2009年IMO中国国家队选拔考试试题含答案(第一天,2009年3月31日)

2009年IMO中国国家队选拔考试第1天2009年3月31日8：00-12：31、设D是三角形ABC的BC边上一点，满足CAD=CBA．圆O经过B，D两点，并分别与线段AB，AD交于E，F两点，BF、DE相交于G点．M是AG的中点．求证：CM⊥AO．2、给定整数，求具有下述性质的最大常数：若实数序列满足，及，，则有.3、求证：对于任意的奇素数，满足的正整数的个数不超过，这里是一个与无关的常数.1、设D是三角形ABC的BC边上一点，满足CAD=CBA．圆O经过B，D两点，并分别与线段AB，AD交于E，F两点，BF、DE相交于G点．M是AG的中点．求证：CM⊥AO．证明如图，连接EF并延长交BC于P，连接GP交AD于K，并交AC延长线于L．如下图，在AP上取一点Q，满足∠PQF＝∠AEF＝∠ADB．易知A、E、F、Q及F、D、P、Q分别四点共圆．记⊙O的半径为r．根据圆幂定理知：AP2＝AQ×AP＋PQ×AP＝AF×AD＋PF×PE＝（AO2－r2）＋（PO2－r2）．①类似地，可得：AG2＝（AO2－r2）＋（GO2－r2）．②由①，②得AP2－AG2＝PO2－GO2，于是由平方差原理即知PG⊥AO．如下图，对△PFD及截线AEB应用Menelaus定理，得．③对△PFD及形外一点G应用Ceva定理，得．④③÷④即得：．⑤⑤表明A，K；F，D构成调和点列，即AF×KD＝AD×FK．再代入点列的Euler公式知：AK×FD＝AF×KD＋AD×FK＝2AF×KD．⑥而由B、D、F、E四点共圆，得∠DBA＝∠EFA．而∠CAD＝∠CBA；故∠CAF＝∠EFA，这就表明AC∥EP．由此，．⑦在△ACD中，对于截线LPK应用Menelaus定理，得；⑧将⑥，⑦代入⑧即得．最后，在△AGL中，由M、C分别是AG、AL的中点，故MC是其中位线，得MC∥GL．而已证GL⊥AO，从而MC⊥AO．2、给定整数，求具有下述性质的最大常数：若实数序列满足，及，，则有.解：的最大值为.首先，令，得.下面我们证明：对任何满足条件的序列，有不等式(*)首先我们证明.事实上，由条件有对任意成立.对于给定的正整数，将此式对求和得，即对任意成立.下面我们证明，对于，若，则.事实上，上式等价于，即，显然成立.现在我们来证明(*).首先对于，来估计的下界.由前述，知，即.又因为，故，即.这样，我们有：.记，由前面证明可知.又，由切比雪夫不等式，有：.这样.而因此.故(*)获证.综上所述，可知的最大值为.3、求证：对于任意的奇素数，满足的正整数的个数不超过，这里是一个与无关的常数.证明显然，符合要求的应满足.设这样的的全体是，我们只需要证明，当时结论是显然成立的，下设.将重排成不减的数列.则显然有.①我们首先证明，对，有，②即等于给定的的至多有个.事实上，设，则，由此可知，故.故是次同余方程的一个解.由于是素数，由拉格朗日定理知，上述同余方程至多有个解，故满足的至多只有个值，从而②得证.现在我们证明，对任意的正整数，只要，就有.假设结论不成立，即，那么都是1到中的正整数.而由②知，在中，1至多出现1次，2最多出现2次，…，至多出现次，即