对数与对数函数考点解读

根底梳理1．对数的概念(1)对数的定义一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b〞记作loga，即b＝logaN(a＞0，且a≠1)．其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a＞0且a≠1)log常用对数底数为10lgN自然对数底数为eln_N2.对数的性质与运算法那么(1)对数的性质①alogaN＝N；②logaaN＝N(a＞0且a≠1)．(2)对数的重要公式①换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推广logab·logbc·logcd＝logad.(3)对数的运算法那么如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM.3．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象续表性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)当x＞1时，y＞0当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数4.反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．一种思想对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法那么都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．两个防范解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)).四种方法对数值的大小比拟方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化同真数后利用图象比拟．双基自测1．(2023·四川)2log510＋log50.25＝()．A．0B．1解析原式＝log5100＋log50.25＝log525＝2.答案C2．(人教B版教材习题改编)a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，那么a，b，cA．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜a＜b解析将三个数都和中间量1相比拟：0＜a＝log0.70.8＜1，b＝log1.10.9＜0，c＝1.10.9答案C3．(2023·黄冈中学月考)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()．A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)解析设y＝f(x)，t＝3x＋1.那么y＝log2t，t＝3x＋1，x∈R.由y＝log2t，t>1知函数f(x)的值域为(0，＋∞)．答案A4．(2023·汕尾模拟)以下区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是()．A．(－∞，1]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(4,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))D．[1,2)解析法一当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x≤1，即1≤x＜2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增，应选D.法二f(x)＝|ln(2－x)|的图象如下图．由图象可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，应选D.答案D5．假设logaeq\f(2,3)>1，那么a的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))考向一对数式的化简与求值【例1】►求值：(1)eq\f(log89,log23)；(2)(lg5)2＋lg50·lg2；(3)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245).[审题视点]运用对数运算法那么及换底公式．解(1)原式＝eq\f(log2332,log23)＝eq\f(2,3).(2)原式＝(lg5)2＋lg(10×5)lgeq\f(10,5)＝(lg5)2＋(1＋lg5)(1－lg5)＝(lg5)2＋1－(lg5)2＝1.(3)法一原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)×eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).法二原式＝lgeq\f(4\r(2),7)－lg4＋lg(7eq\r(5))＝lgeq\f(4\r(2)×7\r(5),7×4)＝lgeq\r(10)＝eq\f(1,2).对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化．【训练1】(1)假设2a＝5b＝10，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值．(2)假设xlog34＝1，求4x＋4－x的值．解(1)由a＝log210，b＝log510，那么eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝lg2＋lg5＝lg10＝1.(2)由x＝log43，那么4x＋4－x＝4log43＋4－log43＝3＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3).考向二对数值的大小比拟【例2】►f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(logeq\f(1,2)3)，c＝f(0.2－0.6)，那么a，b，c的大小关系是()．A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．a＜b＜c[审题视点]利用函数单调性或插入中间值比拟大小．解析logeq\f(1,2)3＝－log23＝－log49，b＝f(logeq\f(1,2)3)＝f(－log49)＝f(log49)，log47＜log49,0.2－0.6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))－eq\f(3,5)＝eq\r(5,125)＞eq\r(5,32)＝2＞log49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f(0.2－0.6)＜f(logeq\f(1,2)3)＜f(log47)，即c＜b＜a，应选B.答案B一般是同底问题利用单调性处理，不同底问题的处理，一般是利用中间值来比拟大小，同指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决．【训练2】(2023·全国)设a＝log32，b＝ln2，c＝5－eq\f(1,2)，那么()．A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜a解析法一a＝log32＝eq\f(1,log23)，b＝ln2＝eq\f(1,log2e)，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c＝5－eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(5))，而eq\r(5)＞2＝log24＞log23，所以c＜a，综上c＜a＜b，应选C.法二a＝log32＝eq\f(1,log23)，b＝ln2＝eq\f(1,log2e)，1＜log2e＜log23＜2，∴eq\f(1,2)＜eq\f(1,log23)＜eq\f(1,log2e)＜1；c＝5－eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(5))＜eq\f(1,\r(4))＝eq\f(1,2)，所以c＜a＜b，应选C.答案C考向三对数函数性质的应用【例3】►函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在[0,1]上是关于x的减函数，假设存在，求a的取值范围．[审题视点]a＞0且a≠1，问题等价于在[0,1]上恒有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1,2－ax＞0)).解∵a＞0，且a≠1，∴u＝2－ax在[0,1]上是关于x的减函数．又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是关于x的减函数，∴函数y＝logau是关于u的增函数，且对x∈[0,1]时，u＝2－ax恒为正数．其充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1,2－a＞0))，即1＜a＜2.∴a的取值范围是(1,2)．研究函数问题，首先考虑定义域，即定义域优先的原那么．研究复合函数的单调性，一定要注意内层与外层的单调性问题．复合函数的单调性的法那么是“同增异减〞．此题的易错点为：易忽略2－ax＞0在[0,1]上恒成立，即2－a＞0.实质上是忽略了真数大于0的条件．【训练3】f(x)＝log4(4x－1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域．解(1)由4x－1>0解得x>0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)设0<x1<x2，那么0<4x1－1<4x2－1，因此log4(4x1－1)<log4(4x2－1)，即f(x1)<f(x2)，f(x)在(0，＋∞)上递增．(3)f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上递增，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，f(2)＝log415，因此f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域为[0，log415]．难点突破5——与指数、对数函数求值问题有关的解题根本方法指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道选择或填空题，考查其图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要