微分方程解法

第八章微分方程与差分方程简介8.1微分方程的根本概念8.2可别离变量的一阶微分方程8.3一阶线性微分方程8.4可降阶的高阶微分方程8.5二阶常系数线性微分方程8.6微分方程应用实例退出1整理ppt第八章微分方程与差分方程简介我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但我们能给出含有所求函数的导数〔或微分〕或差分〔即增量〕的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程，我们需要从这些方程中求出所要的函数。本章主要介绍微分方程的根本概念及求解微分方程中未知函数的几种常见的解析方法；并对差分方程的有关内容做一简单介绍。

2整理ppt8.1微分方程的根本概念一.引例例1一曲线通过〔1，2〕，且在改曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。

解设所求曲线方程为y=y(x)，根据导数的几何意义，y(x)应满足：3整理ppt例2一汽车在公路上以10m/s的速度行驶，司机突然发现汽车前放20米处有一小孩在路上玩耍，司机立即刹车，汽车刹车后获得加速度为－4,问汽车是否会撞到小孩？解设汽车刹车后t秒内行驶了s米，根据题意，反映刹车阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：4整理ppt在〔9〕式中令v=0,得到从开始刹车到完全停住所需要5整理ppt的时间t=2.5秒，因此刹车后汽车行使距离为：二.微分方程的根本概念凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程〔differentialequation〕.未知函数为一元函数的微分方程，叫常微分方程〔ordinarydifferentialequation〕.未知函数为多元函数的微分方程，叫做偏微分方程〔partialdifferentialequation〕.这里我们只讨论常微分方程，简称为微分方程，例如6整理ppt等都是常微分方程。微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶数，称为该微分方程的阶〔order〕，例如〔1〕和〔12〕为一阶微分方程，〔5〕和〔11〕为二阶微分方程，而〔13〕是n阶微分方程。7整理ppt如果将一个函数代入微分方程后能是该方程成为恒等式，那么称这个函数为该微分方程的解〔solution〕.将〔3〕。〔4〕为微分方程〔1〕的解，而〔8〕和〔10〕那么是微分方程〔5〕的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解〔generalsolution〕.如〔3〕和〔8〕分别是微分方程〔1〕与〔5〕的通解。由于通解中含有任一常数，所以它还不能确切的反响某客观事物的特定规律。为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件，这种条件称为定解条件。确定了通解中的任意常数后所得。8整理ppt的解，称为微分方程的特解〔particularsolution〕.如〔10〕是微分方程〔5〕的满足条件〔6〕的特解时刻的状态得到的定解条件，称为初值条件〔initialvaluecondition〕.初值条件的个数通常等于微分方程的阶数，一阶微分方程的初值条件一般为9整理ppt从几何上看，微分方程的通解对应着平面上的一族曲线，称其为微分方程的积分曲线族，而特解那么对应着积分曲线族中的某一条曲线，称其为积分曲线(integralcurve).如是方程〔1〕的积分曲线族,而10整理ppt8.2可别离变量的一阶微分方程一阶微分方程〔differentialequationoffirstorder〕(differentialequationofseparatedvariables).11整理ppt例1求微分方程解首先别离变量，得12整理ppt

以后为了方便起见，我们可把记住结果中的常数C可正可负。显然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取C=0即可。例2求微分方程的通解即在条件解别离变量，得13整理ppt例3种群的自然生长受到环境资源的限制，假设种群数的最大容量为b，那么种群生长速度不仅与t时刻种群数量N成正比，且与密度制约因子成正比，试确定种群生长规律。14整理ppt15整理ppt

8.3一阶线性微分方程

〔lineardifferentialequationoffirstOrder),它的特点为左端是关于未知函数y及一阶导数16整理ppt17整理ppt二.一阶线性非其次微分方程由于其次方程〔2〕是非其次方程〔1〕当它们的解之间也必有某种关系。现在，我们把对应的其齐次方程的通解〔3〕中的任意常数C换成X的待定函数C〔x〕,即令情形，可以设想,18整理ppt19整理ppt上述将对应的齐次方程通解中的任意常数C替换成x的待定函数，并将其代入非齐次方程中以确定C(x)，从而求得非齐此方程的通解的方法叫做常数变易法〔methodofconstant〕.将〔5〕式改写成两项之和的形式20整理ppt上式右端第一项为哪一项方程〔1〕对应的齐次方程〔2〕的通解，令C=0，那么得到第二项，它是非齐次方程〔1〕的一个特解。由此可知，一阶线性非齐次微分方程的通解等于它对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。

对于高阶线性微分方程，其通解结构也有类似的结论。21整理ppt22整理ppt方法二直接利用非齐次方程的通解公式〔5〕，得23整理ppt24整理ppt25整理ppt26整理ppt27整理ppt28整理ppt(Bernoullidifferentialequation).29整理ppt30整理ppt31整理ppt32整理ppt33整理ppt8.4可降阶的高阶微分方程二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程〔differentialequationofhigherorder〕.对于有些高阶微分方程。可通过适当的变量代换将它转化为较低阶的方程来求解。下面介绍三种常见的可降阶的微分方程的求解方法。34整理ppt35整理ppt

例2一物体由静止状态开始做直线运动，其加速度

试求其位移s与时间t的关系式。

解由题意知那么需要n个初值条件。36整理ppt37整理ppt38整理ppt39整理ppt40整理ppt41整理ppt42整理ppt43整理ppt44整理ppt

8.5二阶常系数线性微分方程的微分方程称为二阶常系数线性微分方程〔linearsecondorderdifferentialequationwithconstantcoefficients〕，其中f(x)叫做自由项，当时，方程〔1〕叫做二阶线性齐次微分方程，当时，方程〔1〕叫做二阶线性非齐次微分

方程。

45整理ppt下面先来讨论这类方程的性质及通解结构。一.通解的结构定理1如果是二阶线性齐次方程46整理ppt47整理ppt

48整理ppt综上所述，有如下关于二阶线性齐次微分方程的通解结构的定理。49整理ppt知道，一结线性非齐次方程的通解等于它所对应的齐次方程的通解和它的一个特解之和。实际上，二阶及更高阶的线性非齐次方程的通解的结构也由类似的结论。50整理ppt51整理ppt二.二阶常系数线性齐次微分方程由定理2可知，求二阶线性齐次微分方程的通解，可归结为求方程的两个线性无关的特解。二阶线性齐次方程的特点是各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y，使它和它的导数间只差一个常数因52整理ppt我们把代数方程〔5〕叫做微分方程〔2〕的特征方程，特征方程的根叫做特征根。求方程〔2〕的通解就归结为求特征方程的根：53整理ppt54整理ppt55整理ppt56整理ppt57整理ppt58整理ppt特征方程的根齐次方程的通解两个相异实根两个相等实根一对共扼复根59整理ppt60整理ppt61整理ppt三.二阶常系数线性非齐次微分方程由定理3可知，求二阶常系数线性非齐次微分方程的通解，可归结为求它对应的齐次方程的通解和它本身的一个特解。在解决了齐次方程的通解问题之后，这里只需讨论求非齐次方程〔3〕的一个特解的方法我们只介绍当方程〔3〕中的取两种常见形式时求的方法，这种方法的特点是不用积分就可求出来，把它叫做待定系数法。62整理ppt63整理ppt64整理ppt65整理ppt66整理ppt67整理ppt68整理ppt69整理ppt70整理ppt71整理ppt72整理ppt73整理ppt74整理ppt75整理ppt

8.6微分方程应用实例许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍见第十章。一。嫌疑犯问题受害者的尸体于晚上7：30被发现。法医于晚上8：20赶到凶案现场，测得尸体体温为，一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为76整理ppt室温在几小时内始终保持，此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5：00时打了一个，打完后就离开了办公室。〞从张某的办公室到受害者家〔凶案现场〕步行需5分钟，现在的问题：是张某不在凶案现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外？77整理ppt

人体体温受大脑神经中枢调节，人死后体温调节功能消失，尸体的温度受外界温度的影响。假定尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化率正比于尸体温度与室温的差，即78整理ppt79整理ppt80整理ppt81整理ppt