反证法练习题

一、选择题1．否认结论“至多有两个解”的说法中，对的的是()A．有一种解B．有两个解C．最少有三个解D．最少有两个解[答案]C[解析]在逻辑中“至多有n个”的否认是“最少有n＋1个”，因此“至多有两个解”的否认为“最少有三个解”，故应选C.2．否认“自然数a、b、c中恰有一种偶数”时的对的反设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或最少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中最少有两个偶数[答案]B[解析]a，b，c三个数的奇、偶性有下列几个状况：①全是奇数；②有两个奇数，一种偶数；③有一种奇数，两个偶数；④三个偶数．由于要否认②，因此假设应为“全是奇数或最少有两个偶数”．故应选B.3．用反证法证明命题“三角形的内角中最少有一种不不不大于60°”时，反设对的的是()A．假设三内角都不不不大于60°B．假设三内角都不不大于60°C．假设三内角至多有一种不不大于60°D．假设三内角至多有两个不不大于60°[答案]B[解析]“最少有一种不不不大于”的否认是“都不不大于60°”．故应选B.4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中最少有一种是偶数”时，下列假设对的的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a、b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一种偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数[答案]B[解析]“最少有一种”反设词应为“没有一种”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否认应当是()A．a<bB．a≤bC．a＝bD．a≥b[答案]B[解析]“a>b”的否认应为“a＝b或a<b”，即a≤b.故应选B.6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线[答案]C[解析]假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.7．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋1b，c＋1a，b＋1c中()A．都不不不大于－2B．都不不大于－2C．最少有一种不不不大于－2D．最少有一种不不大于－2[答案]C[解析]a＋1b＋c＋1a＋b＋1c＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c∵a，b，c∈(－∞，0)，∴a＋1a＝－－a＋－1a≤－2b＋1b＝－－b＋－1b≤－2c＋1c＝－－c＋－1c≤－2∴a＋1b＋c＋1a＋b＋1c≤－6∴三数a＋1b、c＋1a、b＋1c中最少有一种不不不大于－2，故应选C.8．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面[答案]B[解析]对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m则有l∥m，与l、m异面矛盾；对于C，过点P与l、m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P与l、m都异面的直线不唯一．9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁[答案]C[解析]由于只有一人获奖，因此丙、丁只有一种说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，因此乙说错了，从而知甲、丙对，因此丙为获奖歌手．故应选C.10．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝xn(x2n＋3)3x2n＋1(n＝1,2…)，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xn<xn＋1，或者对任意正整数n都满足xn>xn＋1”，当此题用反证法否认结论时，应为()A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1B．存在正整数n，使xn＝xn＋1C．存在正整数n，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0[答案]D[解析]命题的结论是“对任意正整数n，数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”．故应选D.二、填空题11．命题“任意多面体的面最少有一种是三角形或四边形或五边形”的结论的否认是________．[答案]没有一种是三角形或四边形或五边形[解析]“最少有一种”的否认是“没有一种”．12．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中最少有一种能被5整除”，那么反设的内容是________________．[答案]a，b都不能被5整除[解析]“最少有一种”的否认是“都不能”．13．用反证法证明命题：“一种三角形中不能有两个直角”的过程归纳为下列三个环节：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②因此一种三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.对的次序的序号排列为____________．[答案]③①②[解析]由反证法证明的环节知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，必定结论即②，即次序应为③①②.14．用反证法证明质数有无限多个的过程以下：假设______________．设全体质数为p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.显然，p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、pn之外，尚有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．[答案]质数只有有限多个除p1、p2、…、pn之外[解析]由反证法的环节可得．三、解答题15．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.[证明]用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一种为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，因此假设不成立．因此a>0，b>0，c>0成立．16．已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时不不大于14.[证明]证法1：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都不不大于14.∵a、b、c都是不大于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数.(1－a)＋b2≥(1－a)b＞14＝12，同理(1－b)＋c2＞12，(1－c)＋a2＞12.三式相加，得(1－a)＋b2＋(1－b)＋c2＋(1－c)＋a2＞32，即32＞32，矛盾．因此(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都不不大于14.证法2：假设三个式子同时不不大于14，即(1－a)b>14，(1－b)c>14，(1－c)a>14，三式相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a>143①由于0<a<1，因此0<a(1－a)≤1－a＋a22＝14.同理，0<b(1－b)≤14，0<c(1－c)≤14.因此(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤143.②由于①与②矛盾，因此假设不成立，故原命题成立．17．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.(1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)判断(1)中命题的逆命题与否成立，并证明你的结论．[解析](1)证明：∵a＋b≥0，∴a≥－b.由已知f(x)的单调性得f(a)≥f(－b)．又a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)．两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)逆命题：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)⇒a＋b≥0.下面用反证法证之．假设a＋b<0，那么：a＋b<0⇒a<－b⇒f(a)<f(－b)a＋b<0⇒b<－a⇒f(b)<f(－a)⇒f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知矛盾，故只有a＋b≥0.逆命题得证．18．(•湖北理，20改编)已知数列{bn}的通项公式为bn＝1423n－1.求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．[解析]假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(r<s<t)按某种次序成