导函数含参问题的基本讨论点

导函数含参问题的根本讨论点1、求导后，考虑导函数为零是否有实根〔或导函数的分子能否分解因式〕，从而引起讨论。例1：设，函数，试讨论函数的单调性。2、求导后，导函数为零有实根〔或导函数的分子能分解因式〕，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。例2：是实数，函数。〔1〕求函数的单调区间；〔2〕设为在区间上的最小值。=1\*GB3①写出的表达式；=2\*GB3②求的取值范围，使得。3、求导后，导函数为零有实根〔或导函数的分子能分解因式〕，导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。例3：函数，其中。〔1〕当时，求曲线在点处的切线方程；〔2〕当时，求函数的单调区间与极值。例4：设函数，其中，求函数的极值点。练习1：函数，其中常数，是奇函数。〔1〕求的表达式；〔2〕讨论的单调性，并求在区间上的最大值和最小值。练习2：函数。〔I〕当时，求曲线在点处的切线方程；〔2〕当时，讨论的单调性。练习3：函数。〔1〕当时，讨论的单调性；〔2〕设，当时，假设对任意，存在，使不等式成立，求实数的取值范围。导函数含参问题的根本讨论点1、求导后，考虑导函数为零是否有实根〔或导函数的分子能否分解因式〕，从而引起讨论。解：对于，分段进行研究。对于，对分类：当时，，∴函数在上是增函数；当时，，令，得或〔舍〕，函数在上是减函数，在上是增函数；对于，，对分类：当时，，函数在上是减函数；当时，由，解得；函数在上是减函数，在上是增函数。2、求导后，导函数为零有实根〔或导函数的分子能分解因式〕，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。解：〔1〕函数的定义域为，，由得。考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论。当时，那么在上恒成立，所以的单调递增区间为；当时，由，得；由，得；因此，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。〔2〕=1\*GB3①由第〔1〕问的结论可知：当时，在上单调递增，从而在上单调递增，所以；当时，在上单调递减，在上单调递增，所以：当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；当，即时，在上单调递减，所以；综上所述，=2\*GB3②令。假设，无解；假设，由解得；假设，由解得。综上所述，的取值范围为。3、求导后，导函数为零有实根〔或导函数的分子能分解因式〕，导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。解：〔1〕当时，曲线在点处的切线方程为；〔2〕由于，所以，由，得。这两个实根都在定义域内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数的取值分和两种情况进行讨论。当时，那么。易得在区间，内为减函数，在区间为增函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。当时，那么。易得在区间，内为增函数，在区间为减函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。点评：以上三点即为含参数导数问题的三个根本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。例4：设函数，其中，求函数的极值点。解：由题意可得的定义域为，，的分母在定义域上恒为正，方程是否有实根，需要对参数的取值进行讨论。当，即时，方程无实根或只有唯一根，所以在上恒成立，那么在上恒成立，所以函数在上单调递增，从而函数在上无极值点。当，即时，方程，即有两个不相等的实根：。这两个根是否都在定义域内呢？又需要对参数的取值分情况作如下讨论：当时，，所以。此时，与随的变化情况如下表：由此表可知：当时，有唯一极小值点。当时，，所以。此时，与随的变化情况如下表：由此表可知：当时，有一个极大值点和一个极小值点。综上所述：当时，有唯一极小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点；当时，无极值点。练习1：练习2：解：〔1〕当时，，所以因此，曲线在点处的切线方程为；〔2〕因为，所以，，令当所以，当，函数单调递减；当时，，此时单调递；当，即，解得当时，恒成立，此时，函数在上单调递减；当时，单调递减；时，单调递增；，此时，函数单调递减；当时，由