导数与函数测试题

《导数与函数》测试题(时间120分钟，总分值150分)一、选择题(共12个小题，每题5分，总分值60分)1．函数的导数是〔C〕A.B.C.D.2．函数的一个单调递增区间是〔A〕A.B.C.D.3．函数f(x)＝eq\f(lnx－2x,x)的图象在点(1，－2)处的切线方程为(D)A．2x－y－4＝0B．2x＋y＝0C．x＋y＋1＝0 D．x－y－3＝04．f〔x〕=x2+2x·f＇〔1〕，那么f＇〔0〕等于〔B〕.A.–2B.–4C.2D.05．假设函数在内有极小值，那么〔A〕A.B.C.D.6.函数f(x)＝2x4－3x2＋1在区间[eq\f(1,2)，2]上的最大值和最小值分别是(A)A．21，－eq\f(1,8)B．1，－eq\f(1,8)C．21,0D．0，－eq\f(1,8)7.对于R上可导的任意函数f〔x〕，假设满足〔x﹣1〕f′〔x〕≥0，那么必有〔D〕A．B．C．D．8.如下图，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，那么H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是(B)9.设动直线与函数，的图象分别交于点、，那么的最小值为〔A〕A.B．C．D．10.函数f(x)＝x2－2x＋1＋alnx有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，那么实数a的取值范围为(D)A．(－∞，eq\f(1,2))B．(0，eq\f(1,2)]C．(eq\f(1,2)，＋∞) D．(0，eq\f(1,2))11.f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(3)＞0；④f(0)f(3)＜0.其中正确结论的序号是(C)A．①③B．①④C．②③D．②④12.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，当时，且那么不等式的解集是(D)A．B．C．D．.二填空题(共4个小题，每题5分，总分值20分)13．过点的直线与曲线相切，切线方程为y=0或27x-4y-27=0。14、直线y=a与函数f〔x〕=x3－3x的图象有三个互不相同的公共点，那么a的取值范围是〔-2，2〕.15.假设函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)＞1，那么不等式f(x)－x＞0的解集为_____(2，＋∞)___.16.函数在区间上有最小值，那么实数的取值范围是三解答题(共6个小题，总分值70分)17．(此题总分值12分)函数.(1)设,求函数的极值；(2)在(1)的条件下,假设函数.(其中为的导数)在区间(1,3)上不是单调函数,求实数m的取值范围.解:(1)当时,,,∴函数的单调递减区间为QUOTE0,12,单调递增区间为QUOTE12,+∞.∴函数的极小值是,无极大值.(2),∴,∵g(x)在区间(1,3)上不是单调函数,且,∴QUOTEg'(1)<0,g'(3)>0,，∴QUOTE4+2∴m的取值范围是QUOTE-103,-2.18.(此题总分值12分)函数f(x)＝ex－kx2，x∈R.假设f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，试求k的取值范围.[解析]方法一(别离参数法)：f′(x)＝ex－2kx.当x＞0时，由ex－2kx≥0，得k≤eq\f(ex,2x)在(0，＋∞)上恒成立，令p(x)＝eq\f(ex,2x)，那么有k≤p(x)min，那么p′(x)＝eq\f(exx－1,2x2)，令p′(x)＝0，解得x＝1，列表如下：x(0,1)1(1，＋∞)p′(x)－0＋p(x)极小值故函数p(x)在x＝1处取得极小值，亦即最小值．因为p(x)min＝p(1)＝eq\f(e,2)，所以k≤eq\f(e,2)，故实数k的取值范围是(－∞，eq\f(e,2)]．方法二(分类讨论法)：f′(x)＝ex－2kx，假设k≤0，显然f′(x)＞0，那么f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；记φ(x)＝ex－2kx，那么φ′(x)＝ex－2k，当0＜k＜eq\f(1,2)时，因为ex＞e0＝1,2k＜1，所以φ′(x)＞0，那么φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，于是f′(x)＝φ(x)＞φ(0)＝1＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当k≥eq\f(1,2)时，φ(x)＝ex－2kx在(0，ln(2k))上单调递减，在(ln(2k)，＋∞)上单调递增，于是f′(x)＝φ(x)≥φ(ln(2k))＝eln(2k)－2kln(2k)，由eln(2k)－2kln(2k)≥0，得2k－2kln(2k)≥0，那么eq\f(1,2)≤k≤eq\f(e,2).综上所述，k的取值范围是(－∞，eq\f(e,2)]．19.(此题总分值12分)某商场销售某种商品的经验说明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)假设该商品的本钱为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【解答】(1)因为x＝5时，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10x－62))＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.从而f′(x)＝10eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－62＋2x－3x－6))＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．20．(此题总分值12分)函数，，〔1〕证明：当时，恒有〔2〕当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围;解：〔1〕设，那么=，当时，，所以函数在〔0，单调递增，又在处连续，所以，即，所以。〔2〕设，那么在〔0，恒大于0，，，的根为0和即在区间〔0，上，的根为0和假设，那么在单调递减，且，与在〔0，恒大于0矛盾；假设，在〔0，单调递增，且，满足题设条件，所以，所以。21．(此题总分值12分)函数.(1)假设，求曲线在处切线的斜率；(2)求的单调区间；(3)设，假设对任意，均存在，使得，求的取值范围.解：(1)由，.故曲线在处切线的斜率为.(2).①当时，由于，故，，所以函数的单调递增区间为(0，+∞)②当时，由，得.在区间内，；在区间内，，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为QUOTE(-1a，+∞).(3)由，转化为，.由(2)知，当时，函数在上单调递增，值域为R，故不符合题意.(或者举出反例：存在，故不符合题意.)当时，函数在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，，所以，解得.22.(