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第一节级数的基本性质一、复数项级数二、复变函数项级数三、幂级数一、复数项级数1.

复数序列及其极限复数序列收敛的等价条件即注例1下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.例1下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.例1下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.而解

例2所以数列发散.2.

复数项级数2.

复数项级数注：注：说明:与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:复数项级数收敛的等价条件复数项级数收敛的必要条件复数项级数收敛的等价条件复数项级数收敛的必要条件例4解级数满足必要条件,但例5解例5解3.柯西准则定理4.1.1(复序列的柯西准则)定理4.1.2(复级数的柯西准则)3.柯西准则定理4.1.1(复序列的柯西准则)定理4.1.2(复级数的柯西准则)4.绝对收敛，柯西乘积定理4.1.3例6故原级数收敛,且为绝对收敛.因为所以由正项级数的比式判别法知:解例6故原级数收敛,且为绝对收敛.因为所以由正项级数的比式判别法知:解例6故原级数收敛,且为绝对收敛.因为所以由正项级数的比式判别法知:解故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛.例7解二、复变函数项级数1.

一致收敛定义4.1.1定义4.1.1定义4.1.1定理4.1.4定理4.1.5(维尔斯特拉斯判别法)注：2.

一致收敛的级数(或序列)的性质定理4.1.62.

一致收敛的级数(或序列)的性质定理4.1.6定理4.1.7定理4.1.7定义4.1.2注如定理4.1.8定理4.1.8证三、幂级数幂级数的定义三、幂级数幂级数的定义1.

关于幂级数的阿贝尔(Abel)第一定理定理4.1.9证2.

幂级数的收敛圆例如,级数通项不趋于零,故级数发散.例如,级数对任意固定的z,从某个n开始,总有于是有故该级数对任意的z均收敛...收敛圆收敛半径问题1：答案:问题2：答案:在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.问题1：答案:问题2：答案:在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.问题1：答案:问题2：答案:在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.定义:正数R称为幂级数的收敛半径.定理4.1.10例8解3.

幂级数和的解析性质定理4.1.11

3

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