数据的分析章节教材分析

第二十章“数据的分析”介绍课程教材研究所左怀玲从《原则》看，本章属于“统计与概率”领域。对于“统计与概率”领域的内容，本套教科书独立于“数与代数”和“空间与图形”领域编写，共有四章。这四章内容采用统计和概率分开编排的方式，前三章是统计，最后一章是概率。统计部分的三章内容按照数据解决的基本过程来安排。我们在7年级上册和8年级上册分别学习了“第4章数据的收集与整顿”“第12章数据的描述”，本章是统计部分的最后一章，重要学习分析数据的集中趋势和离散程度的惯用办法。在前两章中，我们学习了收集、整顿和描述数据的惯用办法，将收集到的数据进行分组、列表、绘图等解决工作后，数据分布的某些面貌和特性能够通过统计图表等反映出来。为了进一步理解数据分布的特性和规律，还需要计算出某些代表数据普通水平（典型水平）或分布状况的特性量。对于统计数据的分布的特性，能够从三个方面来分析：一是分析数据分布的集中趋势，反映数据向其中心值（平均数）靠拢或聚集的程度；二是分析数据分布的离散程度，反映数据远离其中心值（平均数）的趋势，三是分析数据分布的偏态和峰度，反映数据分布的形状。这三个方面分别反映了数据分布特性的不同侧面。根据《原则》的规定，本章从就前两个方面研究数据的分布特性。全章教学约需15学时（不涉及选学内容的学时数），具体内容和学时分派以下：20．1

数据的代表

约6学时20．2

数据的波动

约5学时20．3

课题学习

约2学时数学活动

小结

约2学时一、教科书内容与课程学习目的本章重要研究平均数（重要是加权平均数）、中位数、众数以及极差、方差等统计量的统计意义，学习如何运用这些统计量分析数据的集中趋势和离散状况，并通过研究如何用样本的平均数和方差预计总体的平均数和方差，进一步体会用样本预计总体的思想。下面是本章知识展开的构造框图。本章知识的展开次序以下图：对于一组数据运用统计图表整顿和描述后来，数据分布的某些面貌和特性就能够通过这些图表反映出来。为了进一步理解数据分布的特性和规律，还需要计算出某些特性量来表达这组数据的集中趋势或典型水平。这些特性量代表这组数据频数分布中大量数据向一点集中的状况，从而反映出数据资料的典型水平。例如，要想比较某校同年级两个班某学科的测验分数，不能将两个班每个学生的测验成绩一一列举出来进行比较。由于每个学生的分数由于多个因素的影响，大多是不相似的，用个别学生的成绩进行比较是得不出什么成果的。如果能够对每个班的学生成绩进行整顿、加工之后，计算出一种或几个统计量来代表全班的测验水平，再比较就非常简朴明了了。很显然，这个能够代表全班成绩水平的统计量应当含有下列特点之一：1．能够表明全班测验成绩中心点的统计量；2．能够表明全班测验成绩排序最中间的统计量；3．能够表明全班测验成绩出现最多的统计量；4．能够表明全班测验成绩分布范畴的统计量。这些统计量之因此能够代表全班成绩去进行比较，是由于它们从不同的角度度量了全班测验成绩集中于哪一点或哪一种范畴，因此把它们统称为集中趋势的度量，惯用度量集中趋势的特性量有平均数、中位数、众数和分位数等，本章研究前三个统计量。统计中惯用的平均数有算数平均数（简朴算数平均数和加权算数平均数）、调和平均数、几何平均数等。根据《原则》的规定，本章着重研究了加权平均数。本章第20.1节开始，首先给出一种农业方面的实际问题，规定根据问题中提供的数据计算人均耕地面积，这是一种计算加权平均数的问题。教科书没有直接给出运用加权平均数解决问题的做法，而是设立一种讨论栏目，给出一种学生中常见的一种错误解法（即直接求平均数的平均数），让学生讨论这种解法，通过讨论发现错误，找到产生错误的因素，借此给出对的的解法，引进加权平均数的概念。通过比较解决这个实际问题的对的与错误的解法，也使学生对“权”的意义和作用有所体会。“权”的重要性在于它能够反映数据的相对“重要程度”，为了更加好地阐明这一点，教科书安排了2个例题，从不同方面体现“权”的作用，使学生更加好地理解加权平均数。在求n个数的算数平均数时，有时会碰到重复数据较多的状况，这时能够将求算数平均数的公式进行简化，例如能够写成，如果将分别当作是的权，则算数平均数和加权平均数就统一起来，只是这里“权”的意义并不是很突出。教科书在这里将两者统一起来，为的是使学生对加权平均数有一种较全方面的认识。接下去，教科书又通过一种探究栏目，研究了对于区间分组的数据如何求加权平均数的问题，这类问题是统计中常见的。运用计算器的统计功效能够方便地求出一组数据的平均数，但由于不同品牌的计算器的操作环节不同，因此教科书没有针对某一款计算器介绍统计功效的使用，而是概要地介绍了一下过程。到此为止，教科书中涉及到的问题都是针对全体数据，不涉及样本数据的问题。本节最后，教科书结合一种例题，介绍了如何运用样本平均数预计总体平均数的问题，使学生对抽样的必要性、样本的代表性和用样本预计总体的思想有了更深的体会。本章在第20.1.2小节，通过几个具体实例，研究了中位数和众数。中位数是一种反映数据集中趋势的位置代表值，能够表明一组数据排序最中间的统计量，能够提供这组数据中，约有二分之一的数据不不大于（或不大于）中位数。对于中位数的这个作用，教科书通过一种比较典型的考察体育比赛成绩的例子来体现。另外，在这个例子中，也体现了用样本预计总体的思想。众数是表明一组数据出现次数最多的统计量，当一组数据有较多的重复数据时，众数往往是人们所关心的一种统计量，它提供了哪个（些）数据出现的次数最多。对于众数的这个作用，教科书也是通过一种典型的销售量问题来研究，在这个例子中，同样也体现了用样本预计总体的思想。在本节最后，教科书结合一种具体问题，编写了综合运用平均数、中位数和众数解决问题的例子，在这个例子中，涉及到根据具体问题的的需要选择适宜的统计量来刻画数据的集中趋势的问题，在解决问题的过程中，也样学生经历了一种对数据适宜分组、用表格整顿数据、用统计图描述数据，分析统计图表和计算平均数、中位数、众数来分析数据的一种数据解决的基本过程。在这个过程中也体现了用样本预计总体的思想。在本节最后，教科书运用一种归纳的栏目，对平均数、中位数和众数这三种刻画数据集中趋势的统计量进行了概括总结，突出了它们各自的统计意义和各自的特性。本章第20.2节研究了刻画数据波动状况的统计量。统计中刻画数据离散程度的统计量常有极差、方差、原则差、平均差、四分位差等，根据《原则》的规定，本章只研究极差和方差。极差是一组数据中最大值与最小值的差，它反映了一组数据的波动范畴，是刻画数据离散程度的最简朴的统计量。教科书运用温差的例子来研究极差，温差是人们日常生活中熟悉的概念，是一种典型的极差的例子，运用温差介绍极差，有助于学生认识极差的统计意义。方差是统计中惯用的一种刻画数据离散程度的统计量，教科书对方差进行了比较具体的研究。首先在一种讨论栏目设计了一种实际问题背景，根据背景提出两个具体问题，从统计上看，这两个问题中是要计算两组数据的平均数和比较它们的波动状况。通过计算可知两组数据的平均数是相似的，这一点有助于学生理解数据的波动状况。为了直观第看出数据的波动状况，教科书画出了两个散点图，通过观察散点图，能够比较两组数据的波动状况。这两个散点图的使学生对数据偏离平均数的状况有一种直观的认识。在此基础上，教科书引进了运用方差刻画数据离散程度的办法，介绍了方差的公式，并从方差公式的构造上分析了方差是如何刻画数据的波动的，即方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小。将运用方差刻画数据的波动和运用散点图显示数据的波动结合起来，更有助于学生理解方差的意义，因此，教科书对本小节开始提出的实际问题用两种办法进行了比较，然后又设计一种例子，来运用方差反映数据的波动。运用计算器的统计功效也能够求方差，由于不同品牌计算器在计算方差时操作的环节不同，教科书对使用计算器求方差，只做了简朴的介绍。在本节最后，教科书回到本章前言中提出的问题。由于这个实际问题涉及到用样本方差预计总体方差的问题，这样，教科书就结合这个例子介绍了如何运用样本方差预计总体方差的问题。教材在最后一节安排了一种含有一定综合性和活动性的“课题学习”。这个“课题学习”选用了与学生生活联系亲密的体质健康问题。由于本章是统计部分的最后一章，因此这个课题学习的综合性比前面两章统计中的课题学习更强。为了便于教学操作，教科书根据《中学生体质健康记录表》提供了一种样例，样例中涉及到选择样本收集数据、用统计表图整顿和描述数据，通过计算平均数、中位数、众数、极差和方差等分析数据得出结论的统计过程。完毕这个课题学习，规定学生综合运用本章以及以前所学有关数据解决的知识和办法，通过小组合作活动的方式，经历数据解决得出结论以及对所得结论进行解释和辩驳的统计过程。在这个过程中，让学生进一步感受用样本预计总体的统计思想，进一步体验统计是进行决策的有利手段。对于本章内容，教学中应达成下列几方面规定：1．进一步理解平均数、中位数和众数等统计量的统计意义；2．会计算加权平均数，理解“权”的意义，能选择适宜的统计量表达数据的集中趋势；3．会计算极差和方差，理解它们的统计意义，会用它们表达数据的波动状况；4．能用计算器的统计功效进行统计计算，进一步体会计算器的优越性；5．会用样本平均数、方差预计总体的平均数、方差，进一步感受抽样的必要性，体会用样本预计总体的思想；6．从事收集、整顿、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据解决的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度。二、本章编写特点1．注意突出统计思想统计中经常采用从总体中抽出样本，通过分析样本数据来预计和推测总体的状况，用样本预计总体是统计的基本思想。本套教科书对于统计的这一基本思想予以充足重视。本章在第4章的抽样调查收集数据的基础上，研究了如何用样本的集中趋势和波状况预计总体对应状况的问题。例如在20.1节通过实例学习了如何用样本的平均数、中位数和众数预计总体的对应状况，在20.2节通过实例研究了如何用样本的方差预计总体的方差的问题，在20.3节的课题学习中也要让学生通过抽样进行统计调查活动，通过对样本数据的分析得出对总体的预计等等。因此，本章编写时，在每一节都注意体现了用样本预计总体的思想，使学生有更多的机会接触这一思想，使得他们对抽样的必要性、样本的代表性、用样本预计总体的可行性，以及不同的抽样可能得到不同的成果（即结论的“不拟定性”等有更多体会。2．强调在活动中建立统计观念，突出统计活动的基本过程统计观念反映的是由一组数据所引发的想法、能推测到的可能成果以及自觉地想到用统计的办法解决问题等，是在亲身经历统计活动的过程中培养出来的一种感觉。培养统计观念的一种最有效的办法是让学生从事统计活动，经历统计活动的基本过程，在收集、整顿、描述和分析数据的统计活动中，逐步学会用数据说话。本套教科书特别注意让学生经历统计活动的基本过程，在活动中学习有关统计的知识和办法，建立统计观念。例如，对于“统计与概率”领域中统计的内容，全套教科书以数据解决的基本过程为线索，按照数据的收集与整顿、数据的描述、数据的分析来安排统计内容。在每一章的中，对于统计的知识和办法又都是放在数据解决的基本过程中来学习的，本章也是如此。例如，本章在研究选择适宜的统计量刻画数据的集中趋势的问题时（例6），教科书从一种实际问题出发，规定学生通过活动，经历数据解决的基本过程，在这个过程中，学习根据实际问题的需要，根据各统计量的特性来选择它们描述数据的集中趋势。再如，本章第20.3节的课题学习，强调让学生综合运用所学的统计知识和办法，通过调查活动获得某些信息。动手解决数据并展示自己的成果是一种活动性很强，并且充满乐趣的过程，在这个活动中，学生将经历收集、整顿、描述和分析数据得出结论，并对结论进行解释或辩驳的过程。这样的一种解决方式，将统计的概念、办法与原理统一到数据解决的活动过程中，使学生更加好地体会统计的思想，协助学生建立统计观念。3．素材丰富，体现统计与生活的亲密联系统计与现实生活的联系是非常紧密的，这一领域的内容对学生来说应当是充满趣味性和吸引力的，本套教科书编写时特别注意将统计的学习与实际问题紧密结合，选择典型的、学生感爱好的和富有时代气息的现实问题作为例子，在解决这些实际问题的过程中，学习数据解决的办法，理解统计的概念和原理，本章亦是如此。例如，在第20.1节中，教科书运用“求人均耕地面积”“公司招聘职工”“演讲比赛成绩”“公共汽车载客量”“灯泡的使用寿命”等实际问题来学习加权平均数，运用“体育比赛成绩”“鞋店销售量”等学习中位数和众数，在解决实际问题的过程中体现加权平均数、中位数和众数的统计意义；又如，在20.2节中，借助于“”温差“年纪”“身高”“选择甜玉米种子”等实际问题，研究极差和方差，结合这些实际问题情景，使学生更加好地理解极差与方差的统计意义；再如，在第20.3节中，教科书选择了一种与学生生活亲密联系的“体质健康测试中的数据分析”作为“课题学习”，使学生综合运用本章知识和办法进行统计活动。这样的一种与实际问题紧密结合编写方式，能够使学生在解决实际问题的过程中，学习有关的统计知识和办法，体会统计的思想，同时也使学生感受到统计与实际生活的亲密联系，以及统计在解决现实问题中的作用。三、几个值得关注的问题1．注意与前两个学段有关内容的衔接本章是第三学段“统计与概率”的最后一章，重要学习分析数据集中趋势和离散程度的知识与办法，这也是数据解决的最后一种环节。对于数据的分析，《原则》在第2学段和本学段都有规定，第2学段规定“理解、会求平均数、众数、中位数，选择适宜的统计量表达数据的不同特性”，这样看来，对于分析数据集中趋势的三种统计量，学生在第2学段已有所接触，已经会求平均数、众数、中位数，对它们能够表达数据的不同特性有所体会；《原则》在本学段规定“会计算加权平均数，能选择适宜的统计量表达数据的集中程度；会计算极差方差，会表达数据的离散程度”，这样看来，本学段在第2学段的基础上，需要学习运用加权平均数刻画数据的集中趋势以及用极差、方差刻画数据的离散程度等。根据《原则》的这个特点，本章在编写时，注意与前两个学段的衔接，将三个学段的有关内容，在分析数据的这个大背景下统一起来，在对学生已有的有关知识进行整顿的基础上学习新的知识。例如，对于平均数、中位数、众数，本章就是在研究数据集中趋势的大背景下，在整顿学生已有的有关这三种统计量的认识的基础上，学习加权平均数，研究如何根据统计量的特性选择适宜的统计量描述数据的集中趋势等。这样的一种编写方式，将三个学段的学习连成一种互相联系、螺旋上升的整体。因此，教学中要注意对已有知识的复习，在复习的基础上学习新内容，使学