导数常考题型总结

变化率与导数、导数的运算考纲要求(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义．2．导数的运算(1)能根据导数的定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．(2)能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数，能求简单的复合函数〔仅限于形如f(ax＋b)〕的导数．(3)会使用导数公式表．1．平均变化率函数f(x)从x1到x2的平均变化率eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1).2．导数的概念函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(Δf,Δx)，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx).3．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝f′(x0)．4．导函数(导数)当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(f(x＋Δx)－f(x),Δx).5．几种常见函数的导数(1)c′＝0(c为常数)，(xn)′＝nxn－1(n∈Z)(2)(sinx)′＝cosx，(cosx)′＝－sinx(3)(lnx)′＝eq\f(1,x)，(logax)′＝eq\f(1,x)logae(4)(ex)′＝ex，(ax)′＝axlna6．函数的和、差、积、商的导数(u±v)′＝u′±v′，(uv)′＝u′v＋uv′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(u,v)))′＝eq\f(u′v－uv′,v2)，(cu)′＝cu′(c为常数)．7．复合函数的导数1．f(x)＝ax3＋3x2＋2，假设f′(－1)＝4，那么a的值等于()A.eq\f(19,3)B.eq\f(16,3)C.eq\f(13,3)D.eq\f(10,3)解析：f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，a＝eq\f(10,3).2．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝eq\f(π,2)附近的平均变化率为k1，k2，那么k1，k2的大小关系为()A．k1>k2B．k1<k2C．k1＝k2D．不确定解析：∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx，k1＝cos0＝1，k2＝coseq\f(π,2)＝0，∴k1>k2.3．函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinx B．－xsinxC．xcosx D．－xcosx解析：y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝x′cosx＋x(cosx)′－cosx＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.答案：B44．一个物体的运动方程是s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在3秒末的瞬间速度是________．解析：s′＝－1＋2t，∴s′|t＝3＝－1＋6＝5.答案：5米/秒5．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，¡­，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，那么f2023(x)＝__________.解析：f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx∴fn(x)是以4为周期的周期函数，2023被4整除，∴f2023(x)＝f0(x)＝sinx答案：sinx热点之一利用导数的定义求函数的导数根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)；(3)得导数f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).简记作：一差、二比、三极限．[例1]用定义法求以下函数的导数．(1)y＝x2；(2)y＝eq\f(4,x2).[课堂记录](1)因为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)＝eq\f((x＋Δx)2－x2,Δx)＝eq\f(x2＋2x·Δx＋Δx2－x2,Δx)＝2x＋Δx，所以y′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x.(2)Δy＝eq\f(4,(x＋Δx)2)－eq\f(4,x2)＝－eq\f(4Δx(2x＋Δx),x2(x＋Δx)2)，eq\f(Δy,Δx)＝－4·eq\f(2x＋Δx,x2(x＋Δx)2)，∴eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－4·\f(2x＋Δx,x2(x＋Δx)2)))＝－eq\f(8,x3).即时训练用导数的定义求函数y＝eq\f(1,\r(x))在x＝1处的导数．解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq\f(1,\r(1＋Δx))－1＝eq\f(1－\r(1＋Δx),\r(1＋Δx))＝eq\f(1－1－Δx,(1＋\r(1＋Δx))\r(1＋Δx))＝eq\f(－Δx,(1＋\r(1＋Δx))\r(1＋Δx))，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,(1＋\r(1＋Δx))\r(1＋Δx)).∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,2).热点之二导数的计算求函数的导数要准确地把函数分割为根本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法那么求导数，在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法那么，联系根本初等函数求导公式进行求导；对于不具备直接求导的结构形式要适当变形．[例2]求以下函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝eq\f(lnx,x2＋1)；(4)y＝sin32x.[课堂记录]直接利用导数公式和导数运算法那么求导．(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx；(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2；(3)y′＝eq\f((lnx)′(x2＋1)－lnx·(x2＋1)′,(x2＋1)2)＝eq\f(\f(1,x)·(x2＋1)－lnx·2x,(x2＋1)2)＝eq\f(x2＋1－2x2·lnx,x(x2＋1)2)；(4)y′＝3(sin2x)2·(sin2x)′＝6sin22xcos2x.[思维拓展]理解和掌握求导法那么和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法那么，特别是商的求导法那么．求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因，从本例可以看出：深刻理解和掌握导数的运算法那么，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的积极性，在解决新问题时才能举一反三，触类旁通，得心应手．即时训练求以下函数的导数：(1)y＝xsinx；(2)y＝eq\f(lnx,x)；(3)y＝eq\r(x2＋1)；(4)y＝e1－x.解：(1)y′＝(xsinx)′＝(x′)sinx＋x(sinx)′＝sinx＋xcosx.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x)))′＝eq\f((lnx)′x－(x)′lnx,x2)＝eq\f(\f(1,x)·x－lnx,x2)＝eq\f(1－lnx,x2).(3)∵函数y＝eq\r(x2＋1)可以看作函数y＝eq\r(u)和u＝x2＋1的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(eq\r(u))′(x2＋1)′＝eq\f(1,2)·eq\f(1,\r(u))·(2x)＝eq\f(x,\r(x2＋1)).(4)∵函数y＝e1－x可以看作由y＝eu和u＝1－x复合而成的函数，∴y′x＝(eu)′·(ux)′＝eu(1－x)′＝－e1－x.热点之三导数的几何意义1．函数y＝f(x)在点P(x，y)处的导数f′(x)表示函数y＝f(x)在x＝x处的瞬时变化率，导数f′(x)的几何意义就是函数y＝f(x)在P(x，y)处的切线的斜率，其切线方程为y－y＝f′(x)(x－x0)．2．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x处的导数f′(x)；(2)根据直线的点斜式方程得切线方程y－y0＝f′(x(x－x)．特别警示：求曲线的切线要注意“过点P的切线〞与“在点P处的切线〞的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．[例3](1)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，曲线C在点P处的切线斜率为2，那么点P的坐标为________．(2)曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).①求曲线在点P(2,4)处的切线方程；②求曲线过点P(2,4)的切线方程；③求斜率为4的曲线的切线方程．[思路探究]求曲线的切线方程方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程．[课堂记录](1)由y′＝3x2－10＝2可解得x＝±2，∵切点P在第二象限内，∴x＝－2，由此可得点P的坐标为(－2,15)．(2)①∵P(2,4)在曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)上，且y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.②设曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，eq\f(1,3)x03＋eq\f(4,3))，那么切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x02.∴切线方程为y－(eq\f(1,3)x03＋eq\f(4,3))＝x02(x－x0)，即y＝x02·x－eq\f(2,3)x03＋eq\f(4,3).∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x02－eq\f(2,3)x03＋eq\f(4,3)，即x03－3x02＋4＝0，∴x03＋x02－4x02＋4＝0，∴x02(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.③设切点为(x0，y0)，那么切线的斜率k＝x02＝4，x0＝±2.切点为(2,4)或(－2，－eq\f(4,3))，∴切线方程为y－4＝4(x－2)或y＋eq\f(4,3)＝4(x＋2)，即4x－y－4＝0或12x－3y＋20＝0.[思维拓展]利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数函数值也就是切线的斜率．即切点坐标可求切线斜率，斜率可求切点的坐标．即时训练设即时训练设f(x)＝xlnx＋1，假设f′(x0)＝2，那么f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为________．解析：因为f(x)＝xlnx＋1，所以f′(x)＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝lnx＋1.因为f′(x0)＝2，所以lnx0＋1＝2，解得x0＝e，y0＝e＋1.由点斜式得，f(x)在点(e，e＋1)处的切线方程为y－(e＋1)＝2(x－e)，即2x－yx－y－e＋1＝0.答案：2x－y－e＋1＝0热点之四导数的物理意义[例4]有一架长度为5米的梯子贴靠在垂直的墙上，假设其下端沿地板3米/秒的速度离开墙脚而滑动，那么：(Ⅰ)当其下端离开墙脚1.4米时，梯子上端下滑的速度是多少？(Ⅱ)何时梯子的上、下端能以相同的速度移动？(Ⅲ)何时其上端下滑的速度为4米/秒？[思路探究]利用条件可以建立一个距离对时间的函数，即一个实际中的位移函数，由导数的物理意义可知所求的速度即是该函数在这一时刻的导数．[课堂记录]设在时刻t秒时梯子上端距开始位置的距离为s米，梯子下端离开墙角的距离为x米，那么x＝3t，s＝5－eq\r(25－x2)＝5－eq\r(25－9t2)，∴st′＝eq\f(9t,\r(25－9t2)).∴(Ⅰ)当x＝1.4米，即3t＝1.4时，st′＝eq\×3,2))＝0.875(米/秒)．(Ⅱ)令st′＝3得eq\f(9t,\r(25－9t2))＝3，解得t＝eq\f(5\r(2),6).∴在时刻eq\f(5\r(2),6)秒时，梯子的上、下端能以相同的速度移动．(Ⅲ)令st′＝4得eq\f(9t,\r(25－9t2))＝4，解得t＝eq\f(4,3)，故在时刻eq\f(4,3)秒时，梯子上端下滑的速度为4米/秒．即时训练旗杆高10m，一人以每秒3m的速度向旗杆前进，当此人距杆脚5m时，他与杆顶的距离改变率如何(此人的身高不计)?解：设从杆脚5m向杆前进，时间为t秒时该人距杆顶的距离为s，那么s＝eq\r(102＋(5－3t)2)，所以s′＝eq\f(2(5－3t)·(－3),2\r(102＋(5－3t)2))，而所要求的改变率为在5m处时的情况，即t＝0，所以s′(0)＝eq\f(－15,\r(125))＝－eq\f(3\r(5)