北师大版九年级数学上册 专题1.11 利用三角函数测高（专项练习）

专题1.11利用三角函数测高（专项练习）一、单选题1．如图，已知点、点是同一幢楼上的两个不同位置，从点观测标志物的俯角是65°，从点观测标志物的俯角是35°，则的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．65°2．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度为，根据以上条件，可以列出的方程为（）题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据A． B．C． D．3．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC=（）米．A．250 B．500 C．250 D．5004．温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击．一次，温州气象局测得台风中心在温州市A的正西方向300千米的B处（如图），以每小时10千米的速度向东偏南30°的BC方向移动，并检测到台风中心在移动过程中，温州市A将受到影响，且距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域．则影响温州市A的时间会持续多长？（）A．5 B．6 C．8 D．105．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆的高度与拉绳的长度相等，小明先将拉到的位置，测得为水平线），测角仪的高度为米，则旗杆的高度为（）A．米 B．米 C．米 D．米6．数学实践活动课中小明同学测量某建筑物的高度，如图，已知斜坡的坡度为，小明在坡底点处测得建筑物顶端处的仰角为，他沿着斜坡行走米到达点处，在测得建筑物顶端处的仰角为，小明和建筑物的剖面在同一平面内，小明的身高忽略不计．则建筑物的高度约为（）（参考数据：）A．米 B．米 C．米 D．米7．某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米它的坡度．在离C点40米的D处，用测量仪测得大楼顶端A的仰角为37度，测角仪DE的高度为1.5米，求大楼AB的高度约为（）米（）A．39.3 B．37.8 C．33.3 D．25.78．如图，小明想测量斜坡旁一棵垂直于地面的树的高度，他们先在点处测得树顶的仰角为，然后在坡顶测得树顶的仰角为，已知斜坡的长度为，斜坡顶点到地面的垂直高度，则树的高度是（）A．20 B．30 C．30 D．409．如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着倾角为30°的山坡前进1000米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC大约是（精确到0.01米）（）；A．1366.00米 B．1482.12米 C．1295.93米 D．1508.21米10．有一拦水坝的横截面是等腰梯形，它的上底为米，下底为米，高为米，则此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是（）A．， B．， C．， D．，二、填空题11．如图，航模小组用无人机来测量建筑物BC的高度，无人机从A处测得建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，若此时无人机与该建筑物的水平距离AD为30m，则该建筑物的高度BC为_____m．（结果保留根号）12．如图，小丽的房间内有一张长高的床靠墙摆放，在上方安装空调，空调下沿与墙垂直，出风口离墙，空调开启后，挡风板与夹角成，风沿方向吹出，为了让空调风不直接吹到床上，空调安装的高度(的长)至少为__________(精确到个位)(参考数据：)13．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为．14．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测得操控者A和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为______米．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）15．如图，在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为何45°，则这个建筑物的高度CD=_____米（结果可保留根号）16．如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D与点C、B在同一条直线上．已知AC＝32米，CD＝16米，则荷塘宽BD为________米(取≈1.73，结果保留整数)．17．如图，已知梯形护坡坝AB的坡度为i=1:4，坡高BC=2m，则斜坡AB的长为________m．18．已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时（如图1），AB与地面的夹角为30∘；当AB的另一端点B碰到地面时（如图2），AB与地面的夹角的正弦值为13，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH=19．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为100m，那么该建筑物的高度BC约为__m．20．小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得、两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为，求热气球离地面的高度_________．（结果保留整数）（参考数据：，，）21．观光塔是潍坊市区的标志性建筑.为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端Ａ点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是45m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是______m.22．如图，晚上，小亮走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两盏路灯（AB和EC）之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子HN长为3m，左边的影子FH长为1m．小亮身高GH为1.5m，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离BC为16m，则路灯的高为____m；23．如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC，若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为_____米．（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）三、解答题24．如图，某教学兴趣小组想测量某建筑物的高度，他们在A点测得屋顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前进10米，到达B点，在B点测得屋顶C的仰角为60°，已知测量仪AE的高度为1米，请你根据他们的测量数据计算建筑物CF的高度（结果保留根号）．25．某大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.73）26．“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储D处调集救援物资，计划先用汽车运到与D在同一直线上的C、B、A三个码头中的一处，再用货船运到小岛O．已知：OA⊥AD，∠ODA=15°，∠OCA=30°，∠OBA=45°CD=20km．若汽车行驶的速度为50km/时，货船航行的速度为25km/时，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵小岛O？（在物资搬运能力上每个码头工作效率相同，参考数据：≈1.4，≈1.7）．27．为方便市民通行，某广场计划对坡角为30°，坡长为60米的斜坡AB进行改造，在斜坡中点D处挖去部分坡体（阴影表示），修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（1）若修建的斜坡BE的坡角为36°，则平台DE的长约为多少米？（2）在距离坡角A点27米远的G处是商场主楼，小明在D点测得主楼顶部H的仰角为30°，那么主楼GH高约为多少米？（结果取整数，参考数据：sin36°＝0．6，cos36°＝0．8，tan36°＝0．7，＝1．7）28．如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC为30°，窗户的一部分在教室地面所形成的影长PE为3.5m，窗户的高度AF为2.5m，求窗外遮阳篷外端一点D到窗户上椽的距离AD．（结果精确到0.1m）参考答案1．B【分析】如图，标注字母，由题意得：证明再利用从而可得答案．解：如图，标注字母，由题意得：故选：【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．2．A【分析】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE＝CD＝10，CE＝DH，求得FH＝x−10，得到CE＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．解：过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，∴HE＝CD＝10，CE＝DH，∴FH＝x−10，∵∠FDH＝α＝45°，∴DH＝FH＝x−10，∴CE＝x−10，∵tanβ＝tan50°＝＝，∴x＝（x−10）tan50°，故选：A．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．3．C解：设PC=x米，根据Rt△PBC的性质可得：BC=x米，根据Rt△PAC的性质可得：AC=x米，AB=AC-BC=x-x=500，解得：x=250米，故选C．4．D解：试题分析：过点A作AD⊥BC于D，由题意得AB=300，∠ABD＝30°，∴AD=150（km），温州市点A受到台风严重影响设风台中心距A点200km处，刚好处在BC上的E，F两点则在Rt△ADE中，AE＝200，AD＝150∴DE=50km，∴EF=2DE=100km，则t=100÷10=10h，故选D．5．C【分析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据，列出方程即可解决问题．解：设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，∴∴，∴（1-）x=1，∴x=．故选C．【点拨】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．6．D【分析】如图，过F点作FH⊥CD，垂足为H，作FG⊥EB，垂足为G.利用坡度先求出FG与EG，设DE=CD=x，表示出FH，CH，再利用三角函数即可解得.解：如图，过F点作FH⊥CD，垂足为H，作FG⊥EB，垂足为G.根据题意易知DC=DE，EF=13m，∠CFH=35°，HF=GD，HD=FG∵斜坡的坡度为，且EF=13m故FG=5m，EG=12m设DE=CD=x，则FH=DE+EG=x+12，CH=CD-HD=CD-FG=x-5在直角三角形CHF中，解得x≈44.7故选D【点拨】本题考查解直角三角形的应用，解题关键在于能够画出辅助线.7．C【分析】延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H，在Rt△BCF中利用坡度的定义求得CF的长，则DF即可求得，然后在直角△AEH中利用三角函数求得AF的长，进而求得AB的长．解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．

∵在Rt△BCF中，=，∴设BF=k，则CF=k，BC=2k．

又∵BC=12，

∴k=6，

∴BF=6，CF=，∵DF=DC+CF，

∴DF=40+，∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=，∴AH=tan37°×（40+）≈37.785（米），

∵BH=BF-FH，

∴BH=6-1.5=4.5．

∵AB=AH-HB，

∴AB=37.785-4.5≈33.3．故选C．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．8．C【分析】先根据CD=20米，DE=10m得出∠DCE=30°，故可得出∠DCB=90°，再由∠BDF=30°可知∠DBE=60°，由DF∥AE可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30°，所以∠DBC=30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．解：在Rt△CDE中，∵CD=20m，DE=10m，∴sin∠DCE=，∴∠DCE=30°．∵∠ACB=60°，DF∥AE，∴∠BGF=60°∴∠ABC=30°，∠DCB=90°．∵∠BDF=30°，∴∠DBF=60°，∴∠DBC=30°，∴BC=（m），∴AB=BC•sin60°=20×=30（m）．故选C．【点拨】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．9．A【解析】【分析】根据题目所给的度数可判定△ABD是等腰三角形，AD=BD，然后解直角三角形，可求出BE的长和CE的长，从而可求出山高的高度．解：∵∠BAC=45°，∠DAC=30°，

∴∠BAD=15°，

∵∠BDE=60°，∠BED=90°，

∴∠DBE=30°，

∵∠ABC=45°，

∴∠ABD=15°，

∴∠ABD=∠DAB，

∴AD=BD=1000，

过点D作DF⊥AC，

∵AC⊥BC，DF⊥AC，DE⊥BC，

∴∠DFC=∠ACB=∠DEC=90°

∴四边形DFCE是矩形

∴DF=CE

在直角三角ADF中，∵∠DAF=30°，

∴DF=AD=500，

∴EC=500，BE=1000×sin60°=500．

∴BC=500+500(米)．故选A【点拨】本题考查直角三角形的应用仰角俯角问题，关键是根据角判断特殊的三角形，直角三角形或者等腰三角形，从而求出解．10．D【分析】过A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC，那么ADEF平行四边形，所以BE=（BC-AD），而AE已知，所以坡度和坡角就可以解出．解：如图，过A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC．∵ABCD为等腰梯形，∴BE=（BC-AD）=2．∴坡度==∴坡角=∠B=60°故选D．【点拨】此题考查了学生对等腰梯形的性质，坡度坡角的计算等知识点的掌握情况．11．（30+30）．【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．解：∵在Rt△ABD中，AD＝90，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝30（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴CD＝AD•tan60°＝30×＝30（m），∴BC＝BD+CD＝30+30（m）答：该建筑物的高度BC约为（30+30）米．故答案为：（30+30）．【点拨】此题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．12．【分析】连接AF,作FH⊥AD构造直角三角形运用三角函数解出FH,再将床高加上即可求出EC的值．解：当A、F在一条直线时,就正好不会吹到床上,连接AF,过点F作FH⊥AD,∵AD=200,HD=20,∴AH=180,∵∠EFA=136°,∴∠FAD=46°,∴FH=．∴ED=FH=187.2,∴EC=187.2+50=237.2≈237．故答案为237．【点拨】本题考查解直角三角形的应用,关键在于理解题意,作出合理的辅助线结合三角函数的知识．13．5米【分析】试题分析：设CD=x，则AD=2x，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长．解：设CD=x，则AD=2x，由勾股定理可得，AC=，∵AC=3米，∴x=3，∴x=3（米），∴CD=3米，∴AD=2×3=6米，在Rt△ABD中，BD==8（米），∴BC=8﹣3=5（米）．故答案为5米．14．13【分析】作DE⊥AB于点E，作CF⊥DE于点F，由tan37°=≈0.75求得AE=40，由AB=57知BE=17，再根据四边形BCFE是矩形知CF=BE=17．由∠CDF=∠DCF=45°知DF=CF=17，从而得BC=EF=30-17=13．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．

由题意得，AB=57，DE=30，∠A=37°，∠DCF=45°．

在Rt△ADE中，∠AED=90°，

∴tan37°=≈0.75．

∴AE=40，

∵AB=57，

∴BE=17

∵四边形BCFE是矩形，

∴CF=BE=17．

在Rt△DCF中，∠DFC=90°，

∴∠CDF=∠DCF=45°．

∴DF=CF=17，

∴BC=EF=30-17=13．

故答案为：13．【点拨】本题考查解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系求解是解题关键．15．21+7解：试题分析：作AE⊥CD于点E．在Rt△ABD中，∠ADB=45°，∴DE=AE=BD=AB=21（米）．在Rt△AEC中，CE=AE•tan∠CAE=21×=7．∴CD=21+7（米）．16．39解：根据题意可得：∠B=30°，在Rt△ABC中，tan∠B=tan30°=，则BC=32≈55米，则BD=BC-CD=55-16=39米．故答案为：3917．【解析】试题解析：∵梯形护坡坝AB的坡度为i=1：4，坡高BC=2m，∴，∴AC=8m，根据勾股定理，得AB=m．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．18．3【解析】设OH=x米，在Rt△AOH中，∠A=30°,所以OA=2x，在Rt△BOH中，sinB=13,所以OB=3x，所以AB=5x=3，所以x=3考点：解直角三角形.19．【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．解：如图，∵在Rt△ABD中，AD=90，∠BAD=45°，

∴BD=AD=100（m），

∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，

∴CD=AD•tan60°=100×,

∴BC=BD+CD=；故答案为：．【点拨】此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．20．233m【分析】作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，在Rt△ADB中，∠ABD=45°，∴DB=x，在Rt△ADC中，∠ACD=35°，，，解得，x≈233．所以，热气球离地面的高度约为233米．故答案为：233．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．21．135【解析】试题分析：根据题意可得：∠BDA=30°,∠DAC=60°,在Rt△ABD中，因为AB=45m，所以AD=m，所以在Rt△ACD中，CD=AD=×=135m．考点：解直角三角形的应用．22．7.5；【解析】试题解析：设路灯的高为x米，∵GH⊥BC，AB⊥BC，∴GH∥AB．∴△NGH∽△NAB．∴①．同理△FGH∽△FCE②．∴．∴．解得NB=15米，代入①得，解得x=7.5．23．60【分析】根据题意和图形可以分别表示出AD和CD的长，从而可以求得AD的长，本题得以解决．解：∵∠B=56°，∠C=45°，∠ADB=∠ADC=90°，BC=BD+CD=100米，∴BD=，CD=，∴+=100，解得，AD≈60考点：解直角三角形的应用．24．建筑物CF的高度为（5+1）m【分析】首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．解：∵∠CAD=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°，∴∠ACB=∠CAB，∴BA=BC=10，在Rt△CBD中，sin∠CBD=sin60°=，∴，解得：CD=5，∴CF=CD+DF=CD+AE=5+1．答：建筑物CF的高度为（5+1）m．【点拨】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是三角形的外角、特殊角的三角函数值、等腰三角形的性质，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．25．立柱BH的长约为16.3米．解：试题分析：设DH=x米，由三角函数得出CH=x，即可得BH=BC+CH=2+x，再求得AH=BH=2+3x，由AH=AD+DH得出方程2+3x=20+x，，解方程求出x，即可得出结果．试题解析：设DH=x米，∵∠CDH=60°，∠H=90°，∴CH=DH•sin60°=x，∴BH=BC+CH=2+x，∵∠A=30°，∴AH=BH=2+3x，∵AH=AD+DH，∴2+3x=20+x，解得：x=10﹣，∴BH=2+（10﹣）=10﹣1≈16.3（米）．答：立柱BH的长约为16.3米．考点：解直角三角形的应用．26．这批物资在B码头装船，最早运抵小岛O．【解析】试题分析：利用三角形外角性质计算出∠COD=15°，则CO=CD=20，在Rt△OCA中利用含30度的直角三角形三边的关系计算出OA=OC=10，CA=OA≈17，在Rt△OBA中利用等腰直角三角形的性质计算出BA=OA=10，OB=OA≈14，则BC=7，然后根据速度公式分别计算出在三个码头装船，运抵小岛所需的时间，再比较时间的大小进行判断．试题解析：∵∠OCA=∠D+∠COD，∴∠COD=30°﹣15°=15°，∴CO=CD=20，