高中数学必修一高一数学第四章(第课时)任意角的三角函数()公开课教案课件课时训练练习教案课件

课题：4.3任意角的三角函数（二）教学目的：1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.教学重点：三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数值相等教学难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离2．比值叫做的正弦记作：比值叫做的余弦记作：比值叫做的正切记作：比值叫做的余切记作：比值叫做的正割记作：比值叫做的余割记作：以上六种函数，统称为三角函数.3.突出探究的几个问题：①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用③三角函数是以“比值”为函数值的函数④而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.⑤定义域：RR4.注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.(2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样.(4)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与的终边位置无关.(5)比值只与角的大小有关.二、讲解新课：1.三角函数在各象限内的符号规律：第一象限：∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第二象限：∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第三象限：∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第四象限：∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.为正全正为正为正2.终边相同的角的同一三角函数值相等例如390°和-330°都30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390°=sin30°cos390°=cos30°sin(-330°)=sin30°cos(-330°)=cos30°诱导公式一（其中）:用弧度制可写成这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．三、讲解范例：例1确定下列三角函数值的符号(1)cos250°（2）（3）tan（－672°）(4)解：(1)∵250°是第三象限角∴cos250°＜0(2)∵是第四象限角，∴(3)tan（－672°）＝tan（48°－2×360°）＝tan48°而48°是第一象限角，∴tan（－672°）＞0(4)而是第四象限角，∴.例2求证角θ为第三象限角的充分必要条件是证明：必要性：∵θ是第三象限角，∴充分性：∵sinθ＜0，∴θ是第三或第四象限角或终边在ｙ轴的非正半轴上∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.∴θ为第三象限角.例3求下列三角函数的值(1)sin1480°10′(2)（3）.解:(1)sin1480°10′＝sin（40°10′＋4×360°）＝Sin40°10′＝0.6451(2)(3)例4求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tg4950°．解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tg(360°+135°)．=sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tg135°=-1=0四、课堂练习：1.确定下列各式的符号(1)sin100°·cos240°(2)sin5+tan5分析:由角所在象限分别判断两个三角函数值的符号,再确定各式的符号.解(1)∵100°是第二象限的角,240°是第三象限的角.∴sin100°＞0,cos240°＜0,于是有sin100°·cos240°＜0.(2)∵∴5是第四象限的角∴sin5＜0,tan5＜0,于是有sin5+tan5＜0.2..x取什么值时,有意义?分析：因为正弦、余弦函数的定义域为R，故只要考虑正切函数的定义域和分式的分母不能为零.解:由题意得解得:即:所以,当时，有意义.3．若三角形的两内角，满足sincos0，则此三角形必为……（B）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上三种情况都可能4．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（B）A：sin+cos0B：tansin0C：coscot0D：cotcsc05．已知是第三象限角且，问是第几象限角？解：∵∴则是第二或第四象限角又∵则是第二或第三象限角∴必为第二象限角6．已知，则为第几象限角？解：由∴sin20∴2k22k+∴kk+∴为第一或第三象限角五、小结本节课我们重点讨论了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一组公式，两者的作用分别是：前者确定函数值的符号，后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数，这两个内容是我们日后学习的基础.六、课后作业：1.确定下列三角函数值符号：2.化简.解法一：(定义法)设点P(x,y)是角α终边上的一点，且|OP|=r,则将sinα=,cosα=,tanα=,cotα=代入得：原式=解法二：(化弦法)原式=解法三：(换元法)设cos2α=a,则sin2α=1-a,tan2α=,代入得原式评注：“切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义、换元方法，使得三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想.七、板书设计（略）八、课后记：已知sin3α+cos3α=1,求下列各式的值：(1)sinα+cosα；(2)sin4α+cos4α分析：对已知式的左边利用代数公式进行变形，使原式转化为关于sinα+cosα的方程，然后求解.(1)解法一：∵(sinα+cosα)3=sin3α+3sin2αcosα+3sinαcos2α+cos3α=(sin3α+cos3α)+3(1-cos2α)cosα+3(1-sin2α)sinα=1+3cosα-3cos3α+3sinα-3sin3α=1+3(sinα+cosα)-3(sin3α+cos3α)=3(sinα+cosα)-2.∴(sinα+cosα)3-3(sinα+cosα)+2=0.令sinα+cosα=t,则t3-3t+2=0(t-1)2(t+2)=0.∴t=1或t=-2即sinα+cosα=1或sinα+cosα=-2(舍去).解法二：∵sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos2α)=(sinα+cosα)(1-sinαcosα).∴(sinα+cosα)(1-sinαcosα)=1.注意到sinαcosα可用sinα+cosα表示，并令sinα+cosα=t,则sinαcosα=,故上式化为t(1-)=1t3-3t+2=0.(下同解法一).(2)解：∵sinα+cosα=1，∴(sinα+cosα)2=1sinαcosα=0.故sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-2sin2αcos2α=1.评注：对于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα三个式子，只要已知其中一个的值，都可计算另外两个的值.下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：

1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”

主持人口述谜语：

“双手抓不起，一刀劈不开，

煮饭和洗衣，都要请它来。”

主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”

主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。

水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”

甲：如果没有水，我们人类就无法生存。

小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。

花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。

主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》

竹板一敲来说话，水的用处真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，

煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。

栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；

鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；

采煤发电要靠它，京城美化更要它。

主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？

甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。

乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。

丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。

2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？

（1）（生）：我要节约用水，保护水源。

（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。

（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。

3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。

（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。

（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。

（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）

（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？

主持人：可以，大家欢迎！请看小品《这又不是我家的》

大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”

旁白：“那又是谁家的呢？”

主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？

甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。

乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。

主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？

齐：主动关好。

小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？

主持人：可以。

小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？

答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。

小记者：请这位同学谈谈好吗？

答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。

小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！

水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！

主持人：你们还有发言的吗？

答：有。

生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。

动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！

花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同学们的笑声不断。

主持人：水伯伯，您这是干什么呢？

水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！

主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！

4.主持人：大家欢迎老师讲话！

同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。

5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。

6.活动效果：

此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵

活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：

1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”

主持人口述谜语：

“双手抓不起，一刀劈不开，

煮饭和洗衣，都要请它来。”

主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”

主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。

水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”

甲：如果没有水，我们人类就无法生存。

小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。

花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。

主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》

竹板一敲来说话，水的用处真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，

煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。

栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；

鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；

采煤发电要靠它，京城美化更