固体物理题库

一、概念晶体:是由离子、原子或分子〔统称为粒子〕有规律地排列而成的，具有周期性和对称性。非晶体:有序度仅限于几个原子，不具有长程有序性和对称性。点阵:格点的总体称为点阵。晶格:晶体中微粒重心，做周期性的排列所组成的骨架，称为晶格格点:微粒重心所处的位置称为晶格的格点〔或结点〕。晶体的周期性和对称性:晶体中微粒的排列按照一定的方式不断的做周期性重复，这样的性质称为晶体结构的周期性。晶体的对称性是指晶体经过某些对称操作后，仍能恢复原状的特性。〔有轴对称、面对称、体心对称即点对称〕。密勒指数：某一晶面分别在三个晶轴上的截距的倒数的互质整数比称为此晶面的Miller指数。倒格子：设一晶格的基矢为，，，假设另一格子的基矢为，，，与，，存在以下关系：(i,j=1,2,3)。那么称以，，为基矢的格子是以，，为基矢的格子的倒格子。〔相对的可称以，，为基矢的格子是以，，为基矢的格子的正格子〕。配位数：可以用一个微粒周围最近邻的微粒数来表示晶体中粒子排列的紧密程度，称为配位数。致密度：晶胞内原子所占体积与晶胞总体积之比称为点阵内原子的致密度。固体物理学元胞：选取体积最小的晶胞，称为原胞；格点只在顶角上，内部和面上都不包含其他格点，整个元胞只包含一个格点；晶胞的三边的平移矢量称为根本平移矢量〔或称基矢〕；突出反映晶体结构的周期性。结晶学元胞：体积通常较固体物理学元胞大；格点不仅在顶角上，同时可以在体心或面心上；晶胞的棱也称为晶轴，其边长称为晶格常数、点阵常数或晶胞常数；突出反映晶体的周期性和对称性。布拉菲格子：晶体由完全相同的原子组成，原子与晶格的格点相重合，而且每个格点周围的情况都一样。〔Bravais格子〕复式格子：晶体由两种或两种以上的原子构成，而且每种原子都各自构成一种相同的布喇菲格子，这些布喇菲格子相互错开一段距离，相互套购而形成的格子称为复式格子。复式格子是由假设干相同的布喇菲格子相互位移套构而成的。声子：晶格简谐振动的能量化的量子，以为单位来增减其能量，就称为晶格振动能量的量子，即声子。非简谐效应：在晶格振动势能相中考虑了δ2以上δ高次项的影响，此时势能曲线是非对称的，因此原子振动时会产生热膨胀与热传导。点缺陷的分类：本征热缺陷：弗仑克尔缺陷，肖脱基缺陷晶体点缺陷杂质缺陷：置换型，填隙型色心极化子布里渊区：在空间中倒格矢的中垂线把空间分成许多不同的区域，在同一区域中能量是连续的，在区域的边界上能量是不连续的，把这样的区域称为Brillious区二、证明题：1.设一晶格的基矢为，，，假设另一格子的基矢为，，，与，，存在以下关系：(i,j=1,2,3)证明以，，为基矢的格子是以，，为基矢的格子的倒格子。证明：设晶体任一r处的物理量为，根据晶体的周期性，那么有：〔是位置矢量〕a其中，为晶体中的平移矢量〔正格矢〕，而，，为其正格子基矢。将展开成付里叶级数：〔为一新矢量〕式中h代表三个整数h1，h2，h3。那么实际为。同时有：根据公式a，那么：有：〔N为整数〕令，那么：(i,j=1,2,3)即，以，，为基矢的格子是以，，为基矢的格子的倒格子2.证明正格子原胞体积与倒格子原胞体积互为倒数。证明：一族晶面〔h1，h2，h3〕中最靠近原点的晶面ABC在基矢，，上的截距为a1/h1，a2/h2，a3/h3，那么：〔利用，，〕应用公式：，得到：那么：3.证明正格子中一族晶面〔h1,h2,h3〕和倒格矢正交，且倒格矢长度与晶面族〔h1,h2,h3〕晶面间距倒数成正比。B0AC证明：一族晶面〔h1，h2，h3〕中最靠近原点的晶面ABC在基矢，，上的截距为a1/h1，a2/h2，a3/h3，那么：B0ACB0B0AC那么：故同ABC晶面上的，两条相交直线正交，那么同ABC晶面正交，同晶面族〔h1，h2，h3〕正交〔垂直〕。由图可看出，晶面族的面间距d等于原点o到晶面ABC的垂直距离，亦即等于截距在晶面ABC法线方向上的投影。单位法向矢量，因此4.证明体心立方格子和面心立方格子互为正、倒格子。证明：面心立方格子基矢：利用公式：，，可求出其倒格子基矢为：体心立方格子基矢：利用公式可求出其倒格子基矢为：，所以体心立方格子与面心立方格子互为正倒格子。5．假设基矢a、b、c构成简单正交系，试证：晶面族〔hkl〕的面间距为：，并说明面指数简单的晶面，其面密度比拟大，容易解理。证明：abc构成简单正交系，那么一族晶面〔hkl〕中最靠近原点的晶面ABC在正交的基矢，，上的截距为a/h，b/k，c/l，那么这族晶面的晶面间距即为原点到ABC面的距离：a.，对于正交晶系有有：所以：b.，为晶面法向单位矢量，因为：，所以：，即：晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大.因为面间距大的晶面族的指数低,所以解理面是面指数低的晶面.或者解释为：对于正交晶系为h=1,k=1,l=0为简单指数时d100=a面间距较大的之一又因为某个晶体的原胞体积总是不变的，原胞体积=dhkl·Ahkl；A为(h,k,l)晶面上面积元的面积〔即h,k,l〕晶面的二维晶格的原胞，晶格对应着固定的，但是h、k、l不同时，那么对应着不同形状的二维原胞，dhkl愈大，那么Ahkl愈小，原胞体积一定，A小，面密度大；因d大，二晶面相互作用弱，易解理。所以解理面一般总是沿面密度大的(h,k,l)面解理，即解理面，一般是简单指数的晶面。6.设两原子间的互作用能可表示为式中，第一项为引力能；第二项为排斥能；均为正常数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必须n>m。证明：相互作用着的两个原子系统要处于稳定平衡状态，相应于平衡距离处的能量应为能量的极小值，即当时，其次，对应于处能量取最小值，应有把〔1〕式代入，即得这个结果说明，排斥力是短程力，与吸引力比拟，它随原子间的距离的变化更陡峭。7.证明，在由两种不同质M、m〔M>m〕的原子所组成的一维复式格子中，如果波矢q取边界值〔a为相邻原子间距〕，那么在声学支上，质量为m的轻原子全部保持不动；在光学支上，质量为M的重原子保持不动。证明：设质量为m的轻原子位于2n-1，2n+1，2n+3，等各点；质量为M的重原子位于2n-2，2n，2n+2，等各点。令β表示原子间的恢复力常数，运动方程可写为设试探解为式中，A为轻原子的振幅；B为重原子的振幅；ω为角频率；为波矢。将试探解代入运动方程有：要A、B有不全为零的解，上面方程的系数行列式必须等于零，从中解得式中的“＋〞“－〞分别给出两种频率，对应光学支格波和声学支格波。上式说明，ω是q的周期函数，－1/4a＜q≤1/4a。当q取边界值，即q＝±1/4a时，由上式得得到两种原子的振幅比分别为光学支：声学支：因为1-M/m＜0，1-m/M＞0而且当q=±1/4a时，由上式得到即B=0即A=0当波矢q取边界值时，声学支中轻原子保持不动〔A=0〕，而光学支中重原子保持不动〔B=0〕。8．证明：肖脱基缺陷的浓度为，并且求产生肖脱基缺陷后体积的变化，V为原有的体积。证明：设n对肖特基缺陷是从晶体内部移去n个正离子和n个负离子而形成的。从N个正离子中形成n个正离子空位的可能方式数为同时，从N个负离子中形成n个负离子空位的可能方式数也是于是，在整个晶体中形成n对正负离子空位的可能方式数由此而引起晶体熵的增量为设形成一对正负离子空位需要能量u，假设不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，那么晶体自由能的改变〔1〕热平衡时，，并应用斯特令公式，从〔1〕式得因为实际上N》n，于是得在弗兰克尔缺陷中，晶体的体积没有显著变化，而在肖特基缺陷中每产生一对缺陷同时便在晶体外表填了两个新的原子，增加了体积，也就减少了密度，在肖特基缺陷中所增加的体积为：其中a为正负离子间的距离。晶体原来的体积是因此体积变化是9．在离子晶体中，由于电中性的要求，肖脱基缺陷都是成对地产生。令n代表正、负离子空位的对数，u是形成一对缺陷所需要的能量，N为整个离子晶体中正、负离子对的数目〔利用斯特令公式：lnx！=xlnx-x〕证明：证明：设n对肖特基缺陷是从晶体内部移去n个正离子和n个负离子而形成的。从N个正离子中形成n个正离子空位的可能方式数为同时，从N个负离子中形成n个负离子空位的可能方式数也是于是，在整个晶体中形成n对正负离子空位的可能方式数由此而引起晶体熵的增量为设形成一对正负离子空位需要能量u，假设不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，那么晶体自由能的改变〔1〕热平衡时，，并应用斯特令公式，从〔1〕式得因为实际上N》n，于是得10．对于简单正方晶格〔二维〕。证明：二维正格子第一布里渊区的角隅处的一个自由电子的动能，比该区侧面中点处的电子动能大1倍。证明：二维简单正方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为：，ABπABπ/a-π/aπ/a-π/aKxKy2π/a2π/a2π/a2π/aⅠⅡ区边中点A点的波矢为：，角顶B点的波矢为：自由电子能量由此得：A点的能量为，B点的能量为因此有11．设u代表形成一个弗仑克儿缺陷所需的能量，证明在温度T时，到达热平衡的晶体中弗仑克儿缺陷的数目为式中，N、分别代表晶体中的原子总数和间隙位置数。证明：在N个原子的晶体中形成n个空位的可能方式数为这n个原子排列在个间隙位置上的可能方式数为这样，从N个格点上取出n个原子并把它们排列在个间隙位置上的总方式数由此而引起熵的增量应用斯特令公式，上式变为(1)由于每把一个格点原子安置在间隙位置上需要能量u，依题设当存在n个间隙原子时内能的增量为(2)如果把形成缺陷所引起晶体体积的任何改变和缺陷近邻原子振动频率的任何改变略去不计，那么〔1〕〔2〕两式代表缺陷出现所引起的自由能增量为，应用平衡条件，得到即因为实际上，N、》n，故得三、计算题1.金刚石晶胞的立方边长为，求最近邻原子间的距离、平均每立方厘米中的原子数和金刚石的密度。解：金刚石结构是由两个面心立方点阵沿对角线方向平移体对角线长度的1/4套构而成。空间对角线上的原子与最近的立方体顶角上的原子之间的距离便是金刚石结构中原子的最近距离，假设用R表示，那么金刚石结构中每个晶胞包含8个原子，所以每立方厘米中的原子数由于碳原子的重量为g，因此金刚石的密度2．在六角空间格子中选取一平行六面体为原胞，试求：〔1〕基矢的表示式；〔2〕原胞的体积；〔3〕倒格子基矢。解：〔1〕由图容易看出，式中I、j、k是沿x、y、z方向的单位矢量。〔2〕原胞的体积〔3〕根据倒格子基矢的定义，同理可得把与〔I=1，2，3〕比拟可知，倒格子仍是一个六角空间点阵，但轴经过了转动。3．一维单原子链晶格振动的色散关系为。其中：β为力常数，q为波矢，a为晶格常数。试用玻恩-卡门边界条件计算三个原子振动的频率〔N=3〕；证明：在长波极限条件下，格波的传播速度为νp常数。〔提示：νp=ω/q〕解：〔1〕玻恩-卡门边界条件：〔为整数〕介于介于N=3,取整数：-1，0，1。代入方程：〔2〕证明：在长波极限条件下，λ很大，很小，那么，，那么是一个常数。4．氪原子组成惰性气体晶为体心立方结构，其总势能可写为其中N为氪原子数，R为最近邻原子间距离，点阵和A6=12.25，A12=9.11；设雷纳德—琼斯系数=0.014eV，=3.65。求：〔1〕平衡时原子间最近距离R0及点阵常数a；〔2〕每个原子的结合能〔eV〕。解：〔1〕，〔2〕，每个原子的结合能为0.115eV。5．在钠中形成一个肖特基缺陷的能量为1eV，问温度从T=290K升到T=1000K时，肖特基缺陷增大多少倍？解：肖特基缺陷的数目为题给，设对应于两个温度的缺陷数分别为，因，因而即当温度从290K上升到1000K时，肖特基空位数增大了倍，可见空位数目随温度的变化是非常敏感的。6．试求由两种一价离子所组成的一维晶格的库仑互作用能和马德隆常数。设离子总数为2N，离子间的最短距离为R。解：如下图，选取负离子I作为参考离子，相邻两离子间的距离用R表示，第j个离子与参考离子的距离可表示为参考离子I与其他离子间的库仑互作用能是求和号上的一撇表示对j求和时不包括j=I。因为参考离子I是负离子，因而在对负离子求和时取“-〞，对正离子求和时取“+〞。因晶体包括N对正负离子，总的库仑互作用能为式中已使用了公式并令x=1。显然，马德隆常数式中，正号代表正离子的奉献；负号代表负离子的奉献。7.一维晶体的电子能带可写为：式中：为晶格常数，试求：〔1〕能带的宽度；〔2〕电子在波矢k的状态时的速度；〔3〕能带底部和顶部电子的有效质量。解:(1)所以：当n为奇数：有极大值。当n为偶数：有极小值。〔n为奇数〕〔n为偶数〕，即为能带宽度。〔2〕〔3〕底部，顶部，8.设某简立方晶体中每对原子的平均结合能为，平衡时米。其结合能为焦耳。试计算A和B以及晶体的有效弹性模量。解：因为一对原子间互作用能为：，N个原子的作用能，∴，认为晶体是简立方结构，，所以压缩系数四、论述题1.爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?答：按照爱因斯坦温度的定义,爱因斯坦模型的格波的频率大约为1013Hz,属于光学支频率.但光学格波在低温时对热容的奉献非常小,低温下对热容奉献大的主要是长声学格波.也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的奉献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源.U(r)rU(r)rABa答：假设考虑晶格振动势能δ2以上高次项，如δ3项，那么：其势能曲线如图中虚线所示，可以看到是非对称的，在平衡位置左边的局部较陡，在平衡位置右边较平滑。因此原子振动时，随着振幅〔即振动总能量〕的增加，原子的平均位置将向右边移动，移动轨迹如图中A、B曲线所示，可以想见，随着温度的升高，原子振动加强，原子间距离增大，由此而产生热膨胀：令那么根据彼耳兹曼统计，平均位移δ为：计入非简谐项时线膨胀系数为：显然假设考虑展开式中δ3以上的更高次项，那么K将同温度有关。热传导：由于微扰项的存在，这些谐振子就不再是相互独立的，而相互间要发生作用，即声子与声子间将相互交换能量，这样，如果开始时只存在某种频率的声子，由于声子间的互作用，这种频率的声子转换成另一种频率的声子，即一种频率的声子要淹没，而另一种频率的声子要产生。这样，经过一定的弛豫时间后，各种声子的分布就能到达热平衡，所以这些δ高次相也即非简谐相，是使晶格振动到达热平衡的最主要原因。3.陶瓷中晶界对材料性能有很大的影响，试举例说明晶界的作用。答：晶界是一种面缺陷，是周期性中断的区域，存在较高界面能和应力，且电荷不平衡，故晶界是缺陷富集区域，易吸附或产生各种热缺陷和杂质缺陷。与体内微观粒子〔如电子〕相比，晶界微观粒子所处的能量状态有明显差异，称为晶界态。在半导体陶瓷中，通常可以通过组成、制备工艺的控制，使晶界中产生不同起源的受主态能级，在晶界产生能级势垒，显著影响电子的输出行为，使陶瓷产生一系列的电功能特性〔如PTC特性、压敏特性、大电容特性等〕。这种晶界效应在半导体陶瓷的开展中得到了充分的表达和应用。4.从能带理论的角度简述绝缘体、半导体、导体的导电或绝缘机制。答：〔1〕在金属能带中，价带与导带迭合、价带中存在空能级或者价带全满但导带中有电子，故电子易迁移进入较高能量状态的空能级中，金属具有优异的导电性〔2〕在绝缘体的能带中，其价带全部填满，而导带全部为空能级，在价带与导带之间存在很宽的禁带〔>3.0eV〕，因而电子难以由价带跃迁到导带中，绝缘体的导电性很差；〔3〕半导体的能带结构与绝缘体相似，但其禁带较窄〔<3.0eV〕，因而在外电场激发下〔如热激发〕，电子可由价带跃迁进入导带中而导电。如果在禁带中靠近导带〔或价带〕的位置引入附加能级〔施主或受主〕将显著提高半导体的导电性。5.经典的自由电子理论的要点，用其解释金属的电性能。答：金属晶体就是靠自由价电子和金属离子所形成的点阵间的相互作用而结合在一起的，这种相互作用称为金属键。〔1〕金属中存在大量可自由运动的电子，其行为类似理想气体；〔2〕电子气体除与离子实碰撞瞬间外，其它时间可认为是自由的；〔3〕电子←→电子之间的相互碰撞〔作用〕忽略不计；〔4〕电子气体通过与离子实的碰撞而到达热平衡。电子运动速度分布服从M--B经典分布。在金属中的自由价电子的数目是较多的且根本上不随温度而变，所以当温度升高的时候，金属电导率的变化主要取决于电子运动速度。因为晶格中的原子和离子不是静止的，它们在晶格的格点上作一定的振动，且随温度升高这种振动会加剧，正是这种振动对电子的流动起着阻碍作用，温度升高，阻碍作用加大，电子迁移率下降，电导率自然也下降了。6．索莫非量子理论的成功之处。答：金属中的电子不受任何其它外力的作用，彼此间也无相互作用，可把它看成是在一个长、宽、高分别为a、b、c的方匣子中运动的自由粒子，在金属内部每一个电子的势能是一个常数〔或零〕，在边界处和边界外面的势能那么为无穷大。所以，可把金属中的电子看成是在具有一定深度势阱中运动的自由电子，把这样一个体系作为三维势箱中的平动子来考虑。成功之处：1.解释了金属键的本质。〔详细解释〕2.对电子的比热问题进行了较好的解释。〔详细解释〕7．长光学支格波与长声学支格波本质上有何差异?答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动,振动频率较高,它包含了晶格振动频率最高的振动模式.长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移,原胞做整体运动,振动频率较低,它包含了晶格振动频率最低的振动模式,波速是一常数.任何晶体都存在声学支格波,但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.8.从导电率的角度简述绝缘体、半导体、导体的导电或绝缘机制。答：〔1〕从电导率角度讲，由于金属的可自由移动电子较多，所以电导率很大，并且电导率随着温度的升高而降低。〔2〕从电导率角度讲，由于绝缘体的可自由移动电子很少，所以电导率很小，并且电导率随着温度的升高而升高。9.按缺陷在空间分布的情况，对晶体的缺陷进行分类，并举例说明掺杂对材料结构和性能的影响。答：①点缺陷：本征热缺陷〔弗仑克尔缺陷，肖脱基缺陷〕，杂质缺陷〔置换、填隙〕，色心，极化子线缺陷：刃型位措，螺旋位措面缺陷；小角晶界，晶界，堆积缺陷体缺陷；孔洞，聚集，微裂纹②在Fe中掺杂C，使C聚集在晶界，提高Fe的韧性；在Si中掺杂微量P、B等元素能使Si成为半导体，电导率得到大幅度提高。在白宝石Al2O3晶体中掺杂Cr替代Al，可由白宝石变成红宝石，改变了Al2O3晶体的光学特性。10.简述石墨的结构特点，并说明其结构与性能的关系。答：石墨晶体，是金刚石的同素异构体，组成石墨的一个碳原子以其最外层的三个价电子与其最近邻的三个原子组成共价键结合，这三个键几乎在同一平面上，使晶体呈层状；另一个价电子那么较自由的在整个层中活动，具有金属键的性质，这是石墨具有较好导电本领的根源；层与层之间又依靠分子晶体的瞬时偶极矩的互作用而结合，这又是石墨质地疏松的根源。11.简述离子晶体中缺陷对电导率有何影响？答:由于离子晶体是由正负离子在库仑力的作用下结合而成的，因而使离子晶体中点缺陷带有一定的电荷，这就引起离子晶体的点缺陷具有一般点缺陷所设有的特性。理想的离子晶体是典型的绝缘体，满价带与空带之间有很宽的禁带．热激发几乎不可能把电子由满价带激发到空带上去。但实际上离子晶体都有一定的导电性，其电阻明显地依赖于温度和晶体的纯度。因为温度升高和掺杂都可能在晶体中产生缺陷，所以可以断定离子晶体的导电性与缺陷有关。从能带理论可以这样理解离子晶体的导电性：离子晶体中带电的点缺陷可以是束缚电子或空穴，形成一种不同于布洛赫波的局域态。这种局域态的能级处于满带和空带的能隙中，且离空带的带底或者满带的带顶较近，从而可能通过热激发向空带提供电子或接受满带电子，便离子晶体表现出类似于半导体的导电特性。12.画出钙钛矿的晶体结构，并指出它是由哪几种布拉菲格子组成的。答：此为钙钛矿结构〔BaTiO3、SrTiO3等〕，A、B、O1、O2、O3各自组成5个简单立方布氏格子套购而成。13为什么组成晶体的粒子〔分子、原子或离子〕间的互作用力除吸引力还要排斥力？排斥力的来源是什么？电子云重叠―――泡利不相容原理――排斥力的来源：相邻的原子靠得很近,以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时,相邻的原子间便产生巨大排斥力.也就是说,原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠.14．本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同?答：在低温下,本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同.但本征半导体的禁带较窄,禁带宽度通常在2个电子伏特以下.由于禁带窄,本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发,跃迁到禁带上面空带的底部,使得满带不满,空带不空,二者都对导电有奉献.15试述范德瓦耳斯力的起源和特点。答：范德瓦尔斯力：是分子间微弱的相互作用力；主要由静电力〔偶极子-偶极子相互作用〕〔极性分子之间〕、诱导力〔偶极子-诱导偶极子相互作用〕〔极性分子和非极性分子之间〕、色散力〔非极性分子的诱导偶极矩-诱导偶极矩的相互作用〕之间的相互作用而结合；特点：①存在于所有分子间；②作用范围在几个Å内；③没有方向性和饱和性；④不同分子中，静电力、诱导力和色散力所占比例不同，一般色散力所占比例较大。16．为什么形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量低?答：形成一个肖特基缺陷时，晶体内留下一个空位，晶体外表多一个原子.因此形成形成一个肖特基缺陷所需的能量,可以看成晶体外表一个原子与其它原子的相互作用能,和晶体内部一个原子与其它原子的相互作用能的差值.形成一个弗仑克尔缺陷时，晶体内留下一个空位，多一个填隙原子.因此形成一个弗仑克尔缺陷所需的能量,可以看成晶体内部一个填隙原子与其它原子的相互作用能,和晶体内部一个原子与其它原子相互作用能的差值.填隙原子与相邻原子的距离非常小,它与其它原子的排斥