结构力学 第4章 静定结构的位移计算

第4章

结构的位移计算§4.1

位移计算概述一、位移的概念1.定义：在外因（荷载、温度变化、支座沉降等）作用下，结构将发生尺寸和形状的改变，称为变形。结构变形后，其上各点的位置会有变动，称为位移。位移是矢量，有大小、方向。2.种类：（1）线位移：水平位移；竖向位移（2）角位移：转动方向

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something二、计算位移目的三、位移产生的主要原因为什么要计算位移?1.验算结构的刚度；2.为超静定结构的内力分析打基础。1.荷载作用；2.温度改变和材料胀缩；3.支座沉降和制造误差等。四、计算结构位移的原理1.位移计算假定条件：线弹性变形体在小变形条件下的位移2.计算原理：变形体系的虚功原理3.计算方法：虚设单位荷载法§4.2虚功和虚功原理1.概念一、实功与虚功实功：力在自身所产生的位移上所作的功。虚功：力在其它原因产生的位移上作的功。2.做功的两种形式力在变形位移上所作的实功为：P力在对应虚位移上所作的虚功为：P常力实功：

静力实功：刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是，对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。二、虚功原理PΔ2Δ3Δ/21.刚体体系的虚功原理体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和。2.变形体系的虚功原理说明：（1）虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。（2）原理适用于任何(线性和非线性)的变形体，适用于任何结构。（3）位移和变形是微小量，位移曲线光滑连续，并符合约束条件。（4）在虚功原理中，做功的力和位移无关，可以虚设力也可虚设位移。3.虚功原理的应用1）虚设位移求未知力（虚位移原理）

虚设单位位移法:已知一个力状态，虚设一个单位位移状态，利用虚功方程求力状态中的未知力。这时，虚功原理也称为虚位移原理。2）虚设力系求位移（虚力原理）

虚设单位荷载法:已知一个位移状态，虚设一个单位力状态，利用虚功方程求位移状态中的未知位移。这时，虚功原理也称为虚力原理。三、刚体体系虚功原理应用举例例1.求A

端支座发生竖向位移c

时引起C点的竖向位移

.解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。由得：解得：

这是单位荷载法

。虚功方程为：ABaCbc1ABC例2.求多跨静定梁在C点的支座反力FC。FFABCDEa2aa2aa(a)FFABCDE(b)FCABCDE(c)δC=1δ1δ2（3）代入刚体体系的虚功方程，求FC。解得：

这是单位位移法

。虚功方程为：解：（1）撤掉支座C,把支座反力变成主动力FC。这时体系变成一个机构，如图（b）所示。（2）取图（c）所示机构的刚体体系沿所求支座反力方向虚设单位位移δC=1。根据几何关系，可求出力F作用点处相应的位移：δ1=-3/2，δ2=3/4d

微段的变形可分为:ds1PqN1N1+dNQ1Q1+dQM1M1+dMdsddsd§4.3

位移计算的一般公式2ds一、公式的推导基本原理——变形体系的虚力原理（虚设单位荷载法）

虚设力状态：在求位移处沿所求位移方向加上相应的广义单位力P=1。如图所示结构，计算K点的水平位移。P=1虚拟力状态11RP1P2t1t2位移状态2c1KΔKHK对于杆系结构，内力所作虚功：外力所作虚功：由变形体虚功原理：说明：该式是结构位移计算的一般公式。适用于静定结构和超静定结构。2)适用于产生位移的各种原因、不同的变形类型、不同的材料。3)该式右边四项乘积，当力与变形的方向一致时，乘积取正。二、虚设单位荷载的方法1)求某截面的线位移2)求某截面的角位移3)求某两点间的相对角位移4)求某两点间的相对线位移P=1P=1P=1§4.4荷载作用下的位移计算一、公式的进一步推导d

ddsd二、各类结构的位移公式1.梁与刚架—以弯曲变形为主2.桁架—只有轴向变形3.组合结构4.拱例1.求图示等截面梁B端转角。

2）分段求MP的表达式（0≤x≤l）m=1Pl/2l/2EIABx1x2解：1）虚拟单位荷载AC段：MP=Px/2（0≤x1≤l/2）BC段：MP=P（l－x）/2（l/2≤x2≤l）（）3）代入公式求φB解：例2.求图示桁架(各杆EA相同)K点水平位移.1）分别求出桁架各杆在实际荷载和虚设单位荷载作用下的轴力。2）代入公式求ΔKHP=1例3.求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移Δ。解：1）虚拟单位荷载虚拟荷载3）代入公式求Δds=Rdθ2）实际荷载Pθdθds钢筋混凝土结构G≈0.4E矩形截面,k=1.2，I/A=h2/12可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略.例4.求图示悬臂刚架C截面的角位移φC。刚架EI为常数。

解：（1）取图(b)所示虚设单位力状态。（2）实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以内侧受拉为正)横梁BC(以C为原点)竖柱BA(以B为原点)

MP=-Px1

(0≤x1≤l)MP=-Pl(0≤x2≤l)

M=-1

(0≤x2≤l)M=-1

(0≤x1≤l)

(3)将MP、M代入位移公式

一、适用范围与限制条件§4.5

图乘法如何利用弯矩图，使其计算得以简化？1.适用范围:受弯曲变形为主的梁、刚架及组合结构中的梁式杆2.限制条件:（1）杆轴是直线；（2）EI是常数；（3）至少有一是直线图形。二、图乘法的公式(EI为常数)(直杆)图乘法求位移公式为:注意图乘法的应用条件说明：（1）若两个M图在杆件的同侧，乘积取正值；反之，取负值。（2）

应取自直线图中。（3）必须分别取自两个弯矩图。三、应用图乘法时的几个具体问题3.当图形比较复杂，其面积或形心位置不易直接确定时，可采用叠加法。1.竖标yC只能由直线弯矩图中取值。如果MP与单位M图都是直线，则yC可取自其中任一个图形。2.当结构某一根杆件的M图为折线形时，或者各杆段的截面不相等时，均应分段图乘，然后进行叠加。图1例如，图1(a)所示两个梯形应用图乘法，可不必求梯形的形心位置，而将其中一个梯形(设为MP图)分成两个三角形，分别图乘后再叠加。对于图2所示由于均布荷载q所引起的MP图，可以把它看作是两端弯矩竖标所连成的梯形ABDC与相应简支梁在均布荷载作用下的弯矩图叠加而成。四、几种常见图形的面积和形心的位置

(1)

画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP；

(2)

据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位弯矩图M；

(3)

分段计算一个弯矩图形的面积ω及其形心所对应的另一个弯矩图形的竖标yC；

(4)

将ω

、yC代入图乘法公式计算所求位移。五、图乘法计算位移的解题步骤【例1】求图(a)所示简支梁A端角位移φA及跨中C点的竖向位移ΔCV。EI为常数。【解】(1)

求φA

①实际荷载作用下的弯矩图MP如图(b)所示。②在A端加单位力偶m=1，其单位弯矩图M如图(c)所示。③MP图面积及其形心对应单位M图竖标分别为

④计算φA

(2)

求ΔCV

①MP图仍如图(b)所示。②在C点加单位力P=1，单位弯矩图M如图(d)所示。③计算ω、yC。由于单位M图是折线形，故应分段图乘再叠加。因两个弯矩图均对称，故计算一半取两倍即可。

④计算ΔCV

【例2】试求图(a)所示的梁在已知荷载作用下，A截面的角位移φA及C点的竖向线位移ΔCV。EI为常数。【解】(1)

分别建立在m=1及P=1作用下的虚设状态，如图(c)、(d)所示。

(2)

分别作荷载作用和单位力作用下的弯矩图，如图(b)、(c)、(d)。

(3)

图形相乘。将图(b)与图(c)相乘，则得

结果为负值，表示φA的方向与m=1的方向相反。

计算ΔCV时，将图(b)与图(d)相乘，这里必须注意的是MP图BC段的弯矩图是非标准的抛物线，所以图乘时不能直接代入公式，应将此部分面积分解为两部分，然后叠加，则得

【例3】计算图(a)所示悬臂刚架D点的竖向位移ΔDV。各杆EI如图示。【解】(1)实际荷载作用下的弯矩图MP如图(b)所示。

(2)在D端加单位力P=1，单位弯矩图M如图(c)所示。

(3)计算ω、yC

图乘时应分AB、BC、CD三段进行，由于CD段M=0，可不必计入。故只计算AB、BC两段。

AB段：ω1=2/3l2(取自单位M图)y1=Pl/4BC段：ω2=2l2/9y2=Pl/4(4)计算ΔDVΔDV=1/EI(ω1yC1)+1/2EI(ω2yC2)

=-5Pl3/(36EI)(↑)【例4】计算图(a)所示外伸梁C点的竖向位移ΔCV。EI为常数。【解】(1)

实际荷载作用下的弯矩图MP如图(b)所示。

(2)

在C处加竖向单位力P=1，其弯矩图M如图(f)所示。

(3)

计算ω、yC

BC段：ω1=ql3/48

y1=3/8l

AB段：

ω2=ql3/16

y2=1/3

ω3=ql3/24

y3=1/4l

(4)

计算ΔCV

ΔCV=1/EI(ω1y1+ω2y2+ω3y3)=ql4/(128EI)(↓)§4.6

支座移动、温度作用时的位移计算一、支座移动时的位移计算静定结构由于支座移动或制造误差，不引起任何内力，且其内部亦不产生变形，但整个结构会产生刚体位移。1.支座移动对静定结构的影响2.支座移动时静定结构的位移计算公式

注意：乘积正负号，同侧为正，异侧为负。

如图(a)所示刚架，支座移动为C1、C2、C3，致使整个结构移动到了虚线位置如图示。下面利用虚功原理求结构上任一点K沿i-i方向的位移ΔKi。【例1】三铰刚架的跨度l=12m，高为h=8m。已知右支座B发生了竖直沉陷C1=6cm，同时水平移动了C2=4cm(向右)，如图(a)所示。试求由此引起的左支座A处的杆端转角φA。

【解】(1)

在A处虚设单位力偶m=1，如图(b)所示。(2)计算单位荷载作用下的支座反力由于A支座无位移，故只需计算B支座反力即可。取整体为隔离体，由∑MA=0得取右半刚架BC为隔离体，由∑MC=0得(3)

计算φA

计算结果为正，说明φA与虚设单位力偶m=1的转向一致。静定结构由于温度变化，材料会引起热胀冷缩，导致结构产生变形和位移，但整个结构不引起任何内力。1.温度变化对静定结构的影响2.温度作用时静定结构的位移计算公式二、温度作用时的位移计算

设材料的线膨胀系数为α

（1）杆件无剪切变形：（2）杆件形心轴处的伸长（轴向变形）（3）微段两端截面的相对转角（弯曲变形）其中杆件两侧温度变化之差其中：杆件形心轴处的温度变化值对于等截面直杆:若和使杆件的同一边产生拉伸变形，其乘积为正，反之为负。：形心轴处的温度改变值，温度升高为正，降低为负；：杆件两侧温度改变值的差值，取其绝对值；：虚设单位荷载作用下各杆的轴力值，受拉为正，受压为负；：虚设单位荷载作用下图的面积；注意：各项参数正负号的取值例1.刚架施工时温度为20℃，试求冬季外侧温度为-10℃，内侧温度为

0℃时A点的竖向位移。已知

l=4m,,各杆均为矩形截面杆，高度

h=0.4m。解：（1）虚设单位力，绘制单位弯矩图和轴力图。llAMANA外侧温度变化值：℃内侧温度变化值：℃（2）代入公式求A点的竖向位移

§4.7

互等定理如图1所示简支梁，分别作用两组外力P1与P2，并分别称为第一状态(图1(a))和第二状态(图1(b))。计算第一状态的外力及其所引起的内力在第二状态的相应位移和变形上所做的虚功T12和W12时，据虚功原理有T12=W12，即一、功的互等定理图1反之，计算第二状态的外力及其所引起的内力在第一状态的相应位移和变形上所做的虚功T21和W21时，据虚功原理有T21=W21，即

上式表明：第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功。这就是功的互等定理。在功的互等定理中，假如两个状态中的荷载是单位力时(P1=1,P2=1)，由单位力所引起的位移，用小写字母δ12、δ21表示，如图2所示。代入功的互等定理式，则有

二、位移互等定理这就是位移互等定理。它表明：第二个单位力P2=1在第一个单位力作用点沿其方向所引起的位移δ12，等于第一个单位力P1=1在第二个单位力作