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文档简介

高数A期中测试题答案一、填空题（每小题4分，共20分）1.设为给定的实数，则解：。2．设是由方程所确实的隐函数，则解：两边同时对求导，有，得，又时，，于是。3．若则解：。4．设，其中可微，则_______。解：因为，有，于是。5．函数的单调减少区间为解：。二、单选题（每小题4分，共20分）（A）1．若当时，是的高阶无穷小，则解：当时，有，由已知有，于是。（D）2．若，在内处处可导，则解：因在内处处可导，从而在处连续。又因为，。故。又从而。（D）3．设，，则解：，由极限在保号性，在的某个领域内，有，于是时，有，凸；时，有，凹。故是曲线的拐点。（C）4．设在上连续，在内可导，，且，则当时，有解：记，则当时，由已知有，从而在单调减少，则当，有，即有。（B）5．设，则是函数的解：因为存在且不相等，故是函数的跳跃间断点。三、求解下列各题（每小题8分，共24分）1．求极限。解：。2．求极限。解：。3．设存在且不为零，求由参数方程所确定函数的二阶导数。解：。。四、（9分）求曲线的凹凸区间和拐点。解：易知函数的定义域为。又，。令，解得。此两点将分成三个区间，列表如下负0正0负凸拐点凹拐点凸所以此曲线的凹区间为，凸区间为；拐点为。五、（9分）从一张长为8米，宽为3米的长方形不锈钢板，现在它的四个角上各裁去一个大小相同的小正方形，再把四边折起来焊成一个无盖的长方形盒子，问裁去小正方形的边长为多少时，才能使盒子的容积最大。解：设裁去边长为x米的小正方形，此时所得盒子的容积为，于是。令，得（舍去），即在有唯一驻点。又，从而为极大值点，且为唯一的极值，故所裁去边长为米的小正方形时，所得盒子的容积最大。六、（9分）设，证明：当时，有。证明：记，则，有，令，得，又，有，故为的极小值，又因为为在上的唯一驻点，故为函数在上的最小值。从而时，有，这说明在上单调增加，从而当时，有，即有。七、（9分）设函数在上连续，在内可导，且，证明至少存在一点，使。证明：已知函数在上连续，且，则由零点定理知，存在一

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