直观理解欧拉公式

直观理解欧拉公式欧拉的身份似乎莫名其妙：ei兀=—1它来自一个更通用的公式：ei兀=cos(x)+isin(x)Yowz——我们将一个虚指数与正弦和余弦联系起来！并以某种方式插入pi给出-1?这可能是直观的吗？不是根据1800年代数学家BenjaminPeirce的说法：这绝对是自相矛盾的；我们无法理解它，我们不知道它的含义，但我们已经证明了它，因此我们知道它一定是真理。啊啊啊，这态度让我热血沸腾！公式不是需要记住的魔法：我们必须，必须，必须找到洞察力。这是我的：欧拉公式描述了两种等价的圆周运动方式。就是这样?这个惊人的方程式是关于旋转的?是的——我们可以通过一些类比来理解它：从数字1开始，将乘法视为改变数字的变换：1•eiK规则指数增长在一段时间内以某种速度持续增加1；虚指数增长在一段时间内连续旋转1为“pi”单位时间增长意味着围绕圆圈旋转pi弧度所以，1•鉀意味着从1开始并旋转pi(绕一圈的一半)到-1这是高级视图，让我们深入了解细节。顺便说一句，如果有人试图给你留下深刻印象ei兀=—1，向他们询问i的i次幕。如果他们想不通，欧拉公式对他们来说仍然是一个神奇的咒语。更新：在写作时，我认为可能有助于更清楚地解释这些想法：理解cos(x)+i*sin(x)等号过载。有时我们的意思是“将一件事设置为另一件事”(例如x=3),而其他人的意思是“这两件事描述相同的概念”(例如V-1=i)o欧拉公式是后者：它给出了两个公式来解释如何做圆周运动。如果我们使用三角函数检查圆周运动，并以x弧度移动：•sin(x)是y坐标(垂直距离)该声明cos(x)+isin(x)是一种将x和y坐标粉碎成单个数字的巧妙方法。类比“复数是二维的”帮助我们将单个复数解释为圆上的位置。当我们将x设置为n，我们在旅行n单位圆外的单位。因为总周长是2n,老样子n已经过了一半，让我们处于-1。Neato：欧拉公式的右边(cos(x)+isin(x))用虚数描述圆周运动。现在让我们弄清楚等式的e边是如何完成它的。什么是想象增长？将x和y坐标组合成一个复数很棘手，但很容易管理。但是虚指数是什么意思呢？让我们退后一步。当我看见，我是这样想的：3是以In⑶的速率即时增长（使用e）的最终结果。换句话说3二e呻）：34与增长到3相同，但随后增长了4倍。所以34=e吨）・4二81您可以将数字视为必须“成长”的东西，而不是单独看到数字。实数，如3，给出的利率为In（3）=1.1，这就是e在它进行时“收集”的，并且不断增长。定期增长很简单：它不断“推动”一个数字朝着它原来的方向前进。3X3向原始方向推动，使其大3倍（9）。想象的增长不一样：我们赚的“利息”方向不同！它就像一个被绑在侧面的喷气发动机——我们不是向前推进，而是开始以90度角推进。恒定正交（垂直）推动的巧妙之处在于它不会使您加速或减慢您的速度——它会旋转您！取任何数字并乘以i不会改变它的大小，只会改变它指向的方向。直觉上，我是这样看待连续的假想增长率的：“当我成长时，不要在我已经前进的方向上推动我前进或后退。而是旋转我。”但是我们不应该越来越快地旋转吗？我也想知道。常规增长复合我们原来的方向，所以我们去1、2、4、8、16，每次乘以2倍并保持实数。我们可以考虑这个em(2)x，这意味着在“x”秒内以ln(2)的速度立即增长。嘿——如果我们的增长率是两倍快，2ln(2)vsln(2)，它看起来就像增长了两倍(2xvsx)。e的魔力让我们交换速率和时间；ln(2)处的2秒与2ln(2)处的1秒增长相同。现在，假设我们有一些纯虚构的增长率(Ri)，它会旋转我们直到达到i,或向上90度。如果我们将这个比率加倍到2Ri会发生什么，我们会脱离这个圆圈吗？不！具有2Ri的速率意味着我们只是以两倍的速度旋转，或者以R的速率旋转两倍的时间但我们仍停留在圆圈上。旋转两倍的时间意味着我们现在面对180度。一旦我们意识到某种指数增长率可以将我们从1带到i,那么增加该增长率只会使我们旋转得更多。我们永远也逃不出这个圈子。然而，如果我们的增长率是复数(a+bivsRi)，那么实部⑻会像往常一样增长，而虚部(bi)会旋转我们。但我们不要幻想：欧拉公式，eix,是关于让我们留在圈子里的纯粹想象的增长(稍后会详细介绍)。快速健全性检查在写作的过程中，我不得不为自己澄清几个问题：为什么使用ex，我们不是在旋转数字1吗？e表示从1开始并在1个单位时间内以100%的利率持续增长的过程。当我们写e时，我们用一个数字来捕捉整个过程一一e代表了持续增长的所有完整细节。所以真的，ex是说“从1开始，并在x秒内以100%的速度持续增长”，然后像我们想要的那样从1开始。但是作为指数的i是做什么的？对于像这样的常规指数34我们问：什么是隐含增长率？我们从1增长到3(指数的底数)。我们如何改变这种增长率？我们将其缩放4倍(指数的幕)。我们可以将我们的增长转换为“e”格式：我们的瞬时增长率是ln(3)，我们将其增加到ln(3)4。同样，指数(4)的幕只是缩放了我们的增长率。

34=eln(3)・4=(eln(3))4当最高指数为i时(如3i),我们只需将隐含增长率乘以io因此，我们不是以普通的In⑶增长，而是以ln(3)*i增长。3i=eln(3)・i=(eln(3))i指数的顶部修改了底部的隐含增长率。详细信息让我们仔细看看。记住e的这个定义:e=ee=eioo%=lim(1+ns1oo%那代表我们在每个微观时期赚取的部分利息。我们假设实际维度上的利率是100%――但是如果它在虚方向上是100%呢？eioo%・ieioo%・i=lim(1+ns1oo%•i现在，我们新形成的兴趣增加了我们在90度方向上的兴趣。令人惊讶的是，这并没有改变我们的长度一一这是一个棘手的概念，因为它似乎构成了一个斜边必须更大的三角形。我们正在处理一个限制，额外的距离在我们指定的误差范围内。这是我想改天解决的问题，但请相信我的话：持续的垂直增长会让你旋转。这是正弦和余弦的核心，你的变化垂直于你当前的位置，你在一个圆圈中移动。我们以无限小的增量应用i个增长单位，每个单位都以90度角推动我们。没有“越来越快”的旋转——相反，我们沿着圆周爬行了|i|的距离。=1(i的大小)。嘿-绕圆爬行的距离是以弧度为单位的角度！我们找到了另一种描述圆周运动的方法！获得圆周运动：通过以90度角(又名假想增长率)旋转来不断变化。所以，欧拉的公式是说“指数的，想象的增长描绘出一个圆圈”。这条路径与在虚平面中使用正弦和余弦在圆中移动是一样的。在这种情况下，“指数”这个词令人困惑，因为我们以恒定的速度绕圆运动。在大多数讨论中，假设指数增长具有累积的复合效应。一些例子你不会真的相信我吧？这里有几个例子，以及如何直观地思考它们。例子：eix在哪里？啊，它只是1。直观地，不用计算器，我们知道这意味着“沿单位圆走1弧度”。在我的脑海中，我看到“e”试图在同一个方向上以100%的速度增长1,但我一直在移动球并迫使“1”沿着圆的边缘增长：ei=cos(1)+isin(1)=.5403+.8415i不是最漂亮的数字，但确实如此。请记住在输入时将计算器置于弧度模式。例子：3i这很棘手——它不是我们的标准格式。但要记住，3i=1•3i我们希望在周期结束时初始增长3倍，或ln(3)的瞬时速率。但是，i出现并将ln(3)的比率更改为"i*ln(3)"：3i=(eln(3))i=eln(3)・i我们认为我们将以ln(3)的常规速率进行转换，比100%连续增长快一点，因为e约为2.718。但是哦，不，我让我们转了一圈：现在我们正在以想象的速度转变，这意味着我们只是在旋转。如果我是一个像4这样的普通数字，它会让我们的增长速度提高4倍。现在我们以ln(3)的速度增长，但横向增长。我们应该期待单位圆上的复数——增长率不会增加我们的规模。求解方程：3i=eln(3)・i=cos(ln(3))+isin(ln(3))=.4548+.8906i所以，而不是在圆圈周围结束“1”个单位(比如)我们最终得到ln(3)个单位。例子：ii几个月前，这会让我泪流满面。今天不行！让我们分解一下转换：ii=1ii我们从1开始，想改变它。喜欢解决3i，以i为基数表示的瞬时增长率是多少？嗯。通常我们会做ln(x)来获得在1个单位时间结束时达到x所需的增长率。但是对于虚率？我们需要解决这个问题。为了从1开始并增长到i,我们需要从一开始就开始旋转。多快？好吧，我们需要在1个单位时间内获得90度(pi/2弧度)。所以我们的汇率是.请记住，我们的速率必须是虚构的，因为我们是在旋转，而不是在增长！朴素的老pi/2约为1.57并导致正常增长。这应该是有道理的：要在1个单位结束时将1.0变为i,我们应该旋转pi/2在那段时间内•兀的弧度(90度)。所以，为了得到“i”，我们可以使用e2.•注i=e2呼。这将i描述为基础。指数呢？好吧，另一个我告诉我们改变我们的费率——是的，我们花了很长时间才弄清楚这个费率！所以，而不是以速度旋转，这就是i的基数的意思，我们将比率转换为：兀 兀 兀i•i= •—i=——2 2 2i取消并再次使增长率变为真实！我们轮换了利率并将自己推向负数。负增长率意味着我们正在萎缩——我们应该期待使事情变小。它确实：ii=e~2〜.2多田！(在百度上搜索“Si”以使用其计算器)喘口气：您可以直观地弄清楚虚底和虚指数应该如何表现。哇。兀作为奖励，你想出了ln(i)--使ex变成i,让e旋转弧度。2例子：(Si)"双虚指数？如果你坚持。首先，我们知道括号内的增长率是多少：兀. 兀ii=(e2)i=e~i我们得到-pi/2的负(收缩)增长率。现在我们再次通过i修改该速率：兀. 兀.(ii)i=(e2)i=e2l兀现在我们有了一个负轮换！我们以1倍的速度绕圈~2每单位时间。我们去多久？嗯，在这个指数链的最顶端有一个隐含的“1”时间单位；隐含的默认值是使用1个时间单位(就e=ei像 )。1个时间单位给我们一个旋转-n/2弧度(-90度)或-i!(ii)i=—i而且，只是为了踢球，如果我们把这个疯狂的结果平方：((ii)i)2=—1它“只是”旋转了两倍：2是一个常规数字，因此在单位时间内将我们的旋转速率翻倍至-180度。或者，您可以将其视为连续两次应用-90度旋转。乍一看，这些是非常奇怪的指数。但是通过我们的类比，我们可以从容应对。复杂的增长我们可以同时拥有实数和虚数的增长：实数部分让我们放大，而虚数部分让我们旋转biImReal&ImaginaryGrowth1,0(initidlvalue)RealGrowth(Scaling}ImaigrnaryGrowth(RoUtion)k biImReal&ImaginaryGrowth1,0(initidlvalue)RealGrowth(Scaling}ImaigrnaryGrowth(RoUtion)k 已ia+biJScahng&RotationCombined像(a+bi)这样的复杂增长率是真实增长率和虚构增长率的混合。实部a表示“以100%的速度增长a秒”，虚部b表示“旋转b秒”请记住，旋转不会获得复合的好处，因为您一直在不同的方向“推动”——旋转会线性增加。ebi考虑到这一点，我们可以使用(a+bi)表示任何大小圆上的任何点！半径为角度由下式确定ebi.这就像将数字放入expand-o-tron两个循环：一次将其增长到正确的大小(a秒)，另一次将其旋转到正确的角度(b秒)。或者，您可以先旋转它，然后再成长!假设我们想知道达到6+8i的增长量。这实际上是在求一个虚数的自然对数：我们如何增加e以获得(6+8i)？半径：我们需要多大的圆？嗯，幅度是W十82=”100=10.这意味着我们需要增长ln(10)=2.3秒才能达到这个数量。旋转量：那个点的角度是多少？我们可以使用arctan来计算：atan(8/6)=53度=.93弧度。合并结果：ln(6+8i)=2.3+.93i也就是说，如果我们使用，我们可以到达随机点(6+8i)e2'3+'93i为什么这很有用？欧拉公式为我们提供了另一种描述圆周运动的方法。但是我们已经可以用正弦和余弦来做到这一点——有什么特别的？这都是关于视角的。正弦和余弦根据网格描述运动，绘制出水平和垂直坐标。TwoPaths,SameResult+isin(KTwoPaths,SameResult+isin(K)i