贝叶斯反演及其应用实例

沉积相控制的贝叶斯反演朱培民中国地质大学（武汉）中国地质大学（武汉）地球物理系2023/11/221报告提纲引言贝叶斯反演原理与算法井数据的利用沉积相数据的应用总结2023/11/222引言当前反演方法存在的问题

1.难以组合类型、精度各异的先验信息到反演过程之中 反演问题复杂，联合约束反演有利于得到更合理的反演结果。但由于当前各类先验信息在量纲上有很大差异，有些信息甚至根本无法量化，导致各类信息在反演过程中难以联合运用。

2.无法定量分析评价反演结果

传统的反演过程是一个寻找最优解的过程，它只提供了一个确定的反演结果，但并未给出其不确定性，即没有定量描述反演结果的可靠程度。2023/11/223引言当前反演方法存在的问题

3.在数据含有误差和噪音的情况下，如何在反演过程中获取较接近于真实的反演结果以上三个问题都可以通过贝叶斯方法

来获得较满意的解决方案2023/11/224报告提纲引言贝叶斯反演原理与算法井数据的利用沉积相数据的应用总结2023/11/225BayesianInversionMethod

贝叶斯

（ThomasBayes），英国数学家（1702～1761年），做过神甫，1742年成为英国皇家学会会员。贝叶斯主要研究概率论。他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策、统计推理、统计评价等做出了贡献。他在世时，发表了两篇论文，但是于1763年发表在伦敦皇家学会哲学学报上的那一篇提出著名的贝叶斯公式的论文《论有关机遇问题的求解》(《Essay

Toward

Solving

a

Problem

in

the

Doctrine

of

Chances》)却是在他死后的第三年才被发表。

200多年后，经过不断的发展与完善，贝叶斯公式以及由此发展起来的一整套理论与方法，已经成为概率统计中的一个冠以“贝叶斯”名字的学派。2023/11/226贝叶斯反演原理观察和研究世界的方式确定性的观点与方法：常规的地球物理反演方法概率统计的观点与方法：贝叶斯方法：把观测数据和模型参数都看成是随机变量。2023/11/227贝叶斯反演原理反演获得的解具有非唯一性，即在规定的误差范围内，有一系列的解对应。在反演过程中可以约束这些解，使之向地下参数的先验知识靠近。这类约束可能是确定的，如某一层的密度和速度值，也可能是不明确的，如工区沉积模式的认识。充分利用先验知识：可以用多维概率密度函数的形式（例如高斯分布）来描述模型参数的先验知识。在先验信息的背景上，根据观测数据，缩小模型参数的分布范围，获得反演问题的解的后验概率密度分布。后验概率分布揭示了模型参数值的最可能分布。2023/11/228贝叶斯反演原理贝叶斯定理

m：模型参数d：观测数据

：模型参数的先验概率分布；

：地质条件的先验概率分布，它可视为一个常数；

：给定模型参数条件下具体地质条件(观测数据)的似然概率；

：是组合先验信息和似然概率得到的模型参数后验概率；以模型的均值、方差和后验概率分布来评价和预测反演结果2023/11/229贝叶斯反演原理×贝叶斯反演方法原理图数据的似然概率模型的后验概率分布模型的先验概率分布反演结果是模型参数的概率分布2023/11/2210贝叶斯反演原理与算法似然函数 在贝叶斯反演计算中，似然函数P(d|m)的大小反映了模型响应与观测数据的失配程度。通常实际的观测数据总是会存在一定的噪音，同时反演的模型结果也会有误差，在我们假定这些噪音和误差的分布均为高斯（Gauss）分布时，似然函数P(d|m)等价于函数exp[-SE(m)]，即 式中E(m)为反演的目标函数，S为比例因子，它所起到的作用是调节能量大小对后验概率值的影响权重。2023/11/2211贝叶斯反演原理与算法 目标函数可以被定义为多种形式，而在假定数据误差呈高斯分布的情况下，我们一般选择的目标函数(在模拟退火中称之为能量)表达式为：

其中g(m)是由模型正演模拟的结果，C-1是数据协方差（相关）矩阵的逆，它包含了每个模型的观测误差对数据的影响。2023/11/2212贝叶斯反演原理与算法贝叶斯反演方法的主要流程如下：

1.调研目标区内的地质结构，了解其岩性及物性参数范围，以及它们之间的关系；2.根据调研结果和资料解释成果，确定出反演模型的先验概率分布；3.以参数先验概率分布作为约束条件，建立初始模型；4.使用模型进行正演模拟，并计算模拟结果与观测数据的能量值及似然函数；5.以Metropolis准则为标准判别模型是否可接受，“是”则保存模型，然后修改模型参数获得新模型；

重复步骤4，5以得到更多的模型样本。6.对所有反演出的模型样本进行统计计算，得到模型的均值、方差和后验概率分布；2023/11/2213迭代结束计算并输出结果初始化处理约束先验信息建模

正演模拟计算能量函数和似然概率后验概率Metropolis准则修改模型参数

地质等其它信息地球物理数据贝叶斯反演计算流程2023/11/2214一个简单AIT数据的反演对比试验No.LayerDesignedModelRt(ohm.m)InvertedresultsfromdatawithoutnoiseRt(ohm.m)Invertedresultsfromdatawith10%noiseRt(ohm.m)11.01.00321.02912100.0103.9282.46630.10.0998720.1028941.01.01461.0043Mismatch0.1537816674258E-0111.71517846406AnInversionresultsofanAITdatawith10%noiseusingSA含10%噪音的贝叶斯反演结果红线：设计模型蓝线：反演结果灰色：反演结果的不确定性——概率分布2023/11/2215贝叶斯反演数值试验2贝叶斯反演数值实验

原始模型10%噪声观测数据2023/11/2216数值实验2——解释结果模拟观测数据含10%噪音1750,501900,1002200,1502400,2002023/11/2217先验信息均值图方差图2023/11/2218传统反演——最优模型均值模型贝叶斯反演结果均值模型对应的方差2023/11/2219最优模型与原始模型的相关系数为0.933，均值模型与原始模型的相关系数为0.957。

为对比反演结果与原始模型的相似程度，分别计算计算了最优模型、均值模型与原始模型的相关系数。均值模型传统反演——最优模型2023/11/2220相关系数的计算方法 相关系数的方法是：把要对比的两个数据各道数据分别连接起来，视为一个二维随机变量（X,Y）。由概率统计中相关系数的定义，可知

式中，称为随机变量X与Y的协方差，和为X和Y的标准方差，而X与Y的协方差常用计算公式为： 这里E(X)、E(Y)、E(XY)分别对应为随机变量X、Y、XY的数学期望，也可称之为均值。2023/11/2221最优模型合成记录贝叶斯反演结果均值模型合成记录最优模型合成记录与原始合成记录的相关系数为0.926，均值模型合成记录与原始合成记录的相关系数为0.951。2023/11/2222贝叶斯反演的优点

BenefitsofBayesianInversion能有效地利用先验信息在条件概率的框架下，能比较容易地组合各种不同分辨率、不同精度、不通类型的数据源进行联合反演能在有噪音的情况下给出正确的结果能在有噪音的情况下给出反演结果的不确定性2023/11/2223报告提纲引言贝叶斯反演原理与算法井数据的利用——随机建模沉积相数据的应用总结2023/11/2224252023/11/22传统反演方法对井数据的利用

声波时差与密度波阻抗多井插值初始波阻抗模型问题：（1）插值不太符合地质规律（2）宽带约束反演与稀疏脉冲反演属迭代类非线性反演，严重依赖于初始模型好的初始模型是反演的关键单井多井2023/11/2225262023/11/22随机建模井数据或者其它地质数据应是统计学意义上的数据地质统计学：以区域化变量的理论为基础，以变差函数为工具，研究那些在空间分布上既具有随机性又具有结构性的自然现象的科学凡是要研究那些空间分布的数据的随机性和结构性，并对其进行最优无偏估计，或要模拟研究对象的离散性、波动性及其它性质时，均可以应用地质统计学的理论与方法。2023/11/2226272023/11/22地质变量——区域化变量

所谓区域化变量是指以空间点的空间直角坐标为自变量的随机场。当对它进行一次观测后，就得到了它的一个值，它是一个普通的三元实值函数或空间点函数。

例如，在地球物理学中的速度、密度和波阻抗等，在地质学中的沉积相。2023/11/2227282023/11/22变差函数描述地质变量的空间的随机变化规律的函数——变差函数在二阶平稳假设或内蕴假设条件下，其变差函数形式如下：

2023/11/2228变差函数球状模型C0为块金常数，C0+C为基台值，a为变程。在靠近坐标原点时，该模型接近于直线形状。该模型可解释为：在三维空间中，相距为h的两个位置，它们相互影响的范围是以这两点的位置为中心，做半径为a/2的两个球体。当两个球体中心位置的距离大于a时，说明这两个位置之间不产生影响。292023/11/222023/11/2229实验变差函数302023/11/222023/11/2230随机建模

随机模拟是通过随机抽样得到的等概率模型，并通过人工的选择从而构建的随机模型。它是一种不确定性的建模方法，它可产生多个等概率模型。其目的是为了从很多不确定的地质信息中构建更符合实际地质情况的随机模型。

目前，主要的随机模拟方法有序贯高斯模拟、序贯指示模拟、模拟退火模拟以及布尔模拟等等。312023/11/222023/11/2231模拟退火随机建模关键技术问题

①构建目标函数

②初始模型解

③随机扰动机制

④控制参数取值322023/11/222023/11/2232模拟退火随机建模流程第一，井点数据分析；第二，模型空间网格化；第三，任意选择一个目标层位，分别进行以下分析；第四，变差函数分析；第五，计算两类实验变差函数；第六，模拟退火随机模拟，并输出最优随机模型；第七，返回第三步，选择下一个目标层，直到所有目标层位全部计算完毕；第八，将每个目标层位的模拟退火最优随机模型组合，构建三维随机模型。332023/11/222023/11/2233模拟退火随机建模流程342023/11/222023/11/2234模拟退火随机建模352023/11/22井名井横坐标井纵坐标速度(m/s)W125.564.43015.4W243.781.22894.3W385.887.12875.5W482.369.42952.1W568.253.83112.3W644.921.33154.5W722.591.62884.6W877.520.73118.9W916.623.53133.4W1073.48.53068.7W1138.247.72978.3W1265.373.22843.8W1385.548.23021.4W1413.376.72941.5W1593.879.22981.6W1639.412.73175.32023/11/2235模拟退火随机建模362023/11/22距离统计项统计结果算术平均值(m)51.314320方差(m2)462.675293标准差(m)21.509888最大值(m)97.449577最小值(m)10.208329变异系数0.419179基本滞后距的确定距离频率直方图距离频率累积直方图2023/11/2236模拟退火随机建模372023/11/222023/11/2237模拟退火随机建模382023/11/22某一小层的模型速度属性模拟的最优模型2023/11/2238基于随机建模的

贝叶斯波阻抗反演392023/11/222023/11/2239贝叶斯反演贝叶斯后验概率402023/11/222023/11/2240412023/11/22贝叶斯反演贝叶斯反演方法特点能够将不同类型、精度各异的先验信息引入反演过程通过将先验信息转为多维概率密度分布的形式表征储层参数。定量分析评价反演结果 贝叶斯反演结果以多维后验概率密度分布的形式给出，其均值模型代表了反演的最可能结果，而方差模型给出了其误差范围。2023/11/2241贝叶斯波阻抗反演目标函数422023/11/222023/11/2242基于随机建模的贝叶斯波阻抗反演1、应用模拟退火随机建模算法，构建出最优的随机波阻抗模型；2、根据地震资料品质，估算子波；3、根据测井资料，并结合解释结果，统计先验的波阻抗均值和方差，同时，计算初始波阻抗模型的先验概率；4、贝叶斯反演计算，保存所有可接受的模型及其似然概率；5、计算反演波阻抗的后验概率，并统计反演波阻抗均值及其方差；6、评价反演结果。若以上反演结果比较合理，则反演计算结束；否则，返回第4步，重新进行反演计算。432023/11/222023/11/2243基于随机建模的贝叶斯波阻抗反演442023/11/222023/11/2244贝叶斯反演示例1452023/11/22塔里木一间房组的礁滩露头2023/11/2245贝叶斯反演示例1462023/11/22初始波阻抗模型合成记录2023/11/2246贝叶斯反演示例1472023/11/22先验波阻抗方差先验波阻抗均值2023/11/2247贝叶斯反演示例1482023/11/22最优波阻抗模型合成记录2023/11/2248贝叶斯反演示例1492023/11/22反演波阻抗均值反演波阻抗方差2023/11/2249贝叶斯反演示例2502023/11/22原始地震记录初始波阻抗模型2023/11/2250贝叶斯反演示例2512023/11/22双谱统计子波合成记录2023/11/2251贝叶斯反演示例2522023/11/22先验波阻抗均值先验波阻抗方差2023/11/2252贝叶斯反演示例2532023/11/22最优波阻抗波阻抗均值波阻抗方差2023/11/2253贝叶斯反演示例2542023/11/22合成记录2023/11/2254贝叶斯反演示例2552023/11/22测井波阻抗与反演波阻抗对比2023/11/2255基于随机建模的贝叶斯反演示例562023/11/22井名井横坐标井纵坐标W1122.72413.36W2775.63486.15W3643.23292.28W4857.44182.78W5304.55233.45W6221.42663.76W71032.59437.82W8545.30596.70W9876.71615.64W10943.27155.83W11563.16162.72W12376.84607.12W13993.89671.34工区井分布2023/11/2256基于随机建模的贝叶斯反演示例572023/11/22Xline76地震剖面(500ms——1100ms)初始波阻抗模型2023/11/2257基于随机建模的贝叶斯反演示例582023/11/22三谱统计子波合成记录2023/11/2258基于随机建模的贝叶斯反演示例592023/11/22先验波阻抗均值先验波阻抗方差2023/11/2259基于随机建模的贝叶斯反演示例602023/11/22最优波阻抗波阻抗均值波阻抗方差2023/11/2260基于随机建模的贝叶斯反演示例612023/11/22合成记录2023/11/2261基于随机建模的贝叶斯反演示例622023/11/22距离统计项统计结果算术平均值(m)475.451630方差(m2)41800.031250标准差(m)204.450562最大值(m)910.198669最小值(m)89.961624变异系数0.430013基本滞后距的确定距离频率直方图距离频率累积直方图2023/11/2262基于随机建模的贝叶斯反演示例632023/11/222023/11/2263基于随机建模的贝叶斯反演示例642023/11/22748ms时间层位随机模拟的波阻抗三维波阻抗体2023/11/2264基于随机建模的贝叶斯反演示例652023/11/22Xline76线地震记录(500ms——1100ms)Xline76测线对应的随机波阻抗模型2023/11/2265基于随机建模的贝叶斯反演示例662023/11/22先验波阻抗均值先验波阻抗方差2023/11/2266基于随机建模的贝叶斯反演示例672023/11/22三谱统计子波合成记录2023/11/2267基于随机建模的贝叶斯反演示例682023/11/22最优波阻抗波阻抗均值波阻抗方差2023/11/2268基于随机建模的贝叶斯反演示例692023/11/22合成记录测井波阻抗与反演波阻抗对比2023/11/2269基于随机建模的贝叶斯反演示例702023/11/22Xline76地震记录50000次迭代计算后基于随机建模的贝叶斯反演的合成记录80000次迭代计算后贝叶斯反演的合成记录2023/11/2270二维波动方程贝叶斯反演正演数值实验结论 从两个模型的实验结果可以看到，反偏移算法结果中的反射波、回转波清晰，背斜扩散波也比较明显地反映了波场动力学特征，而且模型拐点处的绕射波突出，均以半支出现。上述实验结果表明15度反偏移正演算法是正确的、可行的，可以作为后续反演计算的基础。

2023/11/2271叠偏地震数据反演叠偏地震数据贝叶斯反演数值实验 本项研究来源于中石化项目《塔里木盆地主要隆起区海相储集相带地震沉积学研究》。因此，在数值实验中，模拟了目标工区中的一个含有大量生物礁的剖面。该地区单个礁体规模虽较小，但礁体众多，大多连成一片。礁体层位分布稳定,横向延伸方向均可追寻到相应层位的其他礁体,纵向上礁体相互叠置，在建立该模型时速度参数的选择参考了大量地质露头的岩石标本信息。2023/11/2272叠偏地震数据反演一间房组生礁剖面礁体分布素描图

位于巴楚一间房地区的勒牙依里塔格山2023/11/2273叠偏地震数据反演叠偏地震数据贝叶斯反演数值实验

原始模型含5%噪音2023/11/2274速度模型先验信息均值图方差图2023/11/2275传统反演——最优模型贝叶斯反演结果均值模型均值模型对应的方差2023/11/2276传统反演——最优模型均值模型最优模型与原始模型的相关系数为0.862。均值模型与原始模型的相关系数为0.871。2023/11/2277最优模型与原始模型的相关系数为0.953。均值模型与原始模型的相关系数为0.957。最优模型对应合成记录均值模型对应合成记录2023/11/2278叠偏地震数据反演实际叠偏地震资料反演

某地区实测叠后偏移地震剖面2023/11/2279波阻抗先验信息均值图方差图2023/11/2280给定子波标准Ricker子波

实测地震数据频谱分析图主频45Hz的零相位Ricker子波标准Ricker子波2023/11/2281合成记录标准Ricker子波2023/11/2282波阻抗反演结果均值模型均值模型对应的方差均值模型对应合成记录标准Ricker子波2023/11/2283井well-1和well-2处反演结果和实测波阻抗值的对比图标准Ricker子波2023/11/2284提取子波统计性子波

反演采用的地震子波统计性子波2023/11/2285合成记录统计性子波2023/11/2286波阻抗反演结果均值模型均值模型对应的方差均值模型对应合成记录统计性子波2023/11/2287井well-1和well-2处反演结果和实测波阻抗值的对比图统计性子波2023/11/2288叠偏地震数据反演对应数据相关系数表对应数据相关系数均值模型合成记录与原始合成记录0.954well-1井反演结果与实测波阻抗0.642well-2井反演结果与实测波阻抗0.565对应数据相关系数均值模型合成记录与原始合成记录0.964well-1井反演结果与实测波阻抗0.679well-2井反