高数极值与最值

二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法节

函数的极值与最大值最小值2021/5/91一、函数的极值及其求法2021/5/92定义:在其中当时,(1)则称为的极大值点

,称为函数的极大值

;(2)则称为的极小值点

,称为函数的极小值

.极大值点与极小值点统称为极值点

.极大值与极小值统称为极值

.2021/5/93注意:为极大值点为极小值点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如,为极大值点,是极大值是极小值为极小值点,函数2021/5/94设函数f(x)在x0处连续

且在(x0-δ

x0)

(x0

x0+δ)内可导

(1)如果在(x0-δ

x0)内f

(x)

0

在(x0

x0+δ)内f

(x)

0

那么函数f(x)在x0处取得极大值

(2)如果在(x0-δ

x0)内f

(x)<0

在(x0

x0+δ)内f

(x)>0

那么函数f(x)在x0处取得极小值

(3)如果在(x0-δ

x0)及(x0

x0+δ)内f

(x)的符号相同

那么函数f(x)在x0处没有极值

定理2(第一充分条件)

x1x2x3x4x5“左正右负”“左负右正”2021/5/95确定极值点和极值的步骤(1)求出导数f

(x);(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点;(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f

(x)的符号;

(4)确定出函数的所有极值点和极值.设函数f(x)在x0处连续

且在(x0-δ

x0)

(x0

x0+δ)内可导

(1)如果在(x0-δ

x0)内f

(x)

0

在(x0

x0+δ)内f

(x)

0

那么函数f(x)在x0处取得极大值

(2)如果在(x0-δ

x0)内f

(x)<0

在(x0

x0+δ)内f

(x)>0

那么函数f(x)在x0处取得极小值

(3)如果在(x0-δ

x0)及(x0

x0+δ)内f

(x)的符号相同

那么函数f(x)在x0处没有极值

定理2(第一充分条件)

2021/5/96例1.

求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为2021/5/97证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.定理3(第二充分条件)

设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f

(x0)

0

f

(x0)

0

那么

(1)当f

(x0)

0时

函数f(x)在x0处取得极大值

(2)当f

(x0)

0时

函数f(x)在x0处取得极小值.

2021/5/98定理3(第二充分条件)

设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f

(x0)

0

f

(x0)

0

那么

(1)当f

(x0)

0时

函数f(x)在x0处取得极大值

(2)当f

(x0)

0时

函数f(x)在x0处取得极小值.

应注意的问题：

如果f

(x0)

0

f

(x0)

0

则定理3不能应用

但不能由此说明f(x0)不是f(x)的极值。讨论：

函数f(x)

x4

g(x)

x3在点x

0是否有极值？2021/5/99例2.

求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.2021/5/910定理3(判别法的推广)则:数,且1)当为偶数时,是极小点;是极大点.2)当为奇数时,为极值点,且不是极值点.当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.证:利用在点的泰勒公式,可得2021/5/911例如,例2中所以不是极值点.极值的判别法(定理1~

定理3)都是充分的.说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如:为极大值,但不满足定理1~定理3的条件.2021/5/912观察与思考：

观察哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点,

怎样求函数的最大值和最小值.

二、最大值与最小值问题x1x2x3x4x5Mm2021/5/913

闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的端点及区间内的极值点处取得.

函数在闭区间[a

b]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者;其最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者

极值与最值的关系x1x2x3x4x5Mm2021/5/914最大值和最小值的求法

(1)求出函数f(x)在(a

b)内的驻点和不可导点

设这此点为x1

x2

xn;

(2)计算函数值

f(a)

f(x1)

f(xn)

f(b);(3)判断:

最大者是函数f(x)在[a

b]上的最大值

最小者是函数f(x)在[a

b]上的最小值

最大值最小值2021/5/915特别:

当在内只有一个极值可疑点时,

当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)

对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)2021/5/916例3.

求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.2021/5/917因此也可通过例3.

求函数说明:求最值点.与最值点相同,由于令(自己练习)在闭区间上的最大值和最小值.2021/5/918

例4

工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km

A点到火车站B的距离为100km

欲修一条从工厂到铁路的公路CD

已知铁路与公路每公里运费之比为3:5

为了使火车站B与工厂C间的运费最省

问D点应选在何处？DC20kmAB100km

解

x

设AD

x(km)

y

5k

CD

3k

DB(k是某个正数)

B与C间的运费为y

则DB=100

x

2021/5/919其中以y|x

15

380k为最小

因此当AD

15km时

运费最省

由于y|x

0

400k

y|x

15

380k

例4

工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km

A点到火车站B的距离为100km

欲修一条从工厂到铁路的公路CD

已知铁路与公路每公里运费之比为3:5

为了使火车站B与工厂C间的运费最省

问D点应选在何处？y

5k

CD

3k

DB(k是某个正数)

解

设AD

x(km)

B与C间的运费为y

则2021/5/920

解

把W表示成b的函数

函数在唯一驻点b0处一定取得最大值

由W

b

0知

例5

把直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁

问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W()最大?2021/5/921用开始移动,例6.设有质量为5kg的物体置于水平面上,受力F作解:

克服摩擦的水平分力正压力即令则问题转化为求的最大值问题.设摩擦系数问力F与水平面夹角

为多少时才可使力F的大小最小?2021/5/922令解得而因而F

取最小值.解:即令则问题转化为求的最大值问题.2021/5/923清楚(视角

最大)?观察者的眼睛1.8m,例7.

一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于解:设观察者与墙的距离为xm,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最2021/5/924存在一个取得最大利润的生产水平?如果存在,找出它来.售出该产品x千件的收入是例8.设某工厂生产某产品x千件的成本是解:售出x千件产品的利润为问是否故在x2=3.414千件处达到最大利润,而在x1=0.586千件处发生局部最大亏损.2021/5/925说明：在经济学中称为边际成本称为边际收入称为边际利润由此例分析过程可见,在给出最大利润的生产水平上即边际收入＝边际成本（见右图）成本函数收入函数即收益最大亏损最大2021/5/926内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值(4)判别法的推广定理3定理32021/5/927最值点应在极值点