圆的离心率为，并且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与轴交于点，与椭圆的另一个交点为，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值．【来源】北京平谷区2021届高三数学一模试题7．已知经过原点O的直线与离心率为的椭圆交于A，B两点，、是椭圆C的左、右焦点，且面积的最大值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图所示，设点P是椭圆C上异于左右顶点的任意一点，过点Р的椭圆C的切线与交于点M.记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值，并求出该定值.【来源】广西南宁市2021届高三一模数学（文）试题8．设是坐标原点，以、为焦点的椭圆的长轴长为，以为直径的圆和恰好有两个交点.（1）求的方程；（2）是外的一点，过的直线、均与相切，且、的斜率之积为，记为的最小值，求的取值范围.【来源】广东省深圳市2021届高三一模数学试题9．已知点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与相交于点，点的轨迹为曲线.（1）求的方程（2）过点作倾斜角互补的两条直线，若直线与曲线交于两点，直线与圆交于两点，当四点构成四边形，且四边形的面积为时，求直线的方程.【来源】广东省广州市2021届高三一模数学试题10．已知椭圆的离心率是，椭圆C过点.（1）求椭圆的方程；（2）已知是椭圆的左、右焦点，过点的直线（不过坐标原点）与椭圆交于两点，求的取值范围.【来源】东北三省三校（哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学）2020-2021学年高三下学期第一次联合模拟考试文科数学试题11．已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线m交直线于点E．(1)求椭圆C的标准方程；(2)①求证线段必过定点P，并求定点P的坐标；②点O为坐标原点，求面积的最大值．【来源】广东省广州市执信中学2022届高三下学期二月月考数学试题12．已知，分别为椭圆C：的左、右顶点，点在椭圆上．过点的直线交椭圆于两点P，Q（P，Q与顶点，不重合），且直线与，与分别交于点M，N．(1)求椭圆C的方程(2)设直线的斜率为，直线的斜率为．①证明：为定值；②求面积的最小值．【来源】山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期期末数学试题13．已知椭圆的右焦点为，点A，分别为右顶点和上顶点，点为坐标原点，，的面积为，其中为的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)过点异于坐标轴的直线与交于，两点，射线，分别与圆交于，两点，记直线和直线的斜率分别为，，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【来源】四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第二次诊断性考试理科数学试题14．已知点M是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C的上、下焦点，，当，的面积为5.(1)求椭圆C的方程：(2)设过点的直线和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线，使得与（O是坐标原点）的面积比