人教版数学八年级上册-14.2-乘法公式

人教版数学八年级上册14.2乘法公式14.2.1

平方差公式多项式与多项式是如何相乘的？(x

＋3)(x＋5)=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn复习引入探究发现面积变了吗？a米5米5米a米(a-5)米相等吗？平方差公式①(x＋1)(x－1)；②(m＋2)(m－2)；

③(2m＋1)(2m－1)；

④(5y＋z)(5y－z).计算下列多项式的积，你能发现什么规律？算一算：看谁算得又快又准.想一想：这些计算结果有什么特点？x2－12m2－22(2m)2－12(5y)2－z2(a

+b)(a−

b)

=a2

−

b2.两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.公式变形：1.(a–b)(a+b)=a2

–

b2；2.(b+a)(–b+a)=a2

–

b2.知识要点平方差公式平方差公式注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等．(a+b)(a-

b)=a2-

b2相同为

a

相反为

b适当交换合理加括号填一填：

aba2－b21x－3a12－x2(－3)2－a2a1a2－120.3x1(0.3x)2－12(a+b)(a-b)(1+x)(1-

x)(-3+a)(-3-

a)(0.3x-

1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)练一练：口答下列各题：(l)(－a+b)(a+b)=_________.(2)(a－b)(b+a)=_________.(3)(－a－b)(－a+b)=________.(4)(a－b)(－a－b)=_________.a2－b2a2－b2b2－a2b2－a2典例精析例1计算：(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(－x＋2y)(－x－2y).(2)

原式＝(－x)2－(2y)2＝x2－4y2.解：(1)原式＝(3x)2－22＝9x2－4.方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)

左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)

右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)

公式中的

a

和

b

可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)；

(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．针对训练解：(1)原式＝(3x)2－52＝9x2－25.(2)原式＝(－2a)2－b2＝4a2－b2.(3)原式＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2.例2

计算：(1)102×98;(2)(y+2)(y–2)–(y–1)(y+5).解：(1)102×98(2)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)=1002－22=10000－4=(100＋2)(100－2)=9996.=y2－22－(y2＋4y－5)=y2－4－y2－4y＋5=－4y＋1.通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.不符合平方差公式运算条件的，按乘法法则进行运算.针对训练计算：(1)51×49；(2)

(3x

+

4)(3x

-

4)

-

(2x

+

3)(3x

-

2).解：(1)原式

=(50＋1)(50－1)=502－12=2500－1=2499.

(2)原式

=(3x)2－42－(6x2＋5x－6)=9x2－16－6x2－5x＋6=3x2－5x－10.例3

先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中

x＝1，y＝2.原式＝5×12－5×22＝－15.解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当

x＝1，y＝2时，例4

对于任意的正整数

n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？

即整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍.解：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10.∵(10n2－10)÷10＝n2－1，n为正整数，∴n2－1一定为整数.方法总结：对于平方差中的

a和

b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将整式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．例5

王大伯家把一块边长为

a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为

a2，

改变边长后面积为

(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2－16＜a2，∴李大妈吃亏了．方法总结：解决此实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，进而解决问题.1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(

)A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)C2.计算(2x＋1)(2x－1)等于(

)A．4x2－1B．2x2－1C．4x－1D．4x2＋1A3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是______．10（1）(a+3b)(a-

3b)；=

4a2－9.=4x4－y2.解：原式

=(2a+3)(2a－3)=a2－9b2.=

(2a)2－32解：原式

=(-2x2)2－y2解：原式

=a2－(3b)2（2）(3+2a)(－3+2a)；（3）(－2x2－y)(－2x2

+y).4.利用平方差公式计算：5.计算：

20222－2021×2023.解：20222－2021×2023=20222－(2022－1)(2022+1)=20222－(20222－12)=20222－20222+

12=1.6.利用平方差公式计算：（1）(a－2)(a＋2)(a2＋4)；

解：原式

=(a2－4)(a2＋4)=a4－16.(2)(x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4).解：原式

=(x2－y2)(x2＋y2)(x4＋y4)=(x4－y4)(x4＋y4)=x8－y8.7.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中

x=2.解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3=2x2－1.将

x=2代入上式，得原式=2×22－1=7.8.已知

x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4……(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________(n为正整数)；(2)根据你的猜想计算：①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝______；②2＋22＋23＋…＋2n＝__________(n为正整数)；③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；拓展提升1－xn+1－632n＋1－2x100－1(3)通过以上规律请你进行下面的探索：①(a－b)(a＋b)＝_______；②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．a2－b2

a3－b3

a4－b4

平方差公式内容注意两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差1.字母表示：(a+b)(a－b)=a2－b22.紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用人教版数学八年级上册14.2乘法公式14.2.2

完全平方公式你发现了什么？

一块边长为

a米的正方形实验田，因需要将其边长增加

b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你发现了什么？情境引入aabb直接求：总面积

=(a+b)(a+b).间接求：总面积

=a2+ab+ab+b2.(a+b)2=a2+2ab+b2.计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1)

(p+1)2=(p+1)(p+1)=

.p2+2p+1(2)

(m+2)2=(m+2)(m+2)=

.m2+4m+4(3)

(p－1)2=(p－1)(p－1)=

.p2－2p+1(4)

(m－2)2=(m－2)(m－2)=

.m2－4m+4根据上面的规律，你能直接写出下列式子的运算结果吗？(a＋b)2

=

.a2+2ab+b2(a－b)2

=

.

a2－2ab+b2合作探究完全平方公式知识要点(a+b)2=

；a2+2ab+b2(a-

b)2=

.a2-

2ab+b2文字叙述为：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的

2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.

简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央.”完全平方公式你能根据图

1和图

2中的面积解释完全平方公式吗?baabbaba图

1图

2想一想：几何解释：aabb=+++a2ababb2(a+b)2=

.a2+2ab+b2和的完全平方公式：a2−ab−b(a−b)=

a2−2ab+b2=(a−b)2a−baaabb(a−b)bb(a−b)2几何解释：(a-

b)2=

.a2-

2ab+b2差的完全平方公式：a−b(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-

b)2=a2

-

2ab+b2.问题

观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：1.说一说积的次数和项数；2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与

a，b有

什么关系？3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a，b有什么关系？它的符号与什么有关？

公式特征：4.公式中的字母

a，b可以表示数，单项式和多项式.1.积为二次三项式；2.积中两项为两数的平方和；3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同；想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？(1)(x+y)2=x2+y2(2)(x－y)2=x2－y2(3)(－x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2××××x2+2xy+y2x2－2xy+y2

x2－2xy+y24x2+4xy+y2典例精析例1

运用完全平方公式计算：解：(4m+n)2==16m2(1)(4m+n)2；(a+b)2=a2+2ab+b2(4m)2+2•(4m)•n+n2+8mn+n2.(a

-

b)2

=a2

-2ab+b2y2=y2-

y+解：

=+-2•y•(2).利用完全平方公式计算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2.针对训练(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2.(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.(1)1022；解：1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)992.解：992=(100–1)2=10000-

200+1=9801.

例2

运用完全平方公式计算：方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．利用乘法公式计算：(1)982－101×99；(2)20222－2022×4042＋20212.针对训练＝(2022－2021)2＝1.解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395.(2)原式＝20222－2×2022×2021＋20212例3

已知

x－y＝6，xy＝－8.求：(1)x2＋y2

的值；(2)(x＋y)2

的值.＝36－16＝20.解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，(x－y)2＝x2＋y2－2xy，∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy(2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，∴(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝20－16＝4.方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x＋y)2－2xy，(x－y)2＝(x＋y)2－4xy.a+(b+c)=a+b+c；

a–(b+c)=a

–

b–c.a+b+c=a+(b+c)；a–b–c=a–(b+c).去括号：把上面两个等式的左右两边反过来，就得到添括号法则：添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号（简记为“负变正不变”）.知识要点添括号法则例4

运用乘法公式计算：(1)(x+2y-3)(x-2y+3)；(2)(a+b+c)2.原式

=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]解：(1)典例精析(2)原式=[(a+b)+c]2=x2–(2y–3)2=x2–(4y2–12y+9)=x2–4y2+12y–9.=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.方法总结：第(1)小题先用平方差公式进行计算，需要分组，分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”；

第(2)小题要把其中两项的和看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.

计算：(1)(a－b＋c)2；(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．针对训练＝1－4x2＋4xy－y2.解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc.(2)原式＝[1－(2x－y)][1＋(2x－y)]＝12－(2x－y)22.下列计算结果为2ab－a2－b2的是()A．(a－b)2B．(－a－b)2C．－(a＋b)2D．－(a－b)21.运用乘法公式计算

(a

-

2)2的结果是（

）

A．a2-

4a

+

4

B．a2-

2a

+

4

C．a2-

4

D．a2-

4a

-

4AD3.运用完全平方公式计算：(1)(6a+5b)2=__________________；(2)(4x-3y)2=__________________；(3)(2m-1)2=__________________；(4)(-2m-1)2=_________________.36a2+60ab+25b216x2-

24xy+9y24m2+4m+14m2

-4m+14.

由完全平方公式可知：32＋