线性代数的数学建模

线性代数的数学建模

随着社会的发展，数学在社会各个领域的应用越来越广泛，作用也越来越大。不但运用到自然科学各学科、各领域,而且渗透到经济、军事、管理以至于社会科学和社会活动的各领域。不论是用数学方法解决哪类实际问题,还是与其他学科相结合形成交叉学科,首要的和关键的一步是将研究对象的内在规律用数学的语言和方法表述出来,即建立所谓的数学模型,还要将求解得到的结果返回到实际问题中去,这种解决问题的全过程称为数学建模。建立数学模型是一个比较复杂的过程,该过程可归纳为以下步棸。(1)对某个实际问题进行观察、分析。(2)对实际问题进行必要的抽象、简化,作出合理的假设。(3)确定要建立的模型中的变量和参数。(4)根据某种规律,建立变量和参数间确定的数学关系,这是最关键的一步。(5)解析或近似地求解该数学问题,这里要用到很多数学理论和方法。(6)数学结果能否展示、解释甚至预测实际问题中出现的现象,或用某种方法来验证结果是否正确。(7)如果(6)的结果是肯定的,则可用于指导实践;如果是否定的,则要回到前面六步重新进行分析,并重复上述建模过程。作为数学科学的重要分支,线性代数是以矩阵、线性空间结构及线性变换为基本研究对象,其核心是研究线性代数方程组解的情况以及如何更快地求解线性方程组、线性空间结构及线性变换。线性代数虽然是一门理论性很强的学科,但是它与实际问题也有着十分密切联系。线性代数中的基本定义都是从实际问题中抽象和概括得到的,因此通过实际问题的求解来理解线性代数中的定义会更有趣更深刻。例如:在理解行列式的定义时,可以模拟法国数学家Cauchy求解空间多面体模型体积的过程,从平行四边形面积和空间六面体体积出发,得到2阶和3阶行列式的基本公式;再者,在理解矩阵概念时,可以先了解诺贝尔经济学奖获得者美国数学家和经济学家Leontief的投入产出模型。因此,线性代数的研究脱离不开实际问题。事实上,线性代数的知识方法和研究结果也可广泛应用于实际问题的解决。1逆矩阵的保密通信模型下面通过一些实例来说明线性代数在数学建模中的重要应用。模型一:基于可逆矩阵的保密通信模型。保密通信是当今信息时代一个非常重要的课题,无数的科技工作者为此做了大量的工作,先后提出了许多较为有效的保密通信模型。其中,基于加密技术的保密通信模型是其中最为基本且最具活力的一种。1.1接收方算法后加密基于加密技术的保密通信模型如图1所示。发送方采用某种算法将明文数据加密转换成密文数据后发送给接收方,接收方则可采用相对应的某种算法将密文数据解密转换成明文数据。1.2交通流模型求解一种加密技术是否有效,关键在于密文能否还原成明文。设有矩阵方程C=AB,其中B为未知矩阵。我们知道,若A为可逆矩阵,则方程有唯一解B=A-1C,其中A1-是A的逆矩阵。下面设A为可逆矩阵,B为明文矩阵,C为密文矩阵,则有下面的加密算法和解密算法。(1)加密算法。加密时,采用矩阵乘法C=AB或(2)解密算法。解密时,采用矩阵乘法B=A-1C或B=CA-1,其中A-1是A的逆矩阵。因此,可逆矩阵可以有效地应用于加密技术。模型二:基于线性方程组求解的交通流模型。利用线性代数中向量和矩阵的运算以及线性方程组的求解等知识,可以建立交通流模型。应用举例:设一个“井”字型公路环网,均为单向行驶,8个街道路口的车流量有数据记录,已知在8个街道路口的车辆数目如图2所示,试问x1,x2,x3,x4路段上的车辆数目是多少?(1)模型假设:设图2的交通网络图,均为单向行驶,且不能停车,通行方向用箭头表明,图2中所示的数字为高峰期每小时进出网络的车辆数,进入网络的车辆等于离开网络的车辆,另进入每个节点的车辆等于离开节点的车辆。在图2中的任何一个路口处,都有车辆流进和流出。一天结束后,流进的车辆数和流出的车辆数应该相等以达到平衡。在每个路口处课根据进出的车流量相等,可以建立一个线性代数方程。图2中有4个路口,可建立含4个方程的线性方程组。那么问题的答案就在下面的线性方程组中:在这一方程组中,未知数个数等于方程的个数。所以,当方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等时,该问题有解。(3)模型求解结果。通过解上述方程组,可得该方程组的通解为:(4)结果分析。由上述结果可知闭合回路ABCD的每段上的车流量相等。交通流模型是网络流模型在交通规划方面的应用。大多数网络流模型中的方程组都包含了数百甚至上千个未知量和线性方程。由此可见,线性代数对于研究某种网络中的流量问题具有重要作用。2投入产出模型除了我们前面所介绍的两类模型,线性代数在很多其他数学模型中都有重要的应用,比如由美国经济学家和数学家Leontief提出的投入产出模型,它是利用线性代数的理论和方法建立起来的模型,它在经济分