双曲方程基于matlab的数值解法

./双曲型方程基于MATLAB的数值解法〔数学1201,晓云,41262022一：一阶双曲型微分方程的初边值问题精确解为二：数值解法思想和步骤2.1:网格剖分为了用差分方法求解上述问题,将求解区域作剖分。将空间区间作等分,将时间区间作等分,并记。分别称和为空间和时间步长。用两簇平行直线将分割成矩形网格。2.2：差分格式的建立2.2.1：Lax-Friedrichs方法对时间、空间采用中心差分使得则由上式得到Lax-Friedrichs格式截断误差为所以Lax-Friedrichs格式的截断误差的阶式令：则可得差分格式为其传播因子为：化简可得：所以当时,,格式稳定。*2.2.2：LaxWendroff方法用牛顿二次插值公式可以得到LaxWendroff的差分格式,在此不详细分析,它的截断误差为,是二阶精度；当时,,格式稳定。在这里主要用它与上面一阶精度的Lax-Friedrichs方法进行简单对比。2.3差分格式的求解因为时格式稳定,不妨取,则s=0.9差分格式写成如下矩阵形式：则需要通过对k时间层进行矩阵作用求出k+1时间层。对上面的矩阵形式通过matlab编出如附录的程序求出数值解、真实解和误差。2.5算法以及结果function[PUExt]=PDEHyperbolic<uX,uT,M,N,C,type>formatlong%一阶双曲型方程的差分格式%[PUExt]=PDEHyperbolic<uX,uT,M,N,C,phi,psi1,psi2,type>%方程:u_t+C*u_x=00<=t<=uT,0<=x<=uX%初值条件:u<x,0>=phi<x>%输出参数:U-解矩阵%x-横坐标%t-纵坐标,时间%输入参数:uX-变量x的上界%uT-变量t的上界%M-变量x的等分区间数%N-变量t的等分区间数%C-系数%phi-初值条件函数,定义为联函数%psi1,psi2-边值条件函数,定义为联函数%type-差分格式,从下列值中选取%-type='LaxFriedrichs',采用Lax-Friedrichs差分格式求解%-type='LaxWendroff',采用Lax-Wendroff差分格式求解h=uX/M;%变量x的步长k=uT/N;%变量t的步长r=k/h;%步长比x=<0:M>*h;t=<0:N>*k;U=zeros<M+1,N+1>;%初值条件fori=1:M+1U<i,1>=cos<pi*x<i>>;P<i,1>=cos<pi*x<i>>;E<i,1>=0;end%边值条件forj=1:N+1U<1,j>=cos<pi*t<j>>;E<1,j>=0;P<1,j>=cos<pi*t<j>>;U<M+1,j>=-cos<pi*t<j>>;P<M+1,j>=-cos<pi*t<j>>;E<M+1,j>=0;endswitchtypecase'LaxFriedrichs'ifabs<C*r>>1disp<'|C*r|>1,Lax-Friedrichs差分格式不稳定！'>end%逐层求解forj=1:Nfori=2:MU<i,j+1>=<U<i+1,j>+U<i-1,j>>/2-C*r*<U<i+1,j>-U<i-1,j>>/2;P<i,j+1>=cos<pi*<x<i>+t<j+1>>>;E<i,j+1>=abs<U<i,j+1>-cos<pi*<x<i>+t<j+1>>>>;endend%Lax-Wendroff差分格式case'LaxWendroff'ifabs<C*r>>1disp<'|C*r|>1,Lax-Wendroff差分格式不稳定！'>end%逐层求解forj=1:Nfori=2:MU<i,j+1>=U<i,j>-C*r*<U<i+1,j>-U<i-1,j>>/2+C^2*r^2*<U<i+1,j>-2*U<i,j>+U<i-1,j>>/2;P<i,j+1>=cos<pi*<x<i>+t<j+1>>>;E<i,j+1>=abs<U<i,j+1>-cos<pi*<x<i>+t<j+1>>>>;endendotherwisedisp<'差分格式类型输入有误！'>return;endU=U';P=P';E=E';%作出图形精确解mesh<x,t,P>;title<'一阶双曲型方程的精确解图像'>;xlabel<'空间变量x'>;ylabel<'时间变量t'>;zlabel<'一阶双曲型方程的解P'>%作出图形数值解mesh<x,t,U>;title<[type'格式求解一阶双曲型方程的解的图像']>;xlabel<'空间变量x'>;ylabel<'时间变量t'>;zlabel<'一阶双曲型方程的解U'>return;命令窗口输入：>>uX=1;uT=1;M=90;N=100;C=-1;phi=inline<'cos<pi*x>'>;psi1=inline<'cos<pi*t>'>;psi2=inline<'-cos<pi*t>'>;type='LaxFriedrichs'或type='LaxWendroff';>>[PUExt]=PDEHyperbolic<uX,uT,M,N,C,type>从matlab的数值解法结果中抽出一部分数据进行比较表1LaxFriedrichs格式jk〔x,t数值解真实解误差4611<0.5,0.1>-0.308981-0.3090170.0000364621<0.5,0.2>-0.587647-0.5877850.0001384631<0.5,0.3>-0.808731-0.8090170.0002864641<0.5,0.4>-0.950609-0.9510560.0004484651<0.5,0.5>-0.999409-1.0000000.0005914661<0.5,0.6>-0.950496-0.9510570.0005604671<0.5,0.7>-0.808539-0.8090170.0004784681<0.5,0.8>-0.587437-0.5877850.0003484691<0.5,0.9>-0.308833-0.3090170.00018446101<0.5,1.0>-0.000002-0.0000000.000002表2LaxWendroff格式jk〔x,t数值解真实解误差4611<0.5,0.1>-0.309005-0.3090170.0000124621<0.5,0.2>-0.587765-0.5877850.0000204631<0.5,0.3>-0.808995-0.8090170.0000224641<0.5,0.4>-0.951040-0.9510560.0000164651<0.5,0.5>-0.999999-1.0000000.0000014661<0.5,0.6>-0.951074-0.9510570.0000174671<0.5,0.7>-0.809051-0.8090170.0000344681<0.5,0.8>-0.587833-0.5877850.0000484691<0.5,0.9>-0.309074-0.3090170.00005746101<0.5,1.0>-0.000006-0.0000000.000006备注：本来