第1章直角三角形

华章文化 习题word版第41页（共41页）第1章直角三角形1．1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)第1课时直角三角形的性质和判定基础题知识点1直角三角形的两个锐角互余1．(2017·邵阳邵东县期中)在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D)A．75° B．60° C．45° D．30°2．若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是(B)A．24° B．34° C．44° D．46°3．(2017·株洲)如图，在Rt△ABC中，∠B的度数为25°．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AD是角平分线，则∠ADC＝65°．5．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高．若∠A＝65°，∠BCE＝35°，则∠ABF的度数是25°，∠FBC的度数是30°.知识点2有两个角互余的三角形是直角三角形6．在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝20°，那么这个三角形是(B)A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠1＝∠B.求证：△ABC是直角三角形．证明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∴∠1＋∠C＝90°.∵∠1＝∠B，∴∠B＋∠C＝90°.∴△ABC是直角三角形．知识点3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线．若AB＝8，则CD的长是(C)A．6 B．5 C．4 D．39．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线．若∠A＝20°，则∠BDC＝(B)A．30° B．40° C．45° D．60°10．如图，在Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB.若∠BCF＝35°，求∠ACD的度数．解：∵EF∥AB，∴∠BCF＝∠B.∵∠BCF＝35°，∴∠B＝35°.∵△ABC为直角三角形，∴∠CAB＝90°－35°＝55°.∵DC是斜边AB上的中线，∴AD＝BD＝CD.∴∠ACD＝∠A＝55°.易错点直角不确定导致漏解11．(2018·娄底涟源市期末)如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝50°或90°．中档题12．如果一个三角形的一个内角等于其他两个内角的差，那么这个三角形是(B)A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点．若AD＝6，则CP的长为(A)A．3 B．3.5 C．4 D．4.514．如图，BE，CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是13.15．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是BC，AC的中点，AB＝8，求DE的长．解：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.又∵D是BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.又∵E是AC的中点，∴DE＝eq\f(1,2)AC.∵AB＝AC，AB＝8，∴AC＝8.∴DE＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×8＝4.16．(2017·邵阳邵阳县期中)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线AD，BE交于点F，求∠AFB的度数．解：∵∠C＝90°，∴∠CAB＋∠CBA＝90°.∵AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA，∴∠FAB＋∠FBA＝45°.∴∠AFB＝135°.17．如图，在△ACD与△ABC中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点．(1)求证：DE＝BE；(2)图中有哪些等腰三角形，请写出来．(不需要证明)解：(1)证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为AC的中点，∴DE＝eq\f(1,2)AC，BE＝eq\f(1,2)AC.∴DE＝BE.(2)图中的等腰三角形有△CDE，△DAE，△AEB，△BEC，△DEB.综合题18．如图，M是Rt△ABC斜边AB的中点，CD＝BM，DM与CB的延长线交于点E.求证：∠E＝eq\f(1,2)∠A.证明：∵CM是Rt△ABC斜边AB上的中线，CD＝BM，∴CD＝CM＝BM＝AM.∴∠A＝∠DCM，∠CDM＝∠DMC.∵∠DCM＋∠CDM＋∠DMC＝180°，∴∠A＝180°－2∠CDM.又∵∠E＋∠CDM＝90°，∴∠A＝180°－2(90°－∠E)．∴∠A＝2∠E，即∠E＝eq\f(1,2)∠A.

第2课时含30°角的直角三角形的性质及其应用基础题知识点1在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝10，则AB的长度为(D)A．2 B．3 C．4 D．52．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，最短边BC＝4cm，则最长边AB的长是(D)A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm3．(2018·邵阳武冈市期末)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4cm，点D为AB的中点，则CD＝(B)A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，其周长为3＋3eq\r(3)，AC＝3，求BC的长．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC.∵AB＋BC＋AC＝3eq\r(3)＋3，AC＝3，∴2BC＋BC＋3＝3eq\r(3)＋3，即3BC＝3eq\r(3).∴BC＝eq\r(3).知识点2含30°角的直角三角形的性质的应用5．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(B)A.eq\f(8,3)eq\r(3)m B．4m C．4eq\r(3)m D．8m6．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4m处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为12m.7．(教材P5例3变式)如图，为了躲避海盗，一轮船一直由西向东航行，早上8点，在A处测得小岛P的方向是北偏东75°，以15海里/h的速度继续向东航行，10点到达B处，并测得小岛P的方向是北偏东60°.若小岛周围25海里内有暗礁，问该轮船是否能一直向东航行？解：过点P作PD⊥AB，垂足为D.∵∠PBD＝90°－60°＝30°，且∠PBD＝∠PAB＋∠APB，∠PAB＝90°－75°＝15°，∴∠PAB＝∠APB.∴BP＝AB＝15×2＝30(海里)．∵在Rt△BPD中，∠PBD＝30°，∴PD＝eq\f(1,2)BP＝15海里＜25海里．∴该轮船不能一直向东航行．中档题8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(D)A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．79．等腰三角形的顶角是一个底角的4倍，如果腰长为10cm，那么底边上的高为(B)A．10cm B．5cm C．6cm D．8cm10．(教材P8习题T6变式)如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.若BE＝2，则AE的长为(B)A.eq\r(3) B．1 C.eq\r(2) D．211．等腰三角形一腰上的高与腰之比为1∶2，则等腰三角形顶角的度数为(C)A．30° B．60°或120° C．30°或150° D．150°12．(教材P8习题T8变式)如图，上午8时，一艘轮船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°，问以同样的速度继续前行，则上午11时轮船与灯塔C距离最近．13．(2017·常德)如图，已知Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是0＜CD≤5．14．如图，AB＝AC＝BC＝BD，E是AB的中点，求证：DC＝2CE.证明：∵AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形．∴∠ABC＝60°.∵E是AB的中点，∴CE⊥AB.∵BC＝BD，∴∠D＝∠BCD.又∵∠ABC＝∠D＋∠BCD＝60°，∴∠D＝30°.∴在Rt△DCE中，DC＝2CE.15．(2018·邵阳模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB∶EA的值．解：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，∴∠BAD＝60°，AD⊥BC.∴∠B＝90°－60°＝30°.∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°－60°＝30°.设EA＝x，在Rt△ADE中，AD＝2EA＝2x，在Rt△ABD中，AB＝2AD＝2·2x＝4x，∴EB＝AB－EA＝4x－x＝3x.∴EB∶EA＝3x∶x＝3.综合题16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AC，CD＝2，BD＝1，求∠C的度数．解：取CD的中点E，连接AE.∵AD⊥AC，∴∠CAD＝90°.∵E是CD的中点，CD＝2，∴AE＝eq\f(1,2)CD＝DE＝CE＝eq\f(1,2)×2＝1.∵BD＝1，∴BE＝CD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD(SAS)．∴AD＝AE＝1＝eq\f(1,2)CD.又∵∠CAD＝90°，∴∠C＝30°.

1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时勾股定理基础题知识点勾股定理1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为(C)A．26 B．18 C．20 D．212．已知一个三角形三个内角的度数比是1∶2∶1，则它的三条边的比是(A)A．1∶eq\r(2)∶1 B．1∶2∶1 C．1∶eq\r(2)∶eq\r(3) D．1∶4∶13．如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是(D)A．2.5 B．2eq\r(2) C.eq\r(3) D.eq\r(5)4．(2018·娄底娄星区期末)如图，字母M所代表的正方形的面积是(C)A．4 B．5 C．16 D．345．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(A)A．5 B．6 C．7 D．256．(2017·常德澧县期中)如图，有一张直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为(A)A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm7．(2017·岳阳君山区期末)Rt△ABC中，AB＝AC＝3，那么BC＝3eq\r(2)．8．(2018·邵阳武冈市期中改编)等腰三角形腰长为13，底边长为10，则它底边上的高为12．9．(教材P11练习变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A，∠B，∠C的对应边分别为a，b，c.(1)已知c＝25，a＝20，求b；(2)已知a＝6eq\r(2)，b＝2eq\r(6)，求c；(3)已知a∶b＝1∶2，且c＝10，求a，b.解：(1)∵∠C＝90°，且c＝25，a＝20，∴b＝eq\r(c2－a2)＝15.(2)∵∠C＝90°，且a＝6eq\r(2)，b＝2eq\r(6)，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝4eq\r(6).(3)∵a∶b＝1∶2，∴设a＝x，则b＝2x.∵∠C＝90°，c＝10，∴a2＋b2＝c2，即x2＋(2x)2＝102.解得x＝2eq\r(5).∴a＝2eq\r(5)，b＝4eq\r(5).易错点直角边不确定时漏解10．一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是13或eq\r(119)．中档题11．(2017·贵港港南区期末)直角三角形斜边上的中线长是6.5，一条直角边是5，则另一直角边长等于(B)A．13 B．12 C．10 D．512．如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板的最大边的长为(D)A．3cm B．6cm C．3eq\r(2)cm D．6eq\r(2)cm13．如图，在直线l上依次摆放着三个正方形，已知中间斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和为(A)A．6 B．5 C.eq\r(6) D．3614．(教材P16习题T3变式)如图，∠B＝∠ACD＝90°，BC＝3，AB＝4，CD＝12，则AD＝13．15．(2018·邵阳模拟)如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则a＋b的值是5．提示：根据勾股定理可得a2＋b2＝13，四个直角三角形的面积是：eq\f(1,2)ab×4＝13－1＝12，即2ab＝12.则(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝25.所以a＋b＝5(负值舍去)．16．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC于D，CD＝2，求BC的长．解：∵AC＝10，CD＝2，∴AD＝AC－CD＝10－2＝8.∴在Rt△ADB中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(102－82)＝6.在Rt△BDC中，BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).综合题17．为了向建国六十九周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20cm，宽AB＝16cm的长方形纸片ABCD；②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处．请你根据①②步骤：计算EC，FC的长．解：∵△ADE与△AFE关于AE对称，∴△ADE≌△AFE.∴DE＝FE，AD＝AF.∵四边形ABCD是长方形，∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠C＝90°.∵BC＝20cm，AB＝16cm，∴CD＝16cm，AD＝AF＝20cm.在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝eq\r(AF2－AB2)＝12cm.∴CF＝20－12＝8(cm)．设CE＝xcm，则DE＝EF＝(16－x)cm.在Rt△CEF中，由勾股定理，得(16－x)2＝64＋x2.解得x＝6.∴EC＝6cm.

第2课时勾股定理的实际应用基础题知识点1直接利用勾股定理求解1．(2017·贵港港南区期中)如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是(A)A．12米 B．13米 C．14米 D．15米2．两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距(A)A．100cm B．50cm C．140cm D．80cm3．有一块边长为24m的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”．请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是(D)A．3 B．4 C．5 D．64．如图，要从电线杆离地面的C处向地面A处拉一条长10m的电缆，测得∠CAB＝60°，则电线杆的高度BC是5eq\r(3)m.5．(2017·岳阳云溪区期中)如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，倒下树尖部分与树根距离为4m，这棵大树原来的高度为8m.6．如图，有两棵树，一棵高12m，另一棵高6m，两树相距8m．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行10m.7．(2018·湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折高者几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长．若设AC＝x，则可列方程为x2＋32＝(10－x)2．8．如图，一辆小汽车在一条东西走向的城市公路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路边的车速检测仪的正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪的距离为50m，问这辆小汽车是否超速了？(中华人民共和国交通管理条例规定：小汽车在城市公路上行驶时的速度不得超过70km/h)解：小汽车超速了．理由：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m，根据勾股定理得BC＝eq\r(AB2－AC2)＝40m.小汽车的速度是40÷2＝20(m/s)＝72(km/h)．而规定速度为70km/h，72>70，∴小汽车超速了．知识点2利用勾股定理列方程求解9．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为(A)A．2m B．2.5m C．2.25m D．3m10．(教材P12“动脑筋”变式)如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，开始时点B到墙角C的距离为0.7m．若梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离相等，则下滑的距离是1.7m.11．如图，在一棵树的10m高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20m的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？解：设BD＝xm，则AD＝(10＋x)m，CD＝(30－x)m，由题意得(30－x)2－(x＋10)2＝202.解得x＝5.10＋x＝15.答：这棵树高15m.中档题12．(2018·长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为(A)A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米13．(2017·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左侧墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，那么小巷的宽度为(C)A．0.7m B．1.5m C．2.2m D．2.4m14．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为25dm，3dm，3dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是eq\r(949)__dm．(结果保留根号)15．为了丰富居民的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB＝25km，CA＝15km，DB＝10km，试问：图书室E应该建在距点A多少千米处，才能使它到两所学校的距离相等？解：设AE＝xkm，则BE＝(25－x)km.在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE2＝AE2＋AC2＝x2＋152.同理可得DE2＝(25－x)2＋102.∵CE＝DE，∴x2＋152＝(25－x)2＋102.解得x＝10.答：图书室E应该建在距A点10km处，才能使它到两所学校的距离相等．16．如图，小强在江南岸选定建筑物A，并在江北岸的B处观察，此时，视线与江岸BE所成的夹角是30°，小强沿江岸BE向东走了500m到C处，再观察A，此时视线AC与江岸所成的夹角∠ACE＝60°.根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程(结果可保留根号)；若不能，请说明理由．解：能．过点A作BE的垂线，垂足为D.∵∠CBA＝30°，∠ECA＝60°，∴∠CAB＝30°.∴CA＝CB＝500m.在Rt△ACD中，∠ECA＝60°，∴∠CAD＝30°.∴CD＝eq\f(1,2)CA＝250m.由勾股定理，得AD2＋2502＝5002.解得AD＝250eq\r(3).答：江宽为250eq\r(3)m.综合题17．(教材P13练习T1变式)(2017·娄底)“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60km/h，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200m，此车超速了吗？请说明理由．(参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)解：此车没有超速．理由：过点C作CH⊥MN，垂足为H.∵∠CBN＝60°，∴∠BCH＝30°.∴BH＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×200＝100(m)．∴CH＝eq\r(BC2－BH2)＝eq\r(2002－1002)＝100eq\r(3)(m)．∵∠CAN＝45°，∴AH＝CH＝100eq\r(3)m.∴AB＝100eq\r(3)－100≈73(m)．eq\f(73,5)＝14.6(m/s)＝52.56(km/h)．∵60>52.56，∴此车没有超速．

第3课时勾股定理的逆定理基础题知识点勾股定理的逆定理1．下列各组数中不是勾股数的是(B)A．3，4，5 B．4，5，6 C．15，20，25 D．7，24，252．(2018·邵阳期末)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是(D)A．5，12，13 B．3，4，5 C．6，8，10 D．2，3，43．已知三角形的三边长之比为1∶1∶eq\r(2)，则此三角形一定是(D)A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．如图，正方形小方格边长为1，则网格中的△ABC是(A)A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对5．三角形三边长分别为4，8，4eq\r(3)，则该三角形最小边对应的角与最大边对应的角依次是(B)A．30°，60° B．30°，90° C．60°，90° D．45°，90°6．(2017·益阳)如图，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD是AB边上的中线，则CD＝6.5．7．已知一个三角形的三边长分别为12，16，20，则这个三角形的面积是96．8．已知一个三角形的三边长分别为n＋1，n＋2，n＋3，则当n＝2时，这个三角形是直角三角形．9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个角是直角？(1)a＝10，b＝26，c＝24；(2)a＝5，b＝7，c＝9；(3)a＝2，b＝eq\r(3)，c＝eq\r(7).解：(1)∵a＝10，b＝26，c＝24，∴a2＝100，b2＝676，c2＝576.∵100＋576＝676，即a2＋c2＝b2，∴此三角形是直角三角形，∠B是直角．(2)∵a＝5，b＝7，c＝9，∴a2＝25，b2＝49，c2＝81.∵25＋49＝74≠81，∴此三角形不是直角三角形．(3)∵a＝2，b＝eq\r(3)，c＝eq\r(7)，∴a2＝4，b2＝3，c2＝7.∵4＋3＝7，即a2＋b2＝c2，∴此三角形是直角三角形，∠C是直角．10．(2018·邵阳武冈市期中)若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c满足等式(a－5)2＋(b－12)2＋|c－13|＝0，求△ABC的面积．解：∵(a－5)2＋(b－12)2＋|c－13|＝0，∴a－5＝0，b－12＝0，c－13＝0.∴a＝5，b＝12，c＝13.∵52＋122＝132，∴△ABC是直角三角形．∴S△ABC＝eq\f(1,2)×5×12＝30.11．如图所示是一个零件的形状示意图．按规定这个零件中的AD与CD必须互相垂直，工人师傅通过测量得到A到C的距离是10cm，AD＝8cm，CD＝6cm.问这个零件是否合格？解：合格．连接AC.∵AD2＋CD2＝82＋62＝102＝AC2，根据勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°，∴零件合格．中档题12．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(B)A．CD，EF，GH B．AB，EF，GH C．AB，CD，EF D．GH，AB，CD13．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为(C)A．90° B．60° C．45° D．30°14．已知两条线段的长为3cm和2cm，当第三条线段的长为eq\r(5)或eq\r(13)cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．15．一根30m长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7m，比较长边短1m，试判断这个三角形的形状．解：设中间长的边长为xm，较长边为(x＋1)m，较短边为(x－7)m.由题意，得x＋x＋1＋x－7＝30.解得x＝12.则x＋1＝13，x－7＝5.∵52＋122＝132，∴这个三角形为直角三角形．16．(教材P15例4变式)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5.(1)求△ABC的周长；(2)判断△ABC是否是直角三角形，并说明理由．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得AB2＝AD2＋BD2，AC2＝AD2＋CD2.∵AD＝12，BD＝16，CD＝5，∴AB＝20，AC＝13.∴C△ABC＝AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BD＋DC＝20＋13＋16＋5＝54.(2)△ABC不是直角三角形．理由：∵AB＝20，AC＝13，BC＝21，∴AB2＋AC2≠BC2.∴△ABC不是直角三角形．17．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，BC＝3，AB＝4，AD＝12，CD＝13.求四边形ABCD的面积．解：连接AC.∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，AB＝4，∴AC＝eq\r(BC2＋AB2)＝eq\r(32＋42)＝5.在△ACD中，∵AC2＋AD2＝52＋122＝132＝CD2，∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(1,2)×3×4＋eq\f(1,2)×5×12＝36.综合题18．如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B按顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD＝4，BD＝3，CD＝5.(1)判断△DEC的形状，并说明理由；(2)求∠ADB的度数．解：(1)△DEC是直角三角形．理由：根据旋转的性质，得AD＝EC＝4，BD＝BE＝3，AB＝BC，∠DBE＝∠ABC＝60°，∠ADB＝∠BEC.∴△ABC和△DBE均为等边三角形．∴DE＝BD＝3.∵CD＝5，∴DE2＋EC2＝32＋42＝52＝CD2.故△DEC为直角三角形．(2)由(1)知，△DEC为直角三角形，且∠DEC＝90°.又∵△BDE为等边三角形，∴∠BED＝60°.∴∠BEC＝90°＋60°＝150°.∴∠ADB＝150°.

周测(1.1～1.2)(时间：40分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，CD是AB边上的中线，则CD的长是(B)A．1 B．2 C．4 D．82．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是(B)A．3，5，6 B．1，1，eq\r(2) C．5，8，11 D．5，12，153．如图，直线l1∥l2，等腰Rt△ABC的两个顶点A，B分别落在直线l1，l2上，∠ACB＝90°.若∠1＝15°，则∠2的度数是(B)A．35° B．30° C．25° D．20°4．若△ABC的两边长为4和5，则能使△ABC是直角三角形的第三边的平方是(D)A．9 B．41 C．3 D．9或415．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且AB＝6，则EC的长为(C)A．3 B．4.5 C．1.5 D．7.56．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CM分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中错误的是(D)A．∠ACD＝∠B B．∠ACM＝∠BCD C．∠ACD＝∠BCM D．∠MCD＝∠ACD7．如图所示的是一扇高为2m，宽为1.5m的长方形门框，光头强有一些薄木板要通过门框搬进屋内，在不能破坏门框，也不能锯短木板的情况下，能通过门框的木板最大的宽度为(C)A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是(A)A．2eq\r(3) B．2 C．4eq\r(3) D．49．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm.现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于(B)A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm10．自动门开启的联动装置如图所示，∠AOB为直角，滑竿AB为定长100cm，端点A，B可分别在OA，OB上滑动，当滑竿AB的位置如图所示时，OA＝80cm.若端点A向上滑动10cm，则端点B滑动的距离(A)A．大于10cm B．等于10cm C．小于10cm D．不能确定二、填空题(每小题4分，共24分)11．如果一个三角形的三边长分别为3，4，5，那么其面积为6．12．如图，AC⊥BC于点C，DE⊥BE于点E，BC平分∠ABE，∠BDE＝58°，则∠CAB＝58°．13．若直角三角形的两个锐角的比是2∶1，斜边长为8，则最短的直角边长为4．14．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点E为AB的中点，AD＝6，DE＝5，则线段BD的长等于8．15．将一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是7≤h≤16．16．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于点E，过E作EF∥BC交∠ACD的平分线于点F，EF交AC于M.若CM＝5，则CE2＋CF2＝100．三、解答题(共46分)17．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE.求证：EC∥AB.证明：∵CD是AB边上的中线，且∠ACB＝90°，∴CD＝AD.∴∠CAD＝∠ACD.又∵△AEC是由△ADC沿AC边所在的直线折叠而成的，∴∠ECA＝∠ACD.∴∠ECA＝∠CAD.∴EC∥AB.18．(8分)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm.求：(1)∠DAC的度数；(2)BC的长．解：(1)∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝30°.∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°.∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°.∴∠DAC＝120°－90°＝30°.(2)∵AD＝4cm，∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝8cm.∵∠DAC＝30°＝∠C，∴DC＝AD＝4cm.∴BC＝BD＋DC＝12cm.19．(8分)在如图所示的4×4的方格中，每个小方格的边长都为1.试在三个方格中，分别画出满足下列条件的三个直角三角形，使各顶点都在方格的格点上．(1)三边都是整数；(2)斜边为eq\r(10)；(3)直角边为eq\r(5)的等腰直角三角形．解：(1)如图1.(2)如图2.(3)如图3.20．(10分)如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B50m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m，该河的宽度BC为多少米？解：根据题意可知AB＝50m，AC＝(BC＋10)m.设BC＝x，由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，即(x＋10)2＝502＋x2.解得x＝120.答：该河的宽度BC为120m.21．(12分)在一次“探究性学习”课中，老师设计如下数表：n23456…a22－132－142－152－162－1…b4681012…c22＋132＋142＋152＋162＋1…(1)用含自然数n(n＞1)的代数式表示a，b，c，则a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1；(2)猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．解：以a，b，c为边的三角形是直角三角形．证明：∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝(n2＋1)2＝c2，∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．

1．3直角三角形全等的判定基础题知识点1直角三角形全等的判定1．(2017·岳阳云溪区六校联考期中)如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，且PD＝PE，则△APD≌△APE的理由是(D)A．SAS B．AAS C．SSS D．HL2．(2017·常德澧县期中)不能使两个直角三角形全等的条件是(D)A．一条直角边及其对角对应相等 B．斜边和一条直角边对应相等C．斜边和一锐角对应相等 D．两个锐角对应相等3．如图，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，下列结论中不成立的是(C)A．∠DAE＝∠CBE B．CE＝DE C．△DAE与△CBE不一定全等 D．∠1＝∠24．(2017·娄底)如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是答案不唯一，如：AB＝D C．5．如图，AB＝CD，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F.若BE＝CF，则△ABE≌△DCF，其依据是HL.6．(教材P20例1变式)如图，BE，CD为△ABC的高，且BE＝CD，BE，CD交于点P.若BD＝2，则CE＝2．7．如图，AB＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE＝BF，∠D＝60°，则∠A＝30°．8．(2018·娄底涟源市改编)如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，求∠2的度数．解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝CD，,AC＝AC，))∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)．∴∠2＝∠ACB＝90°－∠1＝50°.9．如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2.求证：△ADE≌△BEC.证明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE.∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝90°.∴△ADE和△BEC是直角三角形．在Rt△ADE和Rt△BEC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝BE，,DE＝CE，))∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)．知识点2作直角三角形10．已知一条斜边和一条直角边，求作直角三角形，作图的依据是HL.11．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，请利用直角三角形全等的判定方法HL，求作Rt△DEF，使Rt△DEF≌Rt△ABC.解：作法：(1)作∠MFN＝90°；(2)在FM上截取FD，使FD＝CA；(3)以点D为圆心，以AB的长为半径画弧，交FN于点E，连接DE.则△DEF为所求作的直角三角形．中档题12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，DE⊥BC，AC＝6，EC＝6，∠ACB＝60°，则∠ACD的度数为(B)A．45° B．30° C．20° D．15°13．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝7．14．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等．15．用尺规作一个直角三角形，使其中一条边长为a，这条边所对的角为30°.解：已知：线段a，求作：Rt△ABC，使BC＝a，∠ACB＝90°，∠A＝30°.作法：(1)作∠MCN＝90°；(2)在CN上截取CB，使CB＝a；(3)以B为圆心，以2a为半径画弧，交CM于点A，连接AB.则△ABC为所求作的直角三角形．16．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：BE＝BF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,AE＝CF，))∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．∴BE＝BF.(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°.∵∠CAE＝30°，∴∠BAE＝45°－30°＝15°.∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BAE＝∠BCF＝15°.∴∠ACF＝∠BCF＋∠BCA＝15°＋45°＝60°.综合题17．(教材P21习题T6变式)如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么CE＝DF吗？解：CE＝DF.理由：在Rt△ABC和Rt△BAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝AD，,AB＝BA，))∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．∴AC＝BD，∠CAB＝∠DBA.在△ACE和△BDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CAB＝∠DBA，,∠AEC＝∠BFD，,AC＝BD，))∴△ACE≌△BDF(AAS)．∴CE＝DF.

1.4角平分线的性质第1课时角平分线的性质与判定基础题知识点1角平分线的性质1．(2018·娄底涟源市期末)如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC.若CD＝6，则点D到AB的距离是(D)A．9 B．8 C．7 D．62．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(B)A．PC＝PD B．∠CPD＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD3．如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D.若BC＝5cm，BD＝3cm，则点D到AB的距离为(C)A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定4．(2017·邵阳期中)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D.如果AE＋DE＝3cm，那么AC＝3__cm．5．(2017·常德澧县期中)如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8.若S△ABC＝28，则DE＝4．6．如图，已知CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD，CE交于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.证明：∵AO平分∠BAC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，∴OE＝OD.在△OBE和△OCD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EOB＝∠DOC，,OE＝OD，,∠BEO＝∠CDO，))∴△OBE≌△OCD(ASA)．∴OB＝OC.知识点2角平分线的判定7．如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，∠BAD＝25°，则∠CAD＝(B)A．20° B．25° C．30° D．50°8．如图，在CD上找一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是(D)A．线段CD的中点 B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点 D．CD与∠AOB的平分线的交点9．如图是一个风筝骨架．为使风筝平衡，须使∠AOP＝∠BOP.已知PC⊥OA，PD⊥OB，那么PC和PD应满足PC＝PD，才能保证OP为∠AOB的平分线．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DF⊥AB，垂足为F，DE＝BD，CE＝FB.求证：点D在∠CAB的平分线上．证明：∵∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠C＝∠DFB＝90°.在Rt△CED和Rt△FBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DE＝DB，,CE＝FB，))∴Rt△CED≌Rt△FBD(HL)．∴DC＝DF.又∵DF⊥AB，DC⊥AC，∴点D在∠CAB的平分线上．中档题11．(2018·常德)如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为(D)A．6 B．5 C．4 D．3eq\r(3)12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝2，BD是∠ABC的平分线，设△ABD，△BCD的面积分别为S1，S2，则S1∶S2等于(A)A．2∶1 B.eq\r(2)∶1 C．3∶2 D．2∶eq\r(3)13．如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，则△ABC的面积是42．14．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8，对角线BD⊥CD，P是BC边上一动点，连接PD.若∠ADB＝∠C，则PD长的最小值为8．15．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为D，且PD＝2，求PC的长．解：过点P作PE⊥AO，垂足为E.∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE＝PD＝2.∵CP∥OB，∠AOB＝30°，∴∠ECP＝∠AOB＝30°.在Rt△ECP中，PC＝2PE＝2×2＝4.16．(教材P24练习T2变式)如图，△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上一动点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则当D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC，请说明理由．解：当D移动到BC的中点时，AD恰好平分∠BAC.理由：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.又∵∠B＝∠C，∴△DEB≌△DFC(AAS)．∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.综合题17．如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．解：BF＝CG.证明：连接EB，EC.∵AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF＝EG.∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，∴EB＝EC.∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL)．∴BF＝CG.

第2课时角平分线的性质与判定的运用基础题知识点角平分线的性质与判定的运用1．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到AB，AC，BC的距离相等，凉亭的位置应选在(D)A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点2．如图，P是∠AOB的平分线OC上一点(不与O重合)，过P分别向角的两边作垂线PD，PE，垂足是D，E，连接DE，那么图中全等的直角三角形共有(A)A．3对 B．2对 C．1对 D．没有3．如图，若AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE＝3cm，则AB与CD之间的距离为(B)A．3cm B．6cm C．9cm D．无法确定4．如图，已知BD是∠ABC的平分线，CD是∠ACB的外角平分线，过点D作BC，AC和AB的垂线DE，DF和DG，垂足分别为E，F，G，则DE，DF，DG的关系是DE＝DF＝DG.5．如图，AC⊥OD，AE⊥OF，BD⊥OD，BF⊥OF，AC＝AE，求证：BD＝BF.证明：∵AC⊥OD，AE⊥OF，AC＝AE，∴OA平分∠DOF.∵BD⊥OD，BF⊥OF，∴BD＝BF.6．如图，在△ABC中，若AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB，AC于E，F两点．求证：AD⊥EF.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°.∵∠AED＋∠EAD＋∠EDA＝180°，∠FAD＋∠AFD＋∠ADF＝180°，∴∠EDA＝∠FDA.又∵DG＝DG，∴△EGD≌△FGD(SAS)．∴∠EGD＝∠FGD.又∵∠EGD＋∠FGD＝180°，∴∠EGD＝∠FGD＝90°.∴AD⊥EF.7．如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，求证：PM＝PN.证明：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD.在△ABD和△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABD＝∠CBD，,BD＝BD，))∴△ABD≌△CBD(SAS)．∴∠ADB＝∠CDB.∴∠ADP＝∠CDP.∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.中档题8．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E.若点P使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P(D)A．有且只有1个 B．有且只有2个C．组成∠E的平分线 D．组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)9．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中(B)A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确10．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD.若AB＝15，AD＝7，BC＝5，则CE的长是(B)A．4 B．3 C.eq\r(3) D.eq\r(7)11．(2018·张家界慈利县期中)如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有(D)A．1处 B．2处 C．3处 D．4处12．已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝50°，则∠BOC＝115°．13．如图，某校八年级学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路AB，AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，请你找出点P.解：作法：(1)作出∠BAC的平分线AD；(2)连接MN，作MN的垂直平分线EF交AD于点P.∴点P就是所求作的点．14．如图所示，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF.证明：连接AD.在△ABD和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,BD＝CD，,AD＝AD，))∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠BAD＝∠CAD.∴AD是∠EAF的平分线．又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.综合题15．(2017·常德澧县期中)如图，四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC.求证：(1)OC平分∠ACD；(2)OA⊥OC；(3)AB＋CD＝AC.证明：(1)过点O作OE⊥AC于E.∵∠B＝90°，OA平分∠BAC，∴OB＝OE.∵点O为BD的中点，∴OB＝OD.∴OE＝OD.∴OC平分∠ACD.(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AO＝AO，,OB＝OE，))∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)．∴∠AOB＝∠AOE.同理，∠COD＝∠COE.∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝eq\f(1,2)×180°＝90°.∴OA⊥OC.(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE.同理，CD＝CE.∵AC＝AE＋CE，∴AB＋CD＝AC.

章末复习(一)直角三角形分点突破知识点1直角三角形的性质和判定1．(2017·邵阳期中)下列说法正确的有(D)①如果∠A＋∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，那么△ABC是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4，4，6，那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的三角形是直角三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为(D)A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km3．(2017·邵阳邵东县期中)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，AB＝a，则BC等于(A)A.eq\f(a,2) B.eq\f(a,3) C.eq\f(a,4) D．以上结果都不对知识点2勾股定理及其逆定理4．(2017·邵阳期中)以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(A)A.eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(5) B.eq\r(3)，eq\r(4)，eq\r(5) C．32，42，52 D．1，2，35．若等腰三角形的腰长为10，底边长为16，则此三角形的面积是(D)A．160 B．80 C．96 D．486．如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB，BC两条路可到达公路，经测量BC＝6km，BA＝8km，AC＝10km，现需修建一条公路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为4.8km.知识点3直角三角形全等的判定7．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“HL”．8．(2017·邵阳邵东县期中)如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O.(1)求证：△ABC≌△DCB；(2)△OBC是何种三角形，证明你的结论．解：(1)证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝DB，,BC＝CB，))∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)．(2)△OBC是等腰三角形．证明：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB＝∠DBC.∴OB＝OC.∴△OBC是等腰三角形．知识点4角平分线的性质和判定9．(2018·郴州)如图，∠AOB＝60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于eq\f(1,2)CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM＝6，则M点到OB的距离为(C)A．6 B．2 C．3 D．3eq\r(3)10．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF.若∠DBC＝50°，则∠ABC＝100°．11．如图，∠ABC＝60°，点D在AC上，BD＝16，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE＝DF，求：(1)∠CBD的度数；(2)DF的长度．解：(1)∵DE⊥BC，DF⊥AB，且DE＝DF，∴BD平分∠ABC.∵∠ABC＝60°，∴∠CBD＝30°.(2)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°.∵BD＝16，∴DF＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)×16＝8.易错题集训12．在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，则BC的长为(C)A．5 B.eq\r(7) C．5或eq\r(7) D．413．一直角三角形的三边分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为(D)A．13 B．5 C．4 D．13或514．在△ABC中，AB＝10，AC＝2eq\r(10)，BC边上的高AD＝6，则BC等于(C)A．10 B．8 C．6或10 D．8或1015．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，△ABC的面积为10，则BC＝2eq\r(5)或4eq\r(5)．常考题型演练16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BDC＝30°，AD＝2BC，则∠A的度数是(A)A．15° B．20° C．16° D．18°17．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点，AC＝10，BD＝8，则MN为(A)A．3 B．4 C．5 D．618．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，EP∥OA，交OB于点E，且EP＝6.若点F是OP的中点，则CF的长是(D)A．6 B．3eq\r(2) C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)19．(2017·常德澧县期中)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证：△ACD≌△AED；(2)若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长．解：(1)证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°.在Rt△ACD和Rt△AED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AD，,CD＝ED，))∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．(2)∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.∵∠B＝30°，DC＝DE＝1，∴BD＝2DE＝2.20．已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，点B，D分别在AN，AM上．(1)如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，请你探索线段AD，AB，AC之间的数量关系，并加以证明；(2)如图2，若∠ABC＋∠ADC＝180°，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．解：(1)AD，AB，AC之间的数量关系是AD＋AB＝AC.证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，∴∠CAD＝∠CAB＝60°.又∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ACD＝∠ACB＝30°.∴AD＝AB＝eq\f(1,2)AC.∴AD＋AB＝AC.(2)仍成立．证明：过点C分别作AM，AN的垂线，垂足分别为E，F.∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠ABC.又∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB(AAS)．∴ED＝FB.∴AD＋AB＝AE－ED＋AF＋FB＝AE＋AF.由(1)知AE＋AF＝AC，∴AD＋AB＝AC.

单元测试(一)直角三角形(时间：40分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．在下列选项中，以线段a，b，c的长为边，能构成直角三角形的是(D)A．a＝3，b＝4，c＝6 B．a＝5，b＝6，c＝7C．a＝6，b＝8，c＝9 D．a＝7，b＝24，c＝252．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中与∠ABD互余的角有(A)A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是(C)A．形状相同 B．周长相等 C．面积相等 D．全等4．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件是(B)A．∠B