向量组的秩-例题选讲

单个向量组成的向量组:(1)若=0,则线性相关;(2)若0,则线性无关.两个向量组成的向量组,:(1)若对应分量成比例,则线性相关;(2)若对应分量不成比例,则线性无关.复习线性相关性的判定理论2021/5/91设有n维向量组成的向量组:

1,

2,…,

m(1)包含0向量线性相关.(2)包含成比例的向量

线性相关.(3)线性相关

存在一个向量可由其余的向量线性表示.(4)线性无关

任何向量都不能由其余的向量线性表示.(m2)增加(减少)个数不改变相(无)关性.(5)(6)增加(减少)维数不改变无(相)关性.2021/5/92(7)

向量组

1,

2,…,

m线性相关性

x1

1+x2

2+…+xm

m=0有非零解

齐次线性方程组AX=0有非零解

其中A=(

1

2…

m),X=(x1,x2,…,xm)T(8)设有n个n维向量

1,

2,…,

n:

1,

2,…,

n线性相关

|

1

2…

n|=0;

1,

2,…,

n线性无关

|

1

2…

n|0.(9)

Rn中

n+1个向量一定线性相关.(10)矩阵判别法.2021/5/934.3

向量组的秩极大线性无关组与秩;2.

向量组的等价;3.向量组的秩与矩阵的秩的关系.本节主要内容2021/5/944.3.1向量组的极大无关组与秩定义1设S是n维向量构成的向量组,在S中选取r个向量,如果满足(1)线性无关(2)任取

S,总有线性相关.则称向量组为向量组S的一个极大线性无关组(简称极大无关组).数r称为该向量组的秩,记为r(

1,

2,…,

s)=r或秩(

1,

2,…,

s)=r2021/5/95

设有向量组

1=(1,1,1)T,

2=(2,1,0)T,

3=(3,2,1)T,求向量组的秩和极大无关组.因

1,

2线性无关

,且例1所以

1,

2为极大无关组,

可知

1,

3和

2,

3也都是极大无关组.故秩(

1,

2,

3)=2.

3=

1+

2解2021/5/96定理4.2

设n维向量

1,

2,…,

m线性无关,

而

1,

2,…,

m,

线性相关,则

可由

1,

2,…,

m线性表示,且表法唯一.证

由

1,

2,…,

m,

线性相关

存在不全为零的数k1,k2,…,km,l使得下面证明只有l

0,反证法.线性表示唯一性定理2021/5/97如果

l=0,则有k1,k2,…,km不全为零,使于是

1,

2,…,

m线性相关,与已知矛盾.从而

l

0.故有即

可由

1,

2,…,

m线性表示.下面来证明表示的唯一性.2021/5/98假若

有两种表示法,设两式相减,得由

1,

2,…,

m线性无关,得

可由

1,

2,…,

m唯一线性表示.故2021/5/99设有两个

n

维向量组若(I)中每个向量都可由(II)线性表示,

则称向量组(I)可由向量组(II)线性表示.

若向量组(I)和(II)可以互相线性表示,

则称向量组(I)与(II)等价.定义24.3.2

向量组的等价等价的性质自反性、对称性、传递性2021/5/910n维向量组存在数

,使得即定义存在r×s矩阵K,使得

Bn×s

=An×r

向量组(II)可由向量组(I)线性表示2021/5/911极大无关组与原向量组的关系?极大无关组之间的关系?这都要用到两个向量组之间的关系.

向量组极大无关组的几个问题:向量组与它的极大无关组等价.证设(I)极大无关组.不妨设(II)性质1的秩为r,是(I)的一个2021/5/912即(II)

可由(I)

线性表示.

i(i=1,2,…,r)

(II),

由(1)

由定义1知,

1,

2,

,

m中任意r+1个(2)故(I)与(II)

等价.

j

(I)

向量都线性相关.

如果j=1,…,r,

j显然可由

1,

2,

,

r线性表示;如果

j=r+1,…,m,向量组

1,

2,

,

r,

j一定线性相关,所以

j(j=r+1,…,m)可以由

1,

2,

,

r线性表示(I)可由(II)线性表示.2021/5/913证

设

(I),(II)是向量组S

的两个极大无关组,由性质1知,(I)与S等价,

(II)与S等价

,由传递性(I)与(II)等价.向量组的任意两个极大无关组等价.性质2设有n维向量组:若(I)线性无关,且(I)可由(II)线性表示,则

r

≤s

.定理4.32021/5/914证因为向量组(I)可由(II)

线性表示,故有线性无关,由矩阵判别法知故r

s.(I)(II)2021/5/915推论2若(I)、(II)都线性无关,且(I)与(II)等价,则

r=s.向量组的

两个极大无关组所含向量个数相等推论3若(I)可由(II)线性表示,则秩(I)≤秩(II).如果向量组(I)可由(II)线性表示,且r>s,则(I)

线性相关.

等价的无关向量组必然等秩推论12021/5/916证

设r(I)=r

,

r(II)=s

,

(I´),(II´)分别是(I),(II)

的极大无关组,显然(I´),(II´)含向量的个数分别是r与

s

.

因为(I´)可由(I)线性表示,(I)可由(II)

线性表示,而(II)可由(II´)线性表示,所以

(I´)可由(II´)线性表示.由定理4.3有r

s.等价的向量组等秩2021/5/917设若向量组

1,

2,

3线性无关,证明向量组

1,

2,

3也线性无关.证1由已知可以解得用

1,

2,

3来表示

1,

2,

3的表达式:

故两向量组等价,等秩,

r(

1

2

3)=3

r(

1

2

3)=3

1,

2,

3线性无关.例22021/5/918证2

故两向量组等价,等秩,

则

1,

2,

3线性无关.2021/5/9194.3.3向量组的秩与矩阵的秩的关系定理4.4r(An×m)=A的列向量组

的秩.分析记r(A)=r,往证的秩为r,

即只要证

的极大无关组含r个向量.证r(A)=rA存在r阶子式

Dr

≠0记Dr对应的r列为是r维线性无关向量的接长,仍线性无关.是线性相关的,下证2021/5/920②

j不在

i1,i2,…,ir中,①

j在

i1,i2,…,ir中;

线性相关.r+1列对应的子矩阵记为A1

,r(A1)≤r(A)=r

＜r+1而因为

线性相关,所以是一个极大无关组.故r(A)=A的行秩=

A的列秩由,又有

A的行秩.

2021/5/921

设AB=0.若A的列向量组线性无关,则B=0.若B的行向量组线性无关,则A=0.若B0,则A的列向量组线性相关.若A0,则B的行向量组线性相关.分析

设B=(B1,B2,…,Bm),AB=0

ABi=0.

A的列向量组线性无关

AX=0只有零解

Bi=0,i=1,…,m

B=0.

其余情况可以类似得到.例32021/5/922将A==B行①秩等;②极大无关组的位置对应相同;③表示系数对应相同当时,n维列向量组S:则向量组与

初等变换法极大无关组和秩的求法行初等变换不改变A的秩,不改变列向量组之间的线性关系.2021/5/923求矩阵A列向量组的一个极大无关组和秩,并把其余列向量用所求出的极大无关组线性表示.解

通过初等行变换把A化为行最简形例42021/5/924为一个极大无关组2021/5/925设有向量组1010=，=1100=2110=0011，，

求向量组的(1)秩;(2)极大无关组;(3)表示系数.解法1设1120011010110001A==是该向量组的一个极大无关组.110011001D==1≠0由而|A|=0知秩=3,例52021/5/926解法2设A=1120011010110001=1120011000010000行A1010011000010000行=B=(2)

是该向量组的一个极大无关组,(

和也是).(3)(1)秩

=3;2021/5/927总结:向量组的有关结论一、理解A=BC二、S的极大无关组(1)定义(2)S,则可被极大无关组线表,且表法唯一(3)S与极大无关组;

极大无关组～极大无关组(4)S的各极大无关组含向量个数相等--秩三、重要结论Th4.2Th4.3组(I)可被(II)线表示(I)无关r

≤s组(I)与(II)等价(I),(II)无关r

=s推2推3组(I)可被(II)线表秩(I)≤秩(II)组(I)与(II)等价秩(I)

=秩(II)四、秩、极大无关组、表示系数的求法Th4.42021/5/928例题选讲2021/5/929

判断下列命题是否正确？(1)

若向量组线性相关,则其中每一向量都

是其余向量的线性组合.解不正确.如e1,e2,2e2线性相关,e1不能用

e2,2e2线性表示.(ei是第i个单位向量)(2)

若一个向量组线性无关,则其中每一向

量都不是其余向量的线性组合.解正确.用反证法:若存在一向量是其余

向量的线性组合,则线性相关.例12021/5/930(3)

若

1,

2线性相关,

1,

2线性相关,则

1+

1,

2+

2也线性相关.解不正确.如(1,0),(2,0)线性相关,(0,1),(0,3)

线性相关,但(1,1),(2,3)

线性无关;(4)

若

1,

2,

3线性相关,则

1+

2,

2+

3,

3+

1也线性相关.解正确.不妨设

1可由

2,

3线性表示,

则

1+

2,

2+

3,

3+

1可由

2,

3线性表示.2021/5/931(5)

1,

2,…,

m线性无关

1,

2,…,

m

中任何两个都线性无关.所以线性相关.中任何两个都线性无关,但反例解不正确.只是必要条件,非充分.2021/5/932设向量组

,

,

线性无关,

,

,

线性相关,以下命题正确的是().(A)

可以由

,

,

线性表示;(B)

不可由

,

,

线性表示.(C)

可以由

,

,

线性表示;(D)

不可由

,

,

线性表示.例2

2021/5/933例3设向量组与

1,

2,…,

m,

1,

2,…,

m的秩相等,证明两向量组等价.证

(I):

(II):

1,

2,…,

m,

1