工程电磁场导论矢量分析

工程电磁场导论矢量分析标量场和矢量场标量场的梯度矢量场的通量与散度矢量场的环量与旋度亥姆霍兹定理电磁场的特殊形式第0章矢量分析下页返回VectorAnalysis正交坐标系-直角坐标系下页上页返回元面积元体积正交坐标系-柱坐标系下页上页返回元面积元体积正交坐标系-球坐标系下页上页返回元面积元体积坐标系间单位矢量的换算投影原则能理解书中第322页表附1-1所列公式之间的关系可参考书籍：BHagSinghGuru,HuseyinR.Hiziroglu，周克定等译.，电磁场与电磁波.北京：机械工业出版社，2000第二章矢量分析（Page10~47）

场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。例如，在直角坐标下：0.1

标量场和矢量场标量场矢量场如温度场、电位场、高度场等；如流速场、电场、涡流场等。ScalarFieldandVectorField下页上页返回其方程为:图0.1.1等高线(1)

标量场--等值线(面)形象描绘场分布的工具——场线思考在某一高度上沿什么方向高度变化最快？下页上页返回三维场二维场图0.1.2矢量线矢量场--矢量线线上每一点处的切线方向都与矢量场在该点的方向相同其方程为：在直角坐标系下：下页上页返回0.2标量场的梯度

GradientofScalarField

设一个标量函数

(x，y，z)，若函数

在点P

可微，则

在点P

沿任意方向

的方向导数为设

式中,,分别是任一方向与x,y,z轴的夹角下页上页返回则有：当，最大——梯度(gradient)——哈密顿算子式中图0.1.3等温线分布梯度的方向为该点最大方向导数的方向。梯度的大小为该点标量函数的最大变化率（增加的方向），即最大方向导数。标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。梯度的意义下页上页返回，例0.2.1试证明在点电荷q产生的静电场中，电位函数的负梯度等于电场强度。例

电位场的梯度图0.2.2电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；指向电位增加的方向。下页上页返回例:设一标量点函数(1)该点函数

在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；描述了空间标量场。试求：(2)求该点函数

沿单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处该方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。[解](1)由梯度定义,可解出待求P点的梯度为(2)

显然，梯度描述了P点处标量点函数

的最大变化率，即系最大方向导数，故，恒成立。0.3

矢量场的通量与散度0.3.1通量(Flux)

矢量E沿有向曲面S的面积分若S

为闭合曲面根据通量的大小判断闭合面中源的性质：FluxandDivergenceofVector

>0

(有正源)<0

(有负源)

=0(无源)图0.3.2矢量场通量的性质

下页上页返回图0.3.1矢量场的通量

0.3.2散度(Divergence)

如果包围点P的闭合面

S

所围区域

V

以任意方式缩小到点P

时：———散度(divergence)下页上页返回散度的意义

在矢量场中，若

•

A=0，称之为有源场，

称为(通量)源密度；若矢量场中处处

•A=0

，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。(无源）

(正源)

(负源)图0.3.3通量的物理意义

下页上页返回0.3.3散度定理(DivergenceTheorem)图0.3.4散度定理

通量密度——高斯公式矢量函数的面积分与体积分的相互转换。下页上页返回0.4

矢量场的环量与旋度0.4.1环量(Circulation)

矢量A

沿空间有向闭合曲线L的线积分——环量

环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。CirculationandRotationofVectorField下页上页返回图0.4.1环量的计算水流沿平行于水管轴线方向流动，

=0，无涡旋运动。例：流速场图0.4.2

流速场流体做涡旋运动，

0，有产生涡旋的源。下页上页返回0.4.2旋度(Rotation)1.环量密度

过点P作一微小曲面

S，它的边界曲线记为

L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当

S

点P

时，存在极限——环量密度环量密度是单位面积上的环量。下页上页返回2.旋度

旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大值；其方向为最大环量密度的方向——旋度(curl)－S

的法线方向它与环量密度的关系为在直角坐标下:下页上页返回3.旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量密度的方向。在矢量场中，若

A=J

0

称之为旋度场（或涡旋场），J

称为旋度源（或涡旋源）。若矢量场处处

A=0，称之为无旋场。下页上页返回4、斯托克斯定理(Stockes’Theorem)矢量函数的线积分与面积分的相互转化。图0.4.3斯托克斯定理——斯托克斯定理下页上页

在电磁场理论中，高斯定理和斯托克斯定理是两个非常重要的公式。返回

0.5

亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：在有限区域V内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋涡源密度场域边界条件（矢量A惟一地确定）电荷密度

电流密度J场域边界条件在电磁场中HymherzeTheorem下页上页返回例

试判断下列各图中矢量场的性质。000000下页上页返回(1)无旋场(irrotationalfield)例如静电场

从而由矢量恒等式

可定义（

—电位函数）

无旋场中，矢量沿场域中任意闭合路径的环量等于零无旋场可以表示为某一标量函数梯度场(2)无散场(无源场、管量场solenoidalfield)例如恒定电流的磁场无源场中穿过场域中任一个矢量管的所有截面的通量都相等无源场存在着矢势（磁矢位）(4)一般的场例如时变电磁场

（3）调和场：散度和旋度都等于零的矢量场调和场位函数满足拉普拉斯方程0.6

特殊形式的电磁场

如果在经过某一轴线(设为z

轴）的一族平行平面上，场F

的分布都相同，即F=f（x，y），则称这个场为平行平面场。1.平行平面场SpecialFormsofElectromagneticField如无限长直导线产生的电场。下页上页返回0

如果在经过某一轴线(设为z

轴)的一族子午面上，场F

的分布都相同，即F=f（r,

），则称这个场为轴对称场。2.轴对称场

如螺线管线圈产生的磁场；有限