线性代数第二章C课件

2.1n维向量空间2.2线性相关性2.3向量组的秩2.4子空间2.5欧式空间2.6线性方程组解的结构2.1

n

维向量空间定义2.1n个数构成的有序数组称为一个n维向量，其中第i个数ai称为这个向量的第i个分量.用小写的希腊字母等表示向量空间行向量：列向量：Question知道两个或多个向量，如何定义两个向量相等？定义2.2

如果n维向量的对应分量都相等，即就称这个两个向量是相等的，记作

上面我们学习了n维向量的定义和n维向量相等的概念下面来学习一下如何进行n维向量的运算定义2.3

(1)

加法设是两个n维向量，规定称为的和(2)

向量与数的乘法(简称数乘)

设k是一个数，规定称为与的数量乘积.线性运算：向量的加法和数乘.

向量的加法满足

交换律：

结合律：

零向量：分量全部为零的向量

负向量满足向量的减法：向量的数乘：向量的数乘与加法满足：向量运算的性质：上面就是我们学习的线性运算的一些性质下面我们再来学习一个重要的定义：

n维向量空间定义2.4：用Rn表示n维向量全体构成的集合，在其中可以进行线性运算，称为n维向量空间.

当n=3时，三维向量空间就可以认为是一个三维几何空间.上面我们介绍向量空间的一些性质，线性相关性.线性表出.2.2

线性相关性定义2.5:

设都是n维向量.如果可以表示成：则称是的一个线性组合，或称可以由线性表出.如果向量可由向量表示：成比例.下面我们再来看一下n维基本向量的概念.设n维向量则所以是的一个线性组合.

称为n维基本向量.例2.4

设问能否由线性表出？要判断一个n维向量能否由线性表出，需要解一个线性方程组这就转化到第一章所学习的内容下面我们来学习一下如何建立这个线性方程组设求使得线性方程组根据第一章所学到的知识线性方程组解有三种情况：(1)无解(2)唯一解(3)无穷多解能否由线性表示也有三种情况：

(1)不能表示

(无解)(2)唯一表示

(唯一解)(3)无穷多种情况

(无穷多解)下面我们再介绍一个重要的概念：线性相关线性相关是由前面的线性组合或线性表出演变而来定义2.6设是一组维数相同的向量.如果有不全为零的数使得则称向量组线性相关.其实线性相关可以看成是一个零向量由一组向量线性表出.线性相关对应于齐次线性方程组的情况齐次线性方程组对应两种解的情况：(1)

零解(线性无关)(2)

无穷多解(线性相关)例2.7

向量组向量组的线性相关性，有以下几个重要的结论：(1)包含零向量的向量组一定是线性相关的.(2)

N个n维基本向量是线性无关的.上面我们学习了线性相关性的概念，同学们我们再来学习什么是线性无关？定义2.7如果向量组不是线性相关的，就称是线性无关的.

也就是说，如果等式只有当时才成立，就称是线性无关的.这时齐次线性方程组对应于只有零解的情况例2.8设问是否线性相关.例2.9设判断是否线性相关.n维向量定义行向量列向量向量相等向量的加法向量的数乘零向量负向量n维向量空间线性表出n维基本向量线性相关线性无关线性相关性和线性表出定理2.1就给出线性相关性和线性表出之间的关系定理2.1向量组线性相关的充分必要条件：是中有一个向量可以被其余的向量线性表示.如果是线性无关的那么中每一个向量都不可能被其余向量线性表出.线性无关充分必要条件

注意定理2.1有一个向量被其它向量线性表出但并不是每一个向量都可以由其余向量表出对这个问题，定理2.2给出了一个常用结论定理2.2如果向量组线性无关，而线性相关则可由线性表示.表法唯一当一个向量能被一组向量表示关于表法唯一有下面这个定理2.3定理2.3设可由向量组线性表出，则表法唯一的充分必要条件是：线性无关.2.3

向量组的秩定义2.8如果向量组中每一个向量都可以由向量组线性表出，就称向量组可以由向量组线性表出.

如果两个向量组可以互相线性表出，就称它们是等价的.

(1)

每一个向量组都可以由它自身线性表出.

(2)

任意一个n维向量组都可以由基本向量组线性表出.如果向量可以由向量组线性表出，而向量组又可由向量组线性表出，那么可以由线性表出.向量组之间的等价关系有3个性质:

(1)反身性

(2)对称性

(3)传递性向量线性表出的关系向量组中所包含的向量个数定理2.4定理2.4

设与是两个向量组，如果：

(1)

向量组可以由线性表出,

(2)

那么向量组一定线性相关.推论2.1如果向量组可由向量组线性表出，而且线性无关，那么推论2.1其实就是定理2.4的另一种说法.推论2.2任意n+1个n维向量必线性相关证明因为每个n维向量可以被n维基本向量线性表出；n+1相当于s>t所以由定理2.4可知：任意n+1个n维向量必线性相关因此，多于n个n维向量一定也是线性相关的线性无关的n维向量组最多包含n个向量推论2.3等价的线性无关的向量组，一定包含相同个数的向量.

设是一个向量组，由其中一部分向量组组成的向量组称为这个向量组的一个部分组.(1)如果向量组线性无关，则部分组一定

线性无关;(2)如果一个部分组是线性相关的，那么原来向量组也一定是线性相关;(3)原向量组线性相关，但部分组

不一定线性相关.定义2.9向量组的一个部分组，如果：

(1)这个部分组本身是线性无关的；

(2)但是再从原向量组的其余向量中任取一个添进去以后，所得到的部分组都是线性相关.

极大线性无关组

结论一个向量组的极大线性无关组

不一定是

唯一的由极大线性无关组的定义结论：

(1)一个线性无关的向量组的极大线性无关组就是它本身；

(2)

完全由零向量组成的向量组没有极大线性无关组.一个向量组的极大线性无关组不一定是唯一的，那么同一个向量组的极大线性无关组之间有什么关系呢？下面定理2.5就给出了这种关系.定理2.1线性相关与线性表出的关系定理2.2线性无关与线性表出的关系定理2.3表法唯一的定理定义2.8

向量组等价定理2.4推论2.1推论2.2推论2.3极大线性无关组定理2.5

(1)向量组的任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.

(2)向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的，因此包含相同个数的向量.

定理2.5表明：

(1)一个向量组可能有几个极大线性无关组

(2)极大线性无关组所含的数量却是一样的.

这就引出了秩的概念.

定义2.10向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.

只含零向量的向量组的秩定为零.由定义2.10可知：线性无关的向量就是它自身的极大线性无关组，所以一个向量组线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含的向量个数.由定理2.5可知：每一个向量组都与它的极大线性无关组等价，由等价的传递关系可知任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价等价的向量组必有相同的秩.设是一个矩阵:称为的行向量向量组称为的行向量组定理2.6矩阵的秩等于它的行向量组的秩例2.11设求向量组的秩.2.4

子空间定义2.11

设是维向量空间的一个非空子集.如果：

(1)

对任意，都有；

(2)

对任意，都有.

则称是的一个子空间.第一个条件对加法封闭第二个条件对数乘是封闭对线性运算封闭例2.12

只包含一个零向量的集合是一个子空间，称为零子空间.

是它自身的子空间.

这两个子空间称为的平凡子空间.

其它的子空间称为非平凡子空间.例2.13

设的子集求证是的一个子空间.

例2.14设是中的一组向量,

用表示的全部线性组合所生成的集合:

是的一个子空间.

定义2.12设是一个向量空间，如果在中有个线性无关的向量，而中任意个向量都是线性相关的.那么就称为维向量空间.

向量空间的维数记作维向量空间中任意个线性无关的向量称为的一组基.

零空间的维数规定为0，没有基.

的维数

2.5欧氏空间定义2.13设是向量空间中两个向量，的内积规定为

向量内积具有下列性质:

定义2.14如果向量与的内积为0，即，则称与正交.定义2.15设是一个n维向量，令称为的长度.

如果，则称为单位向量.(1)

单位化

(2)

夹角(3)

距离定义2.16

如果向量组中任意两个向量都正交，而且每个都不是零向量.

那么，这个向量组就称为正交向量组；

由单位向量构成的正交向量组称为正交单位向量组.欧几里德空间：

在维向量空间及其子空间中引进内积.

前面学习了n维向量空间的概念，下面我们利用上面的知识，来讨论线性方程组解的结构.解的结构：唯一解：无解的结构无穷多解：解的结构消元法求出一般解，给出了每个解的一般表达式并求出解的集合.利用向量的概念证明，方程组无穷多解，可以用有限多个解表出.2.6

线性方程组解的结构

(2.22)(1)

两个解的和还是方程组的解(2)

解的倍数还是方程组的解齐次线性方程组(2.22)的解集合，对于线性运算是封闭的，成为的一个子空间.定义2.17齐次方程组(2.22)的解的全体构成的一个子空间，称为(2.22)的解空间.子空间取决于维数和基.只有零解，零子空间，维数为0.当有无穷多解时，引出下面的概念定义2.18设是齐次线性方程组(2.22)的一组解，如果：

(1)

线性无关;

(2)

方程组(2.22)的任一个解都能表示成的线性组合.

则称为方程组(2.22)的一个基础解系.条件(2)

保证方程组全部解都可以由线性表出条件(1)

保证基础解系中没有多余的解

基础解系就是解空间的基关于解空间的维数和如何求出基础解系定理2.11给出了具体的过程定理2.5定义2.10定理2.6定义2.11子空间欧氏空间线性方程组解的结构定义2.17定义2.18定理2.11如果齐次方程组(2.22)有非零解，那么它一定有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于n-r，这里r表示系数矩阵的秩.证明：设方程组的系数矩阵的秩为r

(2.23)如果r=n，无基础解系如果r<n，此时有无穷多解此时有n-r个自由未知量：将自由未知量任意一组值解出唯一解在方程组(2.23)中分别用n-r个数代替自由未知量齐次线性方程组的(2.22)的全部解是：如果是一个基础解系，那么解空间就是

例2.16求线性方程组

的一个基础解系，并用基础解系表示出全部解.一般线性