病床转弯问题的数学模型

PAGEPAGE1病床转弯问题的数学模型摘要：当病床的长、宽和走廊宽度三者之间满足什么条件时才可把病床平推转过走廊拐角，这是一类生活中比较常见的问题。本文从分析我们通常用来解决这类问题的策略入手，建立起三个逐步改进的数学模型，给出了与各种搬运策略下可以把病床平推转过走廊拐角的充分必要条件，圆满地解决了这类问题。一、问题的引入如图-1所示，在医院中经常遇到这样的问题：需要把病床平推转过走廊的拐角。在搬运笨重的家具和在包装箱内设备等情况下常常会遇到类似的问题。如果我们能根据有关尺寸预先判断出能否搬运过走廊拐角，在可以搬运过走廊拐角时能进一步确定应当采用什麽搬运策略，那么我们就可以省去许多不必要的麻烦，避免出现费了很大的周折却最终发现无法搬运过走廊拐角的情况。这类问题实际上可以通过分析走廊宽度为、病床长度、病床宽度三者之间的关系来解决，即归结为如下形式的问题：已知走廊宽度为，病床长度和宽度分别为和，当、、满足是么关系时可以把病床平推转过走廊的拐角。二、模型一这个问题看起来非常简单。先把病床推进走廊拐角，使靠拐角一边的中点恰好顶住拐角，然后转动病床，只要病床另外一边的两个角在转动过程中碰不到走廊的墙即可把病床平推转过拐角。根据这个思路，我们得到这个问题的第一个模型。假设在转弯过程中我们的策略是先把病床推进走廊拐角，使靠拐角一边的中点恰好顶住拐角，然后转动病床。由于当病床宽度超过走廊宽度时不可能把病床推进走廊，因此假设。如图2所示，，。在转动过程中两点的轨迹是一点为圆心，为半径的圆弧，因此，只要圆弧的半径不超过走廊宽度就可以把病床平推过走廊拐角，即：化简得：(1)即：当病床的长度不超过走廊宽度与病床宽度的平方差的平方根的二倍时，我们就可以把病床平推转过走廊拐角。到此，我们似乎已经完全解决了这个问题。在下结论之前，我们来对照一下生活中的相似经验，看看有没有什么遗漏。稍有搬家经验的人都知道，在把体积庞大的家俱搬过走廊拐角时单靠转动往往是的无法完成的，我们必须采取转动与推进相结合的办法才能把家俱搬过走廊拐角。那么，采用转动与推进相结合转弯策略会有不同的结论呢？三、模型二从表面上看，直接求解这个问题似乎不好下手，但是，如果我们换一个角度来看问题，即把转弯过程中的病床看作是长度和宽度都可以变化的活动床，那么，只要我们就可以从两个角度来考虑这个问题：一个角度是求出当床长度一定时可以转过走廊的最小宽度，显然这个最小宽度是由走廊宽度和病床长度确定的；另一个角度是求出当病床宽度一定时的最小长度，同样的道理，这个最小长度是由走廊宽度和病床宽度确定的。这样一来就可以得到问题的答案。那么究竟是从定长变宽的角度考虑问题好还是从定宽变长的角度来考虑问题好？在图－3中，从病床的左上角开始按顺时针方向对病床的四个顶点进行编号为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，记在转弯过程中ＡＢ便于水平走廊的夹角为，延长ＡＢ边交水平和垂直的走廊与Ｐ、Ｑ点，记走廊的拐角点为Ｏ。分别作ＯＥ、ＯＦ垂直于水平和垂直的走廊于Ｅ、Ｆ点。从图－２可以看出，当病床的宽度一定时可以很方便地求出冰床的长度ＡＢ，但是，当病床的长度一定时，要计算病床的宽度就比较麻烦，因此我们从定宽变长的角度来考虑问题。这样就得到了这个问题的模型二。假设：1、在转弯过程中我们的策略是转动与推进相结合；2、在转弯的过程中，病床的宽度保持不变（显然）。记当病床的ＡＢ边与水平走廊的夹角为时，恰好与走廊相抵的病床长度ＡＢ为（参看图－２），显然，故我们只需对的情况进行讨论。由图－２知，，，，并且有如下关系成立：（，） (2)（）(3)（，）(4)（，）(5)将(3)、(4)、(5)式代入(2)式得（，）(6)只要求出关于变量的最小值，我们立即可以得到病床可以平推转过走廊拐角的充分必要条件是：病床长度。因此，问题归结为求函数关于变量的最小值。令得：，，代入(6)式得(7)注意到(7)式中当、时，函数和均为非负且严格单调递增知，当，即当时达到最小值。将代入得病床可以平转过走廊拐角的充分必要条件是：(8)为了比较模型已和模型二的结果，(1)、(8)两式的右边相除得：(其中)(9)令，这说明仅当时，单纯转动与转动和推动相结合的效果相同。为了进一步看清其他情况下两种方法的效果差异，我们作出函数()的图像(图4)。从图4可以看出，仅在附近两种方法的效果基本一致，其余情况下转动与推动相结合的效果明显好于单纯的转动。现在我们是否可以认为已经解决了这个问题呢？还是不要忙于下结论，我们先来看一下当时的图像(图5)。从图5可以看出，当时用转动与推动相结合的办法平推病床过走廊拐角，病床的长度竟然只能是走廊宽度的大约0.83倍。如果我们只能用这种办法平推病床过走廊拐角，那么我们就不可能把边长接近走廊宽度的方形家具（如立柜）搬过走廊拐角，但是在实际中我们可以采用只平推而不转动的方式把这种家具搬过拐角，即先把家具的BD边推到与走廊的QF边重合然后沿垂直方向平推。注意到病床下安装的往往是万向轮，我们可以采取同样的办法把长度恰好等于走廊宽度的病床平推过走廊拐角。发现新的转弯策略后，需要对模型而进行修改。四、模型三假设：1、在转弯过程中我们的策略是或者转动与推进相结合、或者指推动无转动，根据能使转过拐角的病床长度最大来确定究竟采用哪种办法；2、在转弯的过程中，病床的宽度保持不变（显然）。在模型二中，我们已经得到采用转动与推进相结合办法时病床可以转过拐角的充分必要要条件是：。解不等式得,换言之，当时，我们采用直推动的办法可以把长度恰好等于走廊宽度的病床平推过拐角。综上所述得可以把病床平推过拐角的充分必要条件是：当时，；当时,。到此我们终于彻底解决了病床的转弯问题。五、对模型二的进一步讨论在模型二中，得到关于变量的最小值，其中，但是，如果我们从的解析表达式和的意义来看，变量的取值范围应当是。注意到当时函数也有意义，我们自然要问：当时，和的关系是什么？为此，取，作出的图像(图6)。从图6可以看出当时：1)是函数的最大值而不是最小值；2)当时，病床可以在与走廊的LE边的夹角在附近的一个闭区间内转动，但是不能转动到夹角接近0或，换言之在拐角处可以放下比走廊还宽的病床。模型评注1、病床转弯这个看起来并不复杂的问题真要解决起来并不简单，需要我们进行深入细致的分析。它告诫我们，在用数学方法解决实际问题时一定要反复思考，认真检查是否有遗漏的地方，要有大胆假设认真求证的科学和精益求精的精神，千万不能轻易认为已经彻底解决了问题。2、这个问题本来可以直接写出模型三，但是，这