二次函数九种类型

中考考点·讲练类型一利用二次函数表达式求面积最大值的问题（三角形，四边形）在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下：

1根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长；

2观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解；

3结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。如何求图中阴影部分的面积？ExyOABC图一xyOABD图二PxyOAB图四xyODC图三【自主探究】如何求图中阴影部分的面积？xyOMENA图五xyODCEB图六【自主探究】——发散思维，一题多解方法把它转化成易于求出面积的图形.（2）三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形

。即采用割或补的【反思归纳】这里蕴含着……的数学思想？（1）一般取在

上的线段为底边.坐标轴转化——学而不思则罔(3)在抛物线上（除点C外），

是否存在点N，使得

S△NAB=S△ABC，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由。.N2.N3已知二次函数与轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P。【尝试应用】.N1面积问题；(1)请根据所给条件，提出几个(2)请求出A、B、C、P的坐标，求出一个你提出的面积；参考图PABOC·【变式一】在对称轴上是否存在一点N,使得？【变式一】ABOCy··【变式二】在双曲线点N,使？上是否存在思考这些点N有什么共性？xyOABC··【反思归纳】——万变不离其宗同底

高的三角形面积相等，平行线间的距离处处

；该类问题最终可转化为方程组是否有解的问题.同相等ABOCyABOCyxyOABCCh···ABh是否存在点N方程组是否有解与底边平行且和底边的距离为h的直线与所给图形是否有交点【建立模型】——多题归一理论依据……1.

某拱桥横截面为抛物线形，将抛物线放置在平面直角坐标系中如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．

（1）求△ABC的面积；

（2）若动点D在第一象限的抛物线上，求△BDC面积最大时D点的坐标，并求出△BDC的最大面积。针对练习针对练习1.

如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）．

（1）求抛物线的解析式

（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．

（3）在二次函数上有一动点P，过点P作PM⊥x轴交线段BD于点M，判断PM有最大值还是有最小值，如有，求出线段PM长度的最大值或最小值．例1已知二次函数的图象如图，（1）求二次函数的解析式；

【解】（１）由图象看出A（-1，0），B（2，0）C（O，-2）设抛物线解析式为：y=a（x-2）（ｘ＋１）Ｃ在抛物线上，∴ａ＝１∴抛物线解析式为：ｙ＝ｘ２－ｘ－２

-1-2-3-1-2-312345123xyAMBQNOＣ-1-2-3-1-2-312345123xyAMBQNOＣ解（2）设过B（2，0）M（，－）的解析式为：ｙ＝ｋｘ＋ｂ

则ｋ＝ｂ＝－３∴直线ＢＭ的解析式为：

ｙ＝ｘ－３∵QＮ=t∴把ｙ＝ｔ代入直线ＭＢ的解析式，得ｘ＝２－ｔ∴S＝×２×１＋（２＋ｔ）（2－t）

即S＝-t2

＋t＋3其中0＜t＜

（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为Q，当点N在线段BM上运动时（不与点B、点M重合）设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与ｔ间的函数关系式及自变量的取值范围；例1已知二次函数的图象如图，（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P使△PAC为Rt△？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由。-1-2-3-1-2-312345123xyAMBQNOＣ解：设P（m，n）则ｎ＝ｍ２－ｍ－２１）当Ｒｔ△ＰＡＣ是以ＰＣ为斜边时有ＰＣ２＝ＰＡ２＋ＡＣ２

即ｍ２＋（ｎ＋２）２＝（ｍ＋１）２＋ｎ２＋５把ｎ＝ｍ２－ｍ－２代入得

或ｍ＝－１（舍）ｎ＝０∴点Ｐ１（，）-1-2-3-1-2-312345123xyAMBQNOＣ２）当Ｒｔ△ＰＡＣ以ＰＡ为斜边时则ＰＡ２＝ＰＣ２＋ＡＣ２

即（ｍ＋１）２＋ｎ２＝ｍ２＋（ｎ＋２）２＋５把ｎ＝ｍ２－ｍ－２代入得或ｍ＝０（舍）ｎ＝－２∴点Ｐ２（，）∴存在符合条件的点Ｐ，坐标为

Ｐ２（，）∴点Ｐ１（，）【拓展提高】已知二次函数与轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C。在抛物线上是否存在点N，使得若存在，求出点N的坐标;若不存在，请说明理由。——中考真题改编ABOC【走进考场】ABCxyO（2011，日照）请你说明理由．过点A作直线AC∥轴，交抛物线于另一点C．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD请你写出点D的坐标；若不存在，如图，抛物线与双曲线相交于点A、B。已知点B的坐标为，且点A在第一象限内,的面积等于△ABC的面积．若存在，——锲而不舍，金石可镂yPABOC·求求yPABOC·不同的人在数学上得到不同的发展通过本节课的复习我学会了……体会到了

数学思想【硕果累累】中考考点·讲练类型二将军饮马问题将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段a+b这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。类型一

将军饮马最常见的三大模型1.如图，在直线异侧两个点A和B，在直线上求一点P。使得PA+PB最短（题眼）。一般做法：作点A（B）关于直线的对称点，连接A’B，A’B与直线交点即为所求点。A’B即为最短距离理由：A’为A的对称点，所以无论P在直线任何位置都能得到AP=A’P。所以PA+PB=PA’+PB。这样问题就化成了求A’到B的最短距离，直接相连就可以了类型二

将军饮马最常见的三大模型2.如图，在∠OAB内有一点P，在OA和OB各找一个点M、N，使得△PMN周长最短（题眼）。一般做法：作点P关于OA和OB的对称点P1、P2。连接P1P2。P1P2与OA、OB的交点即为所求点。P1P2即为最短周长。理由：对称过后，PM=P1M，PN=P2N。所以PM+PN+MN=P1M+P2N+MN。所以问题就化成了求P1到P2的最短距离，直接相连就可以了。。类型三

将军饮马最常见的三大模型3.如图，在∠OAB内有两点P、Q，在OA和OB各找一个点M、N，使得四边形PMNQ周长最短（题眼）。一般做法：题目中PQ距离固定。所以只是求PM+MN+QN的最短距离。最终P’Q’+PQ即为所求最短周长。M、N即为所求的点。理由：作完对称后，由于P’M=PM，Q’N=QN，所以PM+MN+QN=P’M+MN+Q’N。所以就化成了求P’到Q’的最短距离，所以相连即可。常见问题

怎么对称，作谁的对称？

对称完以后和谁连接？所求点怎么确定？4.将军饮马一定是求最短距离吗？肯定不是。或者说求最短距离是将军饮马中的最简单一类题目。根据将军饮马的基本模型可以拓展出很多题型。根本原因是因为在作轴对称过程中不但是作了点的对称，还作了边长和角度的对称！或者说边长和角度的对称才是最关键如例题1.∠A=60°AE⊥CE，AB⊥BC，N和M是AB和AE上的动点。问：当△CMN周长最短时（题眼），求∠CMN+∠CNM的度数。5.对称的点可以随便选吗？

理论上来说，只要是定点，可以选择来对称。但事实上，为了方便解题，一般对称点是有所选择的。选择原则如下：对称点方便确定、方便计算长度。如例题2：正方形ABCD，AC为对角线。△ADE是以AD为边的等边三角形。求在AC在找一点P，使得BP+EP最短（题眼）。对于这道题，由于定点是B和E，那么理论上来讲这两个点的对称点都可以做。但是根据选择原则，这题中显然作点B的对称方便，直接就是点D。其实这样的题型也比较固定，一般点都是对称图形上，如正方形，等边三角形等等，你们可以自行总结。比较特殊的题型

例题3.∠OAB中有一点P，求在OA、OB上分别找一个点M，N，使得PM+MN最短（题眼）。根据前面总结的，首先肯定是作点P的对称点，那么就面临第一个问题，点P关于OA和OB的对称都要作吗？这个时候就要明白，作对称的本质并不是对称点，而是对称边。换句话说关于OA对称式在对称线段PM，关于OB对称实际上是在对称线段PN。那么对于这道题目，显然PN显然是无用的，所以这道题目就应该关于OA对称。接下里会面临第二个问题，对称完连接谁？根据前面的理论，应该找一个定点相连，这道题目里面显然没有第二个定点可用。切记不能直接与N相连，因为N点是个动点。但是从另一个侧面可以知道这条线段其实有无数条。但是最终要达到一个要求连线最短。最后就会想到过P’作OB垂线。则交点即为所求。1．（2014•吉林市一模）抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（﹣3，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A、点B的坐标代入可求出b、c的值，继而可得出该抛物线的解析式；（2）连接BC，则BC与对称轴的交点，即是点Q的位置，求出直线BC的解析式后，可得出点Q的坐标．【点评】本题考查了二次函数的综合运用，涉及了顶点坐标的求解、三角形的面积及轴对称求最短路径的知识，解答本题的关键是熟练各个知识点，注意培养自己解综合题的能力．

2．（2015•吉林市一模）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求b、c的值；（2）P为抛物线上的点，且满足S△PAB=8，求P点的坐标；（3）设抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），求得b，c值；（2）设点P的坐标为（x，y），求得y值，分别代入从而求得点P的坐标；（3）由AC长为定值，要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小．又能求得由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，再求得BC的直线，从而求得点Q的坐标．【点评】本题考查了二次函数的综合运用，（1）抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），很容易得到b，c值；（2）设点P的坐标为（x，y），求得y值，分别代入从而求得点P的坐标；（3）由AC长为定值，要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小．又能求得由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，再求得BC的直线，从而求得点Q的坐标．本题有一定难度，需要考虑仔细，否则漏解．3．（2012•吉林市模拟）如图，已知抛物线经过点B（﹣2，3），原点O和x轴上另一点A，它的对称轴与x轴交于点C（2，0）．（1）求此抛物线的函数关系式；（2）连接CB，在抛物线的对称轴上找一点E，使得CB=CE，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BE，设BE的中点为G，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBG的周长最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据抛物线的对称轴可得出A点坐标，然后根据O、A、B三点坐标，用待定系数法可求出抛物线的解析式．（2）可根据B、C的坐标，求出BC的长，然后根据CB=CE，将C点坐标向上或向下平移BC个单位即可得出E点坐标．（3）本题的关键是确定P点的位置，可取B关于抛物线对称轴的对称点D，连接DG，直线DG与抛物线对称轴的交点即为所求P点的位置．可先求出直线DG的解析式，然后联立抛物线对称轴方程即可求出P点坐标．【点评】本题考查了二次函数解析式的确定、等腰三角形的判定、轴对称图形的性质等知识，（3）中能正确找出P点位置是解题的关键．4．（2014下学期•吉林市期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．（2）存在【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了最短路径问题．将军饮马模型及其变形

【分析】（1）令x=0，求出与y轴的坐标；令y=0，求出与x轴的坐标；（2）分三种情况讨论：①当AB为底时，若点D在AB上方；若点D在AB下方；②当AB为腰时，A为顶点时，③当AB为腰时，A为顶点时；仔细解答即可．（3）当AP+BQ最小时，四边形ABQP的周长最小，根据轴对称最短路径问题解答．【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及二次函数与x轴的交点、与y轴的交点、等腰三角形的性质、勾股定理等内容，存在性问题的出现使得难度增大．2．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）（3）如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，∵ER=GQ，ER∥GQ，∴四边形ERGQ是平行四边形，∴QE=GR，∵GM=GM′，∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，【点评】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握折叠的性质和矩形的性质；会利用轴对称解决最短路径问题；会运用相似比和勾股定理计算线段的长．类型三直角三角形分类1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（-4，0）、B（-l，0）两点，与y轴交于点C，点D是第三象限的抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）设点D的横坐标为m，△ACD的面积为S求出S与m的函数关系式，并确定m为何值时S有最大值，最大值是多少？（3）若点P是抛物线对称轴上一点，是否存在点P使得∠APC=90°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型四等腰三角形分类讨论1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）经过点D（2