第08课 特殊二次函数的图像与性质（解析版）

更多资料添加微信号：DEM2008更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：第08课特殊二次函数的图像与性质2.2.1课后培优练课后培优练级练培优第一阶——基础过关练一、单选题1．抛物线的顶点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由抛物线解析式可得顶点坐标．【解析】解：，抛物线顶点坐标为，故选：．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．2．二次函数y=x2+2的对称轴为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的性质解答即可．【解析】二次函数y=x2+2的对称轴为直线．故选B．【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k(a，b，c为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键．y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h，k），对称轴是x=h．3．抛物线与抛物线的相同点是（）A．顶点相同 B．对称轴相同C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上【答案】B【分析】根据抛物线的性质分别判断两个函数图象的开口向上、对称轴、顶点坐标，即可得到答案．【解析】解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，2），∴两条抛物线对称轴相同，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与性质．4．二次函数的图象的顶点坐标是（）A．（1，3） B．（－1，3） C．（1，－3） D．（－1，－3）【答案】A【分析】直接根据二次函数的顶点式写出顶点坐标即可．【解析】∵，∴其顶点坐标为(1，3)，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，正确理解知识点是解题的关键．5．将抛物线：向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到抛物线，则抛物线的函数表达式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据平移变化,求出新抛物线的顶点坐标,判断即可．【解析】解：的顶点坐标为（2,0），向右平移3个单位，再向上平移2个单位，顶点坐标变为（5,2），∴得到抛物线解析式为：，故选：A．【点睛】本题考查了抛物线平移，解题关键是熟知抛物线平移的变化规律,会利用顶点坐标变化写抛物线解析式．6．若，，为二次函数图像上的一点，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次函数图像与性质，二次函数图像开口向上，对称轴为，结合，，到对称轴的距离与开口方向即可得到结论．【解析】解：二次函数的开口向上，对称轴为，二次函数有最小值，且点到对称轴距离越近，函数值越小，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，即，，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及求二次函数开口方向、对称轴等知识，掌握二次函数开口向上，有最小值，且点到对称轴距离越近，函数值越小是解决问题的关键．7．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（

）A．开口向上 B．对称轴是直线C．当时，随x的增大而减小 D．顶点坐标为【答案】D【分析】根据二次函数解析式可直接得出该二次函数图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，从而可判断A，B，D；再由该二次函数图象开口向下，对称轴是直线，得出当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而增大减小，可判断C．【解析】∵，∴该二次函数图象开口向下，故A错误，不符合题意；由二次函数解析式可直接得出其对称轴是直线，故B错误，不符合题意；∵该二次函数图象开口向下，对称轴是直线，∴当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而增大减小，故C错误，不符合题意；由二次函数解析式可直接得出其顶点坐标为，故D正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．掌握二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，当时，图象开口向上，当时，图象开口向下是解题关键．8．抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（）A．y=x2 B．y=﹣3x2 C．y=﹣x2 D．y=2x2【答案】A【分析】根据二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大，可以得出那个选项是正确的．【解析】解：∵二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大，又∵，∴抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是y=x2，故选A．【点睛】考查二次函数的图象，解题的关键是明确二次函数图象的特点，知道|a|的值越小，则开口越大．9．已知，是抛物线上两点，则正数（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】根据二次函数的对称性可得，代入二次函数解析式即可求解．【解析】解：∵，是抛物线上两点，∴，∴且n为正数，解得，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．10．若二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图象关于y轴对称，则m的值为（

）A．0 B．3 C．1 D．0或3【答案】B【分析】由于函数图象关于y轴对称，则函数的解析式形式应该是y=ax2+c型，由此求得问题的答案．【解析】解：∵二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图象关于y轴对称，∴函数的解析式形式应该是y=ax2+c型，∴-（m2-3m）=0，解得：m=0或m=3，∵二次函数的二次项系数m不能为0，∴m=3．故选：B．【点睛】本题考查关于y轴对称的抛物线的表达式是y=ax2+c，（a≠0，a、c为常数）．熟练掌握此类型二次函数的性质是解答此题的关键．11．如图，直线y＝2x与直线x＝2相交于点A，将抛物线y＝x2沿线段OA从点O运动到点A，使其顶点始终在线段OA上，抛物线与直线x＝2相交于点P，则点P移动的路径长为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根据点M在y＝2x上可得相应坐标，即可用顶点式表示出相应的二次函数解析式，求出点P的坐标，利用二次函数的性质解决问题即可．【解析】解：∵设抛物线的顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，∴y＝2m（0≤m≤2）．∴当抛物线运动到A点时，顶点M的坐标为（m，2m），∴抛物线函数解析式为y＝（x-m）2+2m．∴当x＝2时，y＝（2-m）2+2m＝m2-2m+4（0≤m≤2），∴点P的坐标是（2，m2-2m+4）．∵对于二次函数y′＝m2-2m+4＝（m-1）2+3当0≤m≤2时，∴m＝1时，y′有最小值3，当m＝0或2时，y′的值为4，∴点P移动的路径长为2×（4-3）＝2，故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象的性质及平移问题，利用二次函数的最值和界点值求解是解答此题的关键.12．如图，抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点.则下列结论：①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时y1＞y2.其中正确的结论是()A．①③④ B．①③ C．①②④ D．②【答案】B【分析】把点A坐标代入y2，求出a的值，即可得到函数解析式；令y=3，求出A、B、C的横坐标，然后求出BD、AD的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案．【解析】抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x-4）2-3交于点A（1，3），∴3=a（1-4）2-3，解得：a=，故①正确；过点E作EF⊥AC于点F，∵E是抛物线的顶点，∴AE=EC，E（4，-3），∴AF=3，EF=6，∴AE=，AC=2AF=6，∴AC≠AE，故②错误；当y=3时，3=（x+1）2+1，解得：x1=1，x2=-3，故B（-3，3），D（-1，1），则AB=4，AD=BD=2，∴AD2+BD2=AB2，∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；∵（x+1）2+1=（x-4）2-3时，解得：x1=1，x2=37，∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误．故选B．【点睛】考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值．二、填空题13．抛物线的顶点坐标是________．【答案】（1，2）【分析】根据题目中抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．【解析】解：∵抛物线y=-（x-1）2+2，∴该抛物线的顶点坐标为（1，2），故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．14．抛物线与轴交点坐标为______.【答案】【分析】令x=0，求出y的值即可．【解析】解：∵当x=0，则y=-1+3=2，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2）．故答案为（0，2）【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知y轴上点的特点，即y轴上的点的横坐标为0是解答此题的关键．15．二次函数：①；②；③；④；⑤；⑥．（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是__________(只填序号)；（2）以上二次函数有最大值的是_______________(只填序号)﹔（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是________________(只填序号)．【答案】

②③

①③⑤

⑤⑥【分析】因为二次函数的解析式均已确定﹐所以可结合二次函数解析式的特征对其性质作出判断．【解析】（1）二次函数的图象的对称轴为直线x=-1，也就是在顶点式中h=-1，故满足条件的函数有②③．（2）二次函数有最大值，也就是其函数图象是开口向下的，即a<0，故满足条件的函数有①③⑤．（3）二次函数的图象关于x轴对称，也就是两个二次函数的二次项系数x互为相反数，且h，k的值相同，故满足条件的函数为⑤和⑥．故答案为：（1）②③，（2）①③⑤，（3）⑤⑥【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，观察所给二次函数的解析式可知全为二次函数的顶点式，熟悉掌握二次函数顶点，和对称轴是解题的关键．16．已知a＜﹣1，点（a﹣1，y1）、（a，y2）、（a+1，y3）都在函数y＝x2+5的图象上，则y1、y2、y3按从小到大排列为___．【答案】【分析】抛物线y=x2+5的对称轴为y轴，即直线x=0，图象开口向上，当a＜﹣1时，a﹣1＜a＜a+1＜0，在对称轴左边，y随x的增大而减小，由此可判断y1，y2，y3的大小关系．【解析】解：∵当a＜﹣1时，a﹣1＜a＜a+1＜0，而抛物线y=x2+5的对称轴为直线x=0，开口向上，∴三点都在对称轴的左边，y随x的增大而减小，∴y3＜y2＜y1．故答案为：y3＜y2＜y1．【点睛】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．17．抛物线沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线沿直线向上平移，平移距离为时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是_____．【答案】【分析】沿直线y=x向上平移，平移距离为则相当于抛物线y=ax2(a≠0)向右平移1个单位，向上平移1个单位，即可得到平移后抛物线的表达式．【解析】解:∵抛物线沿直线向上平移，平移距离为，相当于抛物线向右平移1个单位，向上平移1个单位，∴根据平移的规律得到:“同簇抛物线”的表达式是．故答案为:．【点睛】本题考查了二次函数的几何变换:由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．18．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝3相交于点A、B，与y轴交于点C（0，﹣1），若∠ACB为直角，则当ax2+c＜0时自变量x的取值范围是_____．【答案】﹣2＜x＜2．【分析】设直线y＝3与y轴交于D点，则D（0，3），由C(0，﹣1),可设抛物线的表达式为：y=ax2﹣1；由∠ACB为直角，则△ABC为等腰直角三角形，可求点B(4，3)，由点B在抛物线上，可求解析式，由y=0，解方程即可求解．【解析】设直线y＝3与y轴交于D点，则D（0，3）∠ACB为直角，则△ABC为等腰直角三角形，由C(0，﹣1)，则抛物线的表达式为：y=ax2﹣1；CD=3﹣(﹣1)=4，AD=BD=CD=4则点B(4，3)，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：∴a=，故抛物线的表达式为：y=x2﹣1，令y=0，则x=±2，故y＜0时，﹣2＜x＜2，故答案为：﹣2＜x＜2．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等坐标的求法及这些点代表的意义及函数特征．19．已知二次函数y＝（x－m）2＋m2＋1，且．（1）当m＝1时，函数y有最大值__________．（2）当函数值y恒不大于4时，实数m的范围为__________．【答案】

2

【分析】（1）根据顶点式将代入解析式即可求得最大值；（2）根据顶点式求得最大值，根据顶点的位置以及自变量的取值范围，分情况讨论求得最值，进而求得的范围．【解析】（1）当m＝1时，二次函数y＝（x－1）2＋12＋1，则顶点为则函数有最大值，故答案为：（2）二次函数y＝（x－m）2＋m2＋1，且．对称轴为，顶点坐标为①当时，时，函数取得最大值即解得，不符合题意，舍去②当，时，函数取得最大值解得③当时，时，函数取得最大值解得综上所述，【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握的性质是解题的关键．20．如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为_____．【答案】2【分析】设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，因点P在x轴上方，所以x2-1>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案．【解析】解：设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，当点P在x轴上方时，∴x2-1>0,∴PH=|x2-1|=x2-1，在Rt△OHP中，由勾股定理，得OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2，∴OP=x2+1，∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键．三、解答题21．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：，，．（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．【答案】（1）抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）．【分析】（1）首先利用取值、描点、连线的方法作出三个函数的图象，根据二次函数图象，可得二次函数的开口方向，对称抽，顶点坐标，通过观察归纳它们之间的关系．（2）由（1）的规律可得抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．【解析】解：（1）列表：…-3-2-10123……202…描点、连线，可得抛物线．将的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到与的图象（如图所示）．抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）抛物线的开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象，发现图象的变化规律是解答此题的关键．22．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．(1)(2)(3)【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】二次函数通过配方可以化为顶点式，即y=a(x－h)2+k，其中a决定了抛物线的开口方向，对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k)；根据所给出的三个函数解析式，对照以上规律确定答案．（1）开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)．（2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，-7)．（3）开口向上，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3，6)【点睛】本题考查根据函数的表达式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的“顶点式”以及各个系数与抛物线的关系．23．根据下列条件求a的取值范围：（1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；（2）函数y＝(3a-2)x2有最大值；（3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同；（4）函数的图象是开口向上的抛物线．【答案】（1）a＜2；（2）；（3），；（4）a＝1【分析】（1）由题意根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y随x增大而增大，可得答案；（2）由题意根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0；（3）由题意根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反数；（4）由题意根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系．【解析】解：(1)由题意得，a-2＜0，解得a＜2；(2)由题意得，3a-2＜0，解得；(3)由题意得，，解得，；(4)由题意得，，解得a1＝-2，a2＝1，但a＞0，∴a＝1．【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的二次项系数大于0，开口向上，有最小值，二次函数的二次项系数小于0，开口向下，有最大值.24．如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为．(1)求抛物线解析式；(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标．【答案】(1)抛物线解析式为(2)【分析】(1)把B(1,1)代入得，从而得到抛物线解析式；(2)先根据待定系数法求直线AB的解析式，再联立直线和抛物线解析式解方程组，求出C的坐标，然后求出，再根据二次函数图象上点的坐标特征，可设，利用三角形面积公式，解出t的值即可得到D点坐标．（1）把代入得：，∴抛物线解析式为；（2）设直线AB的函数解析式为，把，代入得：，，∴直线AB的解析式为，将与联立得：或，∴，，∴，设，∵，∴，解得：，（舍），∴．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了待定系数法求一次函数解析式．25．已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3．（1）写出此函数图象的开口方向和顶点坐标；（2）当y随x增大而减小时，写出x的取值范围；（3）当1＜x＜4时，求出y的取值范围．【答案】（1）开口向下，顶点坐标是（2，3）；（2）x＞2；（3）﹣1＜y≤3【分析】（1）根据a的符号判断抛物线的开口方向；根据顶点式可求顶点坐标；（2）根据二次函数的增减性，当a＞0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；（3）因为顶点坐标（2，3）在1＜x＜4的范围内，开口向下，所以y最的大值为3；当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，即可确定函数值y的范围．【解析】解：（1）∵a＝﹣1＜0，∴图象开口向向下；∵y＝﹣（x﹣2）2+3，∴顶点坐标是（2，3）；（2）∵对称轴x＝2，图象开口向选，y随x增大而减小∴x的取值范围为x＞2；（3）∵抛物线的对称轴x＝2，满足1＜x＜4，∴此时y的最大值为3，∵当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，∴当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1＜y≤3．【点睛】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标，对称轴，开口方向；还考查了二次函数的增减性．26．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+2ax（0＜a＜3）上，其中x1＜x2．（1）求抛物线的对称轴；（2）若A（﹣2，y1），B（0，y2），直接写出y1，y2的大小关系；（3）若x1+x2＝1﹣a，比较y1，y2的大小，并说明理由．【答案】（1）x=-1；（2）=；（3）<．【分析】（1）根据对称轴与系数的关系可以直接求得对称轴为：x==-1；（2）利用对称轴到点的距离进行判定y值即可；（3）利用作差法，将表示出来，再进行判断正负，据此判断大小即可．【解析】解：（1）由题意得：对称轴x==-1；（2）∵0＜a＜3，∴抛物线开口向上，又∵对称轴x=-1，∴，∴A、B两点到对称轴的距离相等，即：=（3）由题意得：====∵0＜a＜3，x1＜x2∴<0，即：<．【点睛】本题主要考查二次函数中系数的运用，以及比较函数值的大小，熟练掌握二次函数的基础运算是解题的关键．培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．已知二次函数的图象经过点，且，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征得到m+1＜3-m或m≤-1，解得即可．【解析】解：∵二次函数，∴它的图象开口向上，对称轴为直线．∵图象经过点，且，∴或，解得．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标值的大小关系，从而可以求解．【解析】解：二次函数的对称轴为：，且开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，，A，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；B,若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；C，若，所以，则一定成立，故选项正确，符合题意；D，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质及不等式，解题的关键是：根据二次函数的对称轴及开口方向，确定各点纵坐标值的大小关系，再进行分论讨论判断即可．3．已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（

）A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值【答案】C【分析】根据二次函数的性质，表示出、的值，即可求解．【解析】解：二次函数．开口向上，对称轴为，当时，随增大而增大．．．即是的一次函数．，一次函数上升趋势．．有最小值，没有最大值．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质．关键在于表示出的代数值，从而转化为一次函数的性质．比较综合．4．如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（

）A．(,) B．(2,2) C．(,2) D．(2,)【答案】C【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，2），且DC∥x轴，从而求得P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标．【解析】∵Rt△OAB的顶点A（−2，4）在抛物线y=ax2上，∴4＝4a，解得a＝1，∴抛物线为y=x2，∵点A（−2，4），∴B（−2，0），∴OB＝2，∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，∴D点在y轴上，且OD＝OB＝2，∴D（0，2），∵DC⊥OD，∴DC∥x轴，∴P点的纵坐标为2，令y=2，得2=x2，解得：x=±∵点P在第一象限，∴点P的坐标为：（，2）故答案为：C．【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化－旋转，掌握旋转的性质是解题的关键．5．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，4）、P（﹣1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作AH⊥y轴，CE⊥AH，证明△AHB∽△CEA，根据相似三角形的性质得到AE＝2BH，求出点M的坐标，根据两点间的距离公式用x表示出PM，根据二次函数的性质解答即可．【解析】解：如图，过点A作AH⊥y轴于H，过点C作CE⊥AH于E，则四边形CEHO是矩形，∴OH＝CE＝4，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH＋∠HAB＝90°，∠HAB＋∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴，即，∴AE＝2BH，设BH＝x，则AE＝2x，∴OC＝HE＝2＋2x，OB＝4−x，∴B（0，4−x），C（-2-2x，0），∵BM＝CM，∴M（-1-x，），∵P（-1，0），∴PM＝最小值为，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、二次函数的性质，正确添加辅助线、掌握二次函数的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6．如图，抛物线G：（常数a为正数）．下列关于G的四个命题：①G的最低点坐标为；②b是任意实数，x=2+b时的函数值大于x=2－b时的函数值；③当a=1时，G经过点（1，－1）；④当G经过原点时，G与x轴围成的封闭区域（边界除外）内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为1．其中正确的是（

）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【答案】D【分析】根据抛物线的开口方向和顶点坐标可判断①；根据抛物线的对称轴可判断②；将a=1和x=1代入抛物线的解析式中，求出y值即可判断③；将点（0，0）代入抛物线解析式中求得a值，进而求得与x轴的交点坐标，结合图象可判断④．【解析】解：①根据图象，抛物线G开口向上，且顶点坐标为，∴G的最低点坐标为，故①正确；②∵抛物线G的对称轴为直线x=2，∴x=2+b时的函数值等于x=2－b时的函数值，故②错误；③当a=1时，，当x=1时，y=1﹣=≠﹣1，∴当a=1时，G不经过点（1，－1），故③错误；④当G经过原点时，则，解得：，∴抛物线G：，令y=0，由得：，，当x=1时，y=﹣1，当x=2时，y=，当x=3时，y=﹣1，∴满足条件的整点坐标为（2，﹣1），只有一个，故④正确，综上，正确的为①④，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、解一元二次方程、解一元一次方程，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．二、填空题7．对于二次函数y＝ax2和y＝bx2，其自变和函数值的两组对应值如表所示：x﹣1m（m≠﹣1）y＝ax2ccy＝bx2c+3d根据二次函数图象的相关性质可知：m＝___，c﹣d＝___．【答案】

1，

-3【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以求得m和c-d的值．【解析】解：由表格可知，x=-1和x=m时的函数值相等，∵表格中的两个函数对称轴都是直线x=0，∴m+（-1）=0，c+3=d，∴m=1，c﹣d=-3，故答案为：1，-3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．已知的三个顶点为，将向右平移个单位后，某一边的中点恰好落在二次函数的图象上，则的值为____________.【答案】【分析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得平移后的中点坐标，再根据平移后的中点在二次函数的图象上，进而算出m的值．【解析】解：∵△ABC的三个顶点为A(-1，-1)，B(-1，3)，C(-3，-3)，∴AB边的中点(-1，1)，BC边的中点(-2，0)，AC边的中点(-2，-2)，∵将△ABC向右平移m(m＞0)个单位后，∴AB边的中点平移后的坐标为(-1+m，1)，BC边的中点平移后的坐标为(-2+m，0)，AC边的中点平移后的坐标为(-2+m，-2)，∵二次函数的图象在x轴的下方，点(-1+m，1)在x轴的上方，∴AB边的中点不可能在二次函数的图象上，把(-2+m，0)代入，得-2(-2+m)2=0，解得m=2；把(-2+m，-2)代入，得-2(-2+m)2=-2，解得m1=1，m2=3；∴的值为1，2，3，故答案为1，2，3．【点睛】此题主要考查了平移的性质，中点坐标公式，二次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握二次函数图象上的点(x，y)的横纵坐标满足二次函数解析式．9．二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，点，在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为_________．【答案】【分析】连接BC交OA于D，根据菱形的性质得，得到，，设，则，得到，把代入算出（舍去），，则，，得到，，根据菱形的面积公式即可得出答案．【解析】连接BC交OA于D，如图，∵四边形为菱形，∴，，，，BC平分，∵∴∴∴设，则∴把代入得：解得：（舍去），，∴，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，二次函数图像上点的坐标的特征，熟练掌握性质和特征是本题的关键．10．把二次函数的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为，若，则m的最大值是________________．【答案】6【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征得出原二次函数的顶点为（1，−4a），即可得出原二次函数为y＝a（x−1）2−4a＝ax2−2ax−3a，和y＝ax2＋bx＋c比较即可得出b＝−2a，c＝−3a，代入（m−1）a＋b＋c≤0，即可得到m≤6．【解析】解：∵把二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝−a（x−1）2＋4a，∴原二次函数的顶点为（1，−4a），∴原二次函数为y＝a（x−1）2−4a＝ax2−2ax−3a，∴b＝−2a，c＝−3a，∵（m−1）a＋b＋c≤0，∴（m−1）a−2a−3a≤0，∵a＞0，∴m−1−2−3≤0，即m≤6，∴m的最大值为6，故答案是：6．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与几何变换，得到b＝−2a，c＝−3a是解题的关键．11．已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为_____．【答案】17【分析】根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y=kx-3与该图象有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它们的和为17．【解析】解：当直线经过点（1，12）时，12=k-3，解得k=15；当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，整理得x2-（10+k）x+36=0，∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去），∴k的最大值是15，最小值是2，∴k的最大值与最小值的和为15+2=17．故答案为：17．【点睛】本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k的最大值和最小值是解题的关键．12．记实数，中的最小值为，例如，当取任意实数时，则的最大值为___________．【答案】3【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图象，观察最大值的位置，通过求函数值，求出最大值．【解析】画出函数和的图象，如图：由图可知：当x＝1时，函数有最大值，最大值为3，所以的最大值为3，故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数的性质和正比例函数的性质，画出函数的图象，数形结合容易求解．三、解答题13．已知抛物线是抛物线上的两点．(1)当时，直接写出y的取值范围是____________；(2)当时．____________；(3)当m在不断增大时，在不断减小，而在不断增大，且，求m的取值范围．【答案】(1)(2)0(3)－1<m<0【分析】（1）求出对称轴，然后根据二次函数的性质求出当时y的最大值和最小值即可；（2）根据列出关于m的方程求解即可；（3）根据二次函数的性质列出不等式组求解即可．（1）解：∵1>0，∴抛物线开口向上．∵对称轴是直线x=，∴当x=1时函数取得最小值，当x=4时函数取得最大值，当x=1时，，当x=4时，，∴当时，y的取值范围是．（2）解：把代入得，把代入得，，∵，∴=，解得m=0．故答案为：0．（3）解：∵当m在不断增大时，在不断减小，而在不断增大，对称轴是直线x=1，∴m<1，m+2>1．∵，∴比离对称轴远，∴1-m>m+2-1．∴，解得－1<m<0．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．14．如图，抛物线与轴交于A，B两点点B在点A的右侧，其顶点为C，点P为线段上一点，且过点P作，分别交抛物线于，两点点在点的右侧，连接，．(1)直接写出A，B，C三点的坐标；用含，的式子表示(2)猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若，，求的值．【答案】(1)点A，B，C的坐标分别为、、(2)，理由见解析(3)【分析】（1），求出x的值，可得点A，B的坐标，令，求出y的值，可得点C的坐标；（2）根据求出点P的纵坐标，代入解析式，求出点D，E的横坐标,进而求出DE的长度，再根据点A，B的坐标求出AB的长度，即可得出；（3）当时，求出OP，PC，PD，再通过导角证明，得出，进而得出，代入即可求解．（1）解：对于，令，解得，令，则，故点A，B，C的坐标分别为、、；（2）解：，理由：∵，点C在y轴负半轴，∴，∴，则，故点的坐标为，当时，则，解得，则，由点A，B的坐标得：，∴；（3）解：当时，由知，点的坐标为，点C的坐标为，，∴，，，，∵，∴，又∵，，，∴，即，∴，解得．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，有一定的综合性，难度适中，第三问利用三角函数或三角形相似均可得出，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质．15．如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．(1)当抛物线是“美丽抛物线”时，则；(2)当抛物线是“美丽抛物线”时，则；(3)若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系．【答案】(1)(2)4(3)【分析】（1）画出函数的图像，求出点D的坐标，即可求解；（2）求得顶点A的坐标为，点D的坐标为，即可求解；（3）同（2）求得顶点A的坐标为，点D的坐标为，即可求解．（1）解：函数的图像如下：抛物线是美丽抛物线时，则AC=2，∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（1，1），将点D的坐标代入得：，解得；故答案为：；（2）解：∵，∴顶点A的坐标为，同理，点D的坐标为，将点D的坐标代入得：,解得；故答案为：4；（3）解：∵，∴顶点A的坐标为，同理，点D的坐标为，将点D的坐标代入得：,解得．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了正方形的性质、二次函数的性质、新定义等，正确理解新定义、利用二次函数的性质解答，是解题的关键．16．定义：若二次函数的图象记为，其顶点为，二次函数的图象记为，其顶点为，我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”．分类一：若二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”．(1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）(2)试求出的“反顶伴侣二次函数”．(3)若二次函数与互为“反顶伴侣二次函数”，试探究与的关系，并说明理由．(4)分类二：若二次函数可以绕点M旋转180°得到二次函数；，我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”．①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？③如图，，互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且轴，当四边形EFQG为矩形时，试探究二次函数，的顶点有什么关系．并说明理由．【答案】(1)假(2)(3)见解析(4)①真；②见解析；③见解析【分析】（1）根据题意举反例验证求解即可；（2），则“反顶伴侣二次函数”为，再将（2，1）代入求出a值，即可得出解析式；（3）根据题意，分别表示出过顶点坐标的函数解析式，进行相加化简即可得出结果；（4）①由旋转的性质，找到对称中心M，可知对于任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”；②利用A，B坐标求出中点M的坐标，进而得出结论；③根据矩形的性质和平行的性质，得出AB∥y轴，进而得出A，B点的坐标均为（h，h），最后得出结论．(1)解：令的顶点坐标A为（1，4），开口向上，则的顶点坐标B为（4，1），此时C1不经过B（4，1），∴所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是假命题．故答案为：假．(2)解：，则“反顶伴侣二次函数”为，由题意，得将（2，1）代入，得，解得a=-1，∴的“反顶伴侣二次函数”为．(3)解：∵二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，∴①，②，①+②，得，当h=k时，与任意非零实数；当h≠k时，=0．(4)解：①如图∵A，B的中点为M，∴对称中心为M，∴任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”．故答案为：真；②∵M为A，B的中点，∴M的坐标为，即M在直线y=x上．③解：∵轴，四边形EFQG为矩形，∴AB∥y轴，∴h=k，即A，B的坐标均为（h，h），∴A，B两点重合在直线y=x上．【点睛】本题考查二次函数的性质，以及矩形的性质，读懂题意，理解新定义是解决问题的关键．培优第三阶——中考沙场点兵一、单选题1．（2022·浙江丽水·一模）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（

）A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值5 D．有最小值5【答案】C【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．【解析】解：∵二次函数，∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，5），∴当x=2时，y有最大值为5；∴选项A，B，D错误，C正确，故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．2．（2022·贵州铜仁·二模）函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据的顶点坐标为判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图象判断则从而可得答案．【解析】解：由的顶点坐标为故A，B不符合题意；由C，D中二次函数的图象可得：函数y＝ax－a过一，二，四象限，故C符合题意，D不符合题意，故选C【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键．3．（2022·陕西·陇县教学研究室二模）下列关于二次函数（m为常数）的结论错误的是（

）A．当时，y随x的增大而减小 B．该函数的图象一定经过点C．该函数图象的顶点在函数的图象上 D．该函数图象与函数的图象形状相同【答案】A【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．【解析】解：A．∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故选项错误，符合题意；B．∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故选项正确，不符合题意；C．∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，函数图像的顶点为（m，m2+1），对于函数y＝x2+1，当x＝m时，y＝x2+1，∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故选项正确，不符合题意；D．∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故选项正确，不符合题意；故选：A【点睛】此题考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，属于中考常考题型．4．（2020·福建福州·二模）小明在研究抛物线（为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（

）A．无论取何实数，的值都小于0B．该抛物线的顶点始终在直线上C．当时，随的增大而增大，则D．该抛物线上有两点，，若，，则【答案】D【分析】根据抛物线的解析式的性质，对每个选项进行分析即可．【解析】A、由函数表达式的性质可得，抛物线的顶点坐标为（h，-h+1），抛物线的最大值为-h+1，若h<1，则y>0，故A项错误；B、由题可得出抛物线的顶点坐标为（h，-h+1），当x=h时，代入y=x-1得，故B项错误；C、由题意得，抛物线在x=h左侧时，随的增大而增大，∴，故C项错误；D、∵x1<x2，x1+x2>2h，∴x1在x=h左侧且更靠近x=h，∵在中，x离x=h越近，y值越大，∴y1>y2，故D项正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握知识点，灵活运用是解题关键．5．（2021·天津南开·二模）二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】由且可得，根据题意画出函数图像，根据图像分情况讨论；当时，y随x的增大而增大，可得当时y有最小值，当时y有最大值，代入并验证；当时分两种情况：当时y有最小值，当时y有最大值，或当时y有最大值，当时y有最小值，得出符合情况的值即可得出答案.【解析】解：如图，二次函数的大致图像如下：且时，，①当时，y随x的增大而增大，当时y有最小值，即：，解得：或（舍去）；当时y有最大值，即：，解得：或（均不符合题意，舍去）；②当时，当时y有最小值，即：，解得：或（舍去）；当时y有最大值，即：，解得：，或：当时y有最大值，即：，解得：，当时y有最小值，即：，将代入解得：，，此种情形不合题意；，；故答案选：D.【点睛】本题考查二次函数的图像及其性质，熟练掌握二次函数的增减性，先判断在取值范围内的最大值及最小值在何处取得，再代入求解；熟练掌握分析函数最值的方法是本题解题关键.6．（2020·辽宁鞍山·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，矩形CDEF的顶点E在边AB上，D，F两点分别在边AC，BC上，且，将矩形CDEF以每秒1个单位长度的速度沿射线CB方向匀速运动，当点C与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒，矩形CDEF与△ABC重叠部分的面积为S，则反映S与t的函数关系的图象为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】证明△DEF≌△BFE（AAS），则；分0≤t≤4、4＜t≤8两种情况，分别求出函数表达式，即可求解．【解析】如图1，连接DF，∵，即tanB＝tan∠EDF，∴∠B＝∠EDF，而∠DEF＝∠EFB＝90°，EF＝EF，∴△DEF≌△BFE（AAS），∴，即点F是BC的中点，，故矩形DCFE的面积为3×4＝12；当0≤t≤4时，如图2，设直线AB交D′C′F′E′于点H，则EE′＝t，，，该函数为开口向下的抛物线，当t＝4时，S＝6；当4＜t≤8时，同理可得：，该函数为开口向上的抛物线；故选：D．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、三角形全等、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．二、填空题7．（2021·江苏南通·一模）抛物线的顶点坐标为______．【答案】【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可．【解析】解：抛物线的顶点坐标是，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．8．（2022·河南安阳·一模）若点在抛物线上，则、、的大小关系为______．（答案用“>”连接）【答案】【分析】根据点A、B、C的横坐标利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．【解析】∵，，是抛物线y＝−（x＋1）2＋3上的三点，∴y1＝-1，y2＝2，y3＝−6，∵2＞-1＞−6，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用二次函数图象上点的坐标特征求出纵坐标是解题的关键．9．（2020·上海虹口·一模）如图，抛物线的对称轴为直线x＝1，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P在点Q的右侧，如果点P的坐标为（4，0），那么点Q的坐标为_____．【答案】（﹣2，0）．【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐即可；【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，点P的坐标为（4，0），∴点Q的横坐标为1×2﹣4＝﹣2，∴点Q的坐标为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象，掌握二次函数的图象是解题的关键.10．（2020·浙江·模拟预测）已知函数在自变量的范围内，相应的函数最小值为0，则的取值范围是________．【答案】1≤m≤3【分析】画出函数的图象，根据函数的图象即可求得．【解析】解：画出函数y=的图象如图：在自变量x≤m的范围内，相应的函数最小值为0，由图象可知：m的取值范围是1≤m≤3，故答案为1≤m≤3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，画出函数的图象，根据图象求得m的取值是解题的关键．11．（2021·上海奉贤·一模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为_______________________．【答案】【分析】先把抛物线的解析式写成顶点式得到顶点坐标，根据对称的关系得到的顶点坐标，从而得到的解析式．【解析】解：，∴顶点坐标是，点关于直线对称的点是，∴．故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数图象的性质．12．（2022·吉林·农安县第一中学一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为____【答案】18．【解析】根据二次函数的性质，抛物线的对称轴为x=3．∵A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴．∴A，B关于x=3对称．∴AB=6．又∵△ABC是等边三角形，∴以AB为边的等边三角形ABC的周长为6×3=18．三、解答题13．（2022·浙江·宁波市兴宁中学一模）已知二次函数（是实数）．(1)小明说：当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？(2)已知点，都在该二次函数图象上，求证：．【答案】(1)对的，理由见解析(2)见解析【分析】（1）根据顶点坐标即可得到当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动；（2）由P，Q的纵坐标相同，即可求出对称轴为直线x=a+2m-1，则可得方程a+2m-1=2m，从而求出a的值，得出P坐标为（-4，c），代入解析式可得c==，最后根据二次函数的性质即可证得结论．(1)解：设顶点坐标为（x，y）∵已知二次函数（是实数），∴x=2m，y=3-4m，∴2x+y=3，即y=-2x+3，∴当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在直线y=-2x+3上运动，故小明的说法是对的．(2)证明：点，都在该二次函数图象上，∴对称轴为直线，∴，∴