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文档简介

椅子能在不平的地面放稳吗？问题提出把一张椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，然而只需稍为转动一定角度，就可以使四只脚同时着地，即放稳了。怎样用数学模型来描述和证明这个实际问题呢？模型假设

为了能用数学语言描述，对椅子和地面需作一些必要的假设。

1.椅子四只脚一样长，椅脚与地面接触处视为一个点。四只脚的连线呈正方形。（对椅子的假设）2.地面的高度是连续变化的，即可视为数学上的连续曲面。（对地面的假设）3.地面是较平坦的，使椅子在任何时候都同时有三只脚同时着地。（对两者关系的假设）模型建立主要问题是如何用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件表达出来。1.引入函数ABCDA’B’ABCDA’B’C’D’θ设f(θ)表示椅脚A与C两脚到地面距离之和；g(θ)表示椅脚B与D两脚到地面距离之和.2.函数的性质由假设2，函数f(θ)与g(θ)是θ的非负连续函数，0≤θ≤2π;由假设3，对任意θ∈[0，2π]，f(θ)g(θ)=0，不妨设f(0)>0,g(0)=0；当把椅子转动π/2时，则AC与BD互换了位置，由假设1，f(π/2)=g(0)，g(π/2)=f(0).3.把问题化作数学命题

椅子四只脚同时着地等价于存在一点θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0.因此，原问题等价于以下命题：命题已知函数f(θ)与g(θ)是θ的非负连续函数，0≤θ≤2π，且满足：（1）f(0)>0,g(0)=0；（2）对任意θ∈[0，2π]，f(θ)g(θ)=0；（3）f(π/2)=g(0)，g(π/2)=f(0).则必存在一点θ0∈[0，2π]，使f(θ0)=g(θ0)=0.模型求证命题已知函数f(θ)与g(θ)是θ的非负连续函数，0≤θ≤2π，且满足：（1）f(0)>0,g(0)=0；（2）对任意θ∈[0，2π]，f(θ)g(θ)=0；（3）f(π/2)=g(0)，g(π/2)=f(0).则必存在一点θ0∈[0，2π]，使f(θ0)=g(θ0)=0.求证：

∵f(0)>0,g(0)=0∴f(π/2)=g(0)=0,g(π/2)=f(0)>0

令h(θ)=f(θ)-g(θ),则在[0，π/2]上连续且h(θ)=f(0)-g(0)>0,h(π/2)=f(π/2)-g(π/2)<0由连续函数介值定理可知，必存在一点0<θ0<π/2使h(θ0)=0即f(θ0)=g(θ0)，∵f(θ0)与g(θ0)至少有一个为0，∴f(θ0)=g(θ0)=0模型的解的意义是

在满足三点假设的前提下，我们证明了通过转动椅子，必定可把它放稳，而且转动的角度不需超过90度（顺时针或逆时针）。思考1.若把假设中的“四只脚的连线呈正方形”改为“四只脚的连线呈长方形”，你认为结论成立吗？2.若把假设中的“四只脚的连线呈正方形”改为“四只脚共圆”，则结果中有如何？答案：1.若把假设中的“四只脚的连线呈正方形”改为“四只脚的连线呈长方形”，则结果中的π/2改

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