考研专业课课件-赫尔《期货、期权及其他衍生产品》-课件-第33章-能源与商品衍生产品

《期权、期货及其他衍生产品》第33章

能源与商品衍生产品1．介绍商品衍生产品；

2．考虑气候与保险衍生产品。

33．1农产品

1．农产品的价格是由市场供需决定的。

美国农业部定期公布贮备与生产的状况。像棉花与小麦这样的农产品，库存-使用比例（stocks-to-useratio），即年终库存量与该年度使用量的比例。一般情况下，这个比例是在20％～40％之间，其对价格波动率有很大影响：如果关于某个商品的这项比例较低，那么商品价格对供应的变化将会很敏感，因此波动率将会上升。

2．在农产品价格上有均值回归的性质。

当价格下跌时，农场主将会发现生产这种产品不太合算，使得供应下降会对价格产生上涨的压力。当某种农产品价格上升时，农场主会将更多的资源用来生产这种产品，从而由于供应的增加而对产品价格产生下降的压力。

3．农产品价格具有季节性。

气候是决定大多数农产品的关键因素。农作物商品价格的波动率在收获季节之前往往是最高的，而当产量确定后，波动率就会下降。在作物生长季节，随气候的变化，农产品价格所服从的过程往往显示跳跃性。

33．2金属

金属，包括黄金、白银、铂金、钯、铜、

锡、钎、锌、镍和铝。

1．金属的价格不受季节与气候的影响。

2．储存水平、货币汇率波动、不同生产过程中被使用的趋势、所发现这种金属的新产源、勘探技术、开采方法、地缘政治、企业联合以及环保政策等都会对金属价格有影响。

3．一般不假定作为投资资产的金属价格服从均值回归过程，因为均值回归过程将会给投资者一种套利的机会。

作为消费资产的金属，可以假定其价格具有均值回归性质。当一种金属的价格上涨时，避免使用这种金属，会对价格产生下降的压力。当价格下跌时，尽量使用这种金属，会对价格产生上涨的压力。

33．3能源产品

能源产品是最重要也是交易最活跃的商品之一，比如原油、天然气和电能，其价格服从均值回归过程。当一种资源的价格上涨时，其消费量很可能会下降，从而对价格产生下跌的压力；当一种资源的价格下跌时，其消费量很可能会上升,从而对价格产生上涨的压力。

33．3．1原油

原油市场是世界上最大的商品市场，全球需求量大约为每天8000万桶。由于比重与含硫量的不同，原油分成许多等级。对原油定价的两种重要基准是布兰特原油（Brentcrudeoil，来自北海）和得州轻油（WestTexasIntermediate，WTI）。

场外市场合约

在场外市场上，几乎所有以股票或股指作为标的资产衍生产品的形式都有相应的以原油价格作为标的资产的衍生产品。互换、远期合约、期权都很普遍，既有现金交割又有实物交割（即交付原油）。

交易所合约

交易所里的合约也很流行。CME集团和洲际交易所（Intercontinental-Exchange，ICE）交易原油期货和原油期货期权合约。有些期货合约以现金交割，其他合约以实物交割。

例如，ICE交易的布兰特原油期货可以以现

金交割，而CME集团交易的轻质低硫（lightsweet）原油期货则需要以实物交割，一份合约的标的资产是1000桶原油。CME集团交易的成品油合约是民用燃料油和汽油，一份合约需要交付42000加仑。33．3．2天然气

在场外市场上，远期合约、期权以及互换合约都有交易。一种典型的场外市场合约是在一个月内按大致均匀的速度交付指定数量的天然气。通常，天然气卖方负责将天然气通过管道输送到指定的地点。

CME集团交易的天然气合约是交付100亿英国热量单位（Britishthermalunit）的天然气。对未被平仓的合约，在交付月内卖出方需要按大致均匀的速度将天然气输送到路易斯安那州的某个指定的枢纽。ICE在伦敦交易类似的合约。33．3．3电力

目前CME集团交易电力期货合约，场外市场上远期合约、期权以及互换的交易都很活跃。典型的合约（交易所或场外）是指明一方在一个指定的月份内在一个指定的地点按指定的价格接收一定数量兆瓦的电力。

一个5×8的合约，指明的月份内，接收电力的时间是非高峰时间（晚上11点到早上7点），每周5天（星期1到星期5）。

一个5×16的合约，在指明的月份内，接收电力的时间是高峰时间（早上7点到晚上11点），每周5天。

一个7×24的合约，在指明的月份内，接收电力时间是每天昼夜不停。

在期权合约里，或者是日行权,或是月行权。在日行权的情形下，期权持有者可以在一个月内的每一天都选择是否行使期权（提前一天通知）而按指定的行使价格接收指定数量的电力。在月行权的情况下，只是在月初决定是否行使期权，而在整个月内按指定的行使价格接收电力。

摆动期权（swingoption），也称收购付款期权（take-and-payoption）：在这种合约里，期权持有者在一个月内每天按指定价格必须购买的最多与最少数量的电力是预先指定的，而且在整个月内的最多与最少数量也是预先指定的。在行权月内，期权持有者可以改变（或摆动）购买电力的速度，但一般情况下改变的次数是有限制的。

33．4商品价格模型

在传统风险中性世界里商品价格在将来的期望值等于其期货价格。

33．4．1简单过程

假设商品价格增长率的期望仅依赖于时间，而且商品价格的波动率是常数，那么商品价格的风险中性过程为

（33-1）

而且

——期限为t的期货合约价格，

——表示在风险中性世界里的期望。于是

对两边关于时间求导数将会得到【例33-1】假设在2008年7月末，活牛期货价格如下，利用期货价格来估计活牛价格在风险中性世界里的增长率。（单位：美分/磅）2008年8月62.202009年2月63.372008年lO月60.602009年4月64.422008年l2月62.702009年6月64.40用式（33-1）所示的模型，在风险中性世界里活牛价格在2008年10月与12月之间的增长率为

即每两个月为3.4％，按连续复利，年增长率为20.4％。

【例33-2】假设活牛期货价格如例33-1所示。一个养殖决策需要现在投资10万美元,而且在第3个月、第6个月和第9个月后各支出2万美元。投资的效果是在年底能有额外的活牛可以出售。假定了可以销售的额外活牛的不确定性具有零系统风险，可以销售的额外活牛数量与价格之间没有相关性。

分析：不确定性来源主要有两项：能够用于出售的额外活牛磅数和每磅活牛的价格。活牛磅数的期望值是30万，1年后活牛价格的期望值是每磅64.40美分。

假设无风险利率是每年10％，这项投资的价值为（按千美元计）

33．4．2均值回归

大多数商品价格服从均值回归过程，价格有被拉回到中心价值的倾向。在描述商品价格s所服从的风险中性过程时，比式（33-1）更现实的过程是

（33-2）

该过程包含了均值回归的性质，这个过程有时也被写成由伊藤引理可知这与式（33-2）的过程是等价的，其中θ*（t）=θ（t）+σ2／2。

三叉树方法可以用来构造S的树形，并且由此来确定式（33-2）中使得F（t）=的

θ（t）值。建立关于商品价格的3步树型来展示这个构造过程。

假设目前商品价格是20美元，而且1年、2年和3年的期货价格分别是22美元、23美元和24美

元。α=0.1和σ=0.2。首先定义初始值为零，并且服从如下过程的变量X:

dX=-aXdt+σdz（33-3）

构造X的三叉树，树形显示在图33-1中。

图33-1X的树形

注：构造该树是建立即期商品价格S树形的第一步，这里pu,pm和pd是从一个节点向“上”、“中”和“下”移动的概率。变量lnS服从与X同样的过程，只是它具有依赖时间的漂移项。通过变动节点的位置，可以将X的树型转换成关于lnS的树型，所得结果展示在图33-2中。

最初的节点

目前的商品价格20,因此节点的变动是ln20。

假设在1年时间节点上的变动为α1。

X在1年时3个节点上的值是+0.3464，0和

-0.3464。

所以相应的lnS值是0.3464+α1、α1和

α1-0.3464。

因此S的值分别是令S的期望值等于期货价格。这意味着

解得：α1=3.071。

即S在一年时的值分别为30.49、21.56和15.25。

第2年的时间点上

通过到达节点B、C和D的概率来计算到达节点E、F、G、H和I的概率。

到达节点F的概率等于

0.1667×0.6566+0.6666×0.1667=0.2206

同理到达节点E、G、H和I的概率分别是0.0203、0.5183、0.2206和0.0203。

在2年的时间点上，节点变动的数量α2满足解得：α2=3.099。说明S在2年时的值分别为44.35、31.37、22.18、15.69和11.10。

在第3年时，做类似的计算。图33-2展示了所计算出的S树形。

图33-2即期商品价格S的树形

注：pu，pm和pd是从一个节点向“上”、“中”和“下”移动的概率。【例33-3】假如利用图33-2中的树形对即期商品价格上的3年期美式看跌期权定价，执行价格为20，利率为每年3％（连续复利）。在树形上以通常的方式向后计算，得到图33-3，期权的价值是1.48美元。在节点D、H和I上，期权会被提前行使。

图33-3利用图33—2中树形对执行价格为20美元的欧式看跌期权定价33．4．3跳跃

由于受气候相关的需求影响，有些商品的价格，比如像电力和天然气，显示出跳跃的特征。而另外一些商品，尤其是农产品，由于和气候有关的供应影响，价格也往往会显示跳跃。可以在式（33-2）中引入跳跃项，从而即期价格所服从的过程变成了

其中dp——生成百分比跳跃的柏松过程。

一旦跳跃频率与跳跃大小的概率分布被选定后，可以计算在将来时间t由于跳跃所引起的商品价格平均增长幅度。33．4．5原油、天然气、电力的其他模型

1．原油价格模型

如果y表示方便收益率，那么即期价格的比例漂移项为r-y，其中r为短期无风险利率。即期价格的过程为

Gibson和Schwartz将方便收益率作为一个具有均值回归性质的过程

其中k和α为常数，和是相关的维纳过程。为了能够与期货价格达到完全匹配，假定α是时间t的函数。2．天然气与电力价格模型

Eydeland和Geman提出了如下形式的随机波动率模型

其中a，b，c，d和e均为常数，dz2和dz1是相关的维纳过程。在假定b也是随机时，Geman将这种过程用来描述原油的价格。33．5气候衍生产品

1997年场外市场上引进了第一种气候衍生产品。1999年9月，芝加哥商品交易所开始交易气候期货与气候期货上的欧式期权。目前CME为世界各地42个城市提供气候期货与期权，而且也提供在飓风、结霜、降雪上的期货与期权。

定义两个变量：

HDD：升温天数，一天的HDD定义成

HDD=max（0，65-A），一天的HDD是度量在一天内取暖所需要的能源。

CDD：降温天数，一天的CDD定义成

CDD=max（0，A-65），一天的CDD是度量在一天内降温所需要的能源。

A——在当天某个指定的气象站处最高与最低温度的平均（计量单位为华氏度）。例如，如果在一天内（子夜到子夜之间）的最高温度是68华氏度，而最低温度是44华氏度，这时A=56，因此这一天的HDD为9，CDD为0。

场外市场上的典型衍生产品是收益依赖于在一个月内的累积HDD或CDD的远期合约或期权。例如，某衍生产品交易商可能在2011年1月份卖给客户如下形式的期权：期权的标的变量是在芝加哥奥黑尔（0‘Hare）机场气象站2012年2月份的累积HDD，执行价格是700，每一度／天所对应的收益为1万美元。如果实际的累积HDD为820，那么收益将为120万美元。

在期权合约里常常含有收益上限。如上例中收益上限为150万美元，该合约与牛市差价是等价的：客户持有变量HDD上执行价格为700的看涨期权长头寸与执行价格为850的看涨期权短头寸。33．6保险衍生产品

CAT是由保险公司的附属机构发行的债券，其利息比普通债券要高。与高利息相交换的是债券持有人同意提供对超额损失再保险的合约。由债券的条款决定，债券的利息或本金（或两者）可以用来支付赔偿。

比如，一家保险公司希望对加州地震所造成的在3000万～4000万美元之间的损失进行保护,这时保险公司可以发行面值为1000万美元的CAT债券。当由于加州地震对保险公司所造成的损失超过3000万美元时，债券持有人将会损失一部分甚至全部本金。另一种做法是保险公司发行很大数量的债券，使得只有债券的利息受到影响。

33．7气候与保险衍生产品定价

气候与保险衍生产品的特点：

1．产品的收益中没有系统风险，由历史数

据所得到的估计值同样也可以用于风险中性世界里。因此，气候与保险衍生产品可以通过以下方式定价：

·利用历史数据估计收益的期望值；

·按无风险利率对收益的期望值贴现。

2．标的不确定性随时间增长很不明显。

对于股票价格，不确定性的增长大致与时间的平方根成正比。股票价格在4年内的不确定性大致是一年价格不确定性的2倍。对于商品价格，在4年内的不确定性比在1年内的不确定性高很多。对于气候不确定性增长很不明显，某个地点在4年后2月份的HDD比在同一地点1年后2月份的HDD不确定性会稍稍高一些。

考虑对累积HDD上期权的定价

1．搜集50年历史数据，并由此来估计HDD的概率分布，这些数据可以用于吻合对数正态或者其他的概率分布。

2．计算收益的期望值，将其按无风险利率贴现即可得出期权的价值。

3．通过分析历史数据的趋势和考虑气象学家的预测，对分析结果加以改进。

【例33-4】考虑以芝加哥奥黑尔机场气象站的累积HDD做标的资产，期限为2013年2月，执行价格为700的看涨期权，每一度/天支付1万美元。

分析：

1．假设从历史数据估计的HDD服从对数正态分布，均值为710，HDD自然对数的标准差等于0.07。

2．由式（14A-1），收益期望值为

其中假设无风险利率为3％，期权的定价时间是2012年2月份，

期权的价值是250900×e-0．03xl=243400美元

3．调整HDD的概率分布趋向。

假设通过线性回归发现，2月份的HDD以每年0.5的速度下降，因此对2013年2月份的HDD估计只有697。将收益自然对数的标准差保持不变，这样将收益期望值降至180