高考数学一轮复习 第10章 概率 第3讲 几何概型增分练-人教版高三全册数学试题

第3讲几何概型板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．在长为6m的木棒上任取一点P，使点P到木棒两端点的距离都大于2m的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案B解析将木棒三等分，当P位于中间一段时，到两端A，B的距离都大于2m，∴P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).2．如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于15°的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案D解析依题意可知∠AOC∈[15°，75°]，∠BOC∈[15°，75°]，故OC活动区域为与OA，OB构成的角均为15°的扇形区域，可求得该扇形圆心角为(90°－30°)＝60°.P(A)＝eq\f(OC活动区域的圆心角度数,∠AOB的度数)＝eq\f(60°,90°)＝eq\f(2,3).3．[2018·山东师大附中模拟]设x∈[0，π]，则sinx<eq\f(1,2)的概率为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)答案C解析由sinx<eq\f(1,2)且x∈[0，π]，借助于正弦曲线可得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))，∴P＝eq\f(\f(π,6)×2,π－0)＝eq\f(1,3).4．[2018·湖南长沙联考]如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A．1－eq\f(π,4)B.eq\f(π,12)C.eq\f(π,4)D．1－eq\f(π,12)答案A解析鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－eq\f(π,4).故选A.5．[2018·福建莆田质检]从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是()A.eq\f(π,8)B.eq\f(π,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)答案B解析任取的两个数记为x，y，所在区域是正方形OABC内部，而符合题意的x，y位于阴影区域内(不包括x，y轴)，故所求概率P＝eq\f(\f(π,4)×12,1×1)＝eq\f(π,4).6．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点A.eq\f(π,12)B．1－eq\f(π,12)C.eq\f(π,6)D．1－eq\f(π,6)答案B解析正方体的体积为：2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πr3＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×13＝eq\f(2π,3)，则点P到点O的距离大于1的概率为：1－eq\f(\f(2π,3),8)＝1－eq\f(π,12).7．[2018·铁岭模拟]已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案C解析如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B、E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含F点)上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为eq\f(1＋2,6)＝eq\f(1,2).8．[2018·绵阳模拟]在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于eq\f(S,4)的概率是________．答案eq\f(3,4)解析如图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面积大于eq\f(S,4)”等价于事件“|BP|∶|AB|>eq\f(1,4)”．即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(△PBC的面积大于\f(S,4)))＝eq\f(|PA|,|BA|)＝eq\f(3,4).9．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为eq\f(5,6)，则m＝________.答案3解析由题意知m>0，当0<m<2时，－m≤x≤m，此时所求概率为eq\f(m－－m,4－－2)＝eq\f(5,6)，解得m＝eq\f(5,2)(舍去)；当2≤m<4时，所求概率为eq\f(m－－2,4－－2)＝eq\f(5,6)，解得m＝3；当m≥4时，概率为1，不合题意，故m＝3.10．[2018·保定调研]在区间[－1,1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x－1的概率是________．答案eq\f(7,8)解析点(x，y)分布在如图所示的正方形区域内，画出x－y－1≤0表示的区域，可知所求的概率为1－eq\f(\f(1,2),\a\vs4\al(4))＝eq\f(7,8).[B级知能提升]1．[2018·郑州模拟]分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为()A.eq\f(4－π,2)B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(4－π,4)D.eq\f(π－2,4)答案B解析设AB＝2，则S阴影＝2π－4.∴所求概率P＝eq\f(2π－4,4)＝eq\f(π－2,2)，故选B项．2．已知P是△ABC所在平面内一点，eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，现将一粒黑芝麻随机撒在△ABC内，则该粒黑芝麻落在△PBC内的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,2)答案D解析由eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，得eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→))，设BC边中点为D，连接PD，则2eq\o(PD,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→))，P为AD中点，所以所求概率P＝eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(1,2)，即该粒黑芝麻落在△PBC内的概率是eq\f(1,2).故选D.3．[2018·山东模拟]在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤logeq\s\do8(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”发生的概率为________．答案eq\f(3,4)解析不等式－1≤logeq\s\do8(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1可化为logeq\s\do8(\f(1,2))2≤logeq\s\do8(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤logeq\s\do8(\f(1,2))eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，故由几何概型的概率公式得P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4).4．设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，如图．所以所求的概率为P(A)＝eq\f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq\f(2,3).5．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y，则0≤x<24,0≤y<24且y－x>4或y－x<－4.作出区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x<24，,0≤y<24，,y－x>4或y－x<－4.))设“两船无需等待码头空出”为事件A，则P(A)＝eq\f(2×\f(1,2)×20×20,24×24)＝eq\f(2