《金融工程学》第章电子教案

第八章期权定价的数法主要内容二叉树期权定价模型蒙特卡罗模拟有限差分方法第八章期权定价的数法二叉树模型的根本方法第八章期权定价的数法无套利定价法构造投资组合包括D份股票多头和1份看涨期权空头 当SuD–ƒu=SdD–ƒd，那么组合为无风险组合SuD–ƒuSdD–ƒd第八章期权定价的数法无套利定价法〔续〕组合在T时辰价值为 SuD–ƒu组合现值应为：(SuD–ƒu)e–rT组合现值的另外一个表达式为：SD–f因此：ƒ=SD–(SuD–ƒu)e–rT第八章期权定价的数法无套利定价法〔续〕将代入上式就可得到：

其中第八章期权定价的数法风险中性定价法在风险中性世界里：〔1〕一切可买卖证券的期望收益都是无风险利率；〔2〕未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下,参数值满足条件：同样可以推得：第八章期权定价的数法证券价钱的树型构造第八章期权定价的数法倒推定价法得到每个结点的资产价钱之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型构造图的末端T时辰开场往回倒推，为期权定价值得留意的是，假设是美式期权，就要在树型构造的每一个结点上，比较在本时辰提早执行期权和继续再持有时间，到下一个时辰再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。第八章期权定价的数法举例阐明假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,动摇率为每年40%，无风险延续复利年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期权协议价钱为50元，求该期权的价值。利用倒退定价法，可以推算出初始结点处的期权价值为4.48元。第八章期权定价的数法续为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月〔等于0.0833年〕。可以算出：第八章期权定价的数法美式看跌期权二叉树第八章期权定价的数法二叉树方法的普通定价过程以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权有效期划分成N个长度为的小区间，令表示在时间时第j个结点处的美式看跌期权的价值，同时用表示结点处的证券价钱，可得：后，假定期权不被提早执行，那么在风险中性条件下：第八章期权定价的数法支付延续红利率资产的期权定价当标的资产支付延续收益率为q的红利时，在风险中性条件下，证券价钱的增长率应该为r-q，因此：其中第八章期权定价的数法支付知红利率资产的期权定价假设时辰在除权日之前，那么结点处证券价钱仍为：假设时辰在除权日之后，那么结点处证券价钱相应调整为：对在期权有效期内有多个知红利率的情况，第八章期权定价的数法知红利额假设红利数额知且动摇率为常数时的二叉树图第八章期权定价的数法知红利额把证券价钱分为两个部分：一部分是不确定的，其价值用表示，而另一部分是期权有效期内一切未来红利的现值，假设在期权有效期内只需一次红利。第八章期权定价的数法利率是时间依赖的情形第八章期权定价的数法P=0.5的二叉树图第八章期权定价的数法三叉树图第八章期权定价的数法三叉树图:一些参数第八章期权定价的数法控制方差技术控制方差技术是数值方法的一个辅助技术，可以运用在二叉树模型、蒙特卡罗模拟和有限差分方法上。其根本原理为：期权A和期权B的性质类似，我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。第八章期权定价的数法顺应性网状模型在运用三叉树图为美式期权定价时，当资产价钱接近执行价钱时和接近到期时，用高密度的树图来取代原先低密度的树图。即在树图中那些提早执行能够性较大的部分，将一个时间步长进一步细分，如分为，每个小步长依然采用一样的三叉树定价过程，这样使得树图更好地反映了实践情形，从而大大提高了定价的效率和准确程度。第八章期权定价的数法隐含树图经过构建一个与目前市场上的期权价钱信息相一致的资产价钱树图，从而得到市场对标的资产价钱未来概率分布的看法。其详细方法是在二叉树图中，经过前一时辰每个结点的期权价钱向前推出〔留意不是倒推〕下一时辰每个结点的资产价钱和相应概率。第八章期权定价的数法二叉树定价模型的深化了解二叉树图模型的根本出发点在于：假设资产价钱的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价钱的延续运动能够遵照的途径。同时二叉树模型与风险中性定价原理相一致，即模型中的收益率和贴现率均为无风险收益率，资产价钱向上运动和向下运动的实践概率并没有进入二叉树模型，模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率，从而为期权定价。实践上，当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候，该模型将会收敛到延续的对数正态分布模型，即布莱克－舒尔斯偏微分方程。第八章期权定价的数法蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟是一种经过模拟标的资产价钱的随机运动途径得到期权价值期望值的数值方法，也是一种运用非常广泛的期权定价方法根本过程：蒙特卡罗模拟要用到风险中性定价原理，其根本思绪是：由于大部分期权价值实践上都可以归结为期权到期报答的期望值的折现，因此，尽能够地模拟风险中性世界中标的资产价钱的多种运动途径，计算每种途径结果下的期权报答均值，之后贴现可以得到期权价值。第八章期权定价的数法蒙特卡罗模拟的技术实现在风险中性世界中，为了模拟的途径，我们把期权的有效期分为N个长度为△t时间段，那么上式的近似方程为

或第八章期权定价的数法举例阐明假设无红利的股票价钱运动服从式〔8.12〕，年预期收益率为14％，收益动摇率为每年20％，时间步长为0.01年，那么根据式〔8.12〕有经过不断从规范正态分布样本中抽取的值，代入上式，我们可以得到股票价钱运动的一条途径。第八章期权定价的数法表：股票价钱模拟每步开始时的股票价格随机抽样值该时间步长中的股票价值变化20.0000.520.23620.2361.440.61120.847－0.86－0.32920.5181.460.62821.146－0.69－0.26220.883－0.74－0.280第八章期权定价的数法单个变量和多个变量的蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟的优点之一在于无论报答结果依赖于标的变量S所遵照的途径还是仅仅取决于S的最终价值，都可以运用这一方法。同时，这个过程也可以扩展到那些报答取决于多个标的市场变量的情况。第八章期权定价的数法当报答仅仅取决于到期时S的最终价值时可以直接用一个大步〔〕〔假设初始时辰为零时辰〕来多次模拟最终的资产价钱，得到期权价值：第八章期权定价的数法当报答依赖于多个市场变量时当存在多个标的变量时，每次模拟运算中对每个变量的途径都必需进展抽样，从样本途径进展的每次模拟运算可以得出期权的终值，假设期权依赖于n个变量,，其离散方式可以写成：第八章期权定价的数法随机利率的蒙特卡罗模拟假设期权模型中的变量之一本身就是短期无风险利率或是其他与有关的变量，例如利率衍消费品，那么蒙特卡罗模拟方法与前类似，只是要模拟风险中性世界中r的途径，每次模拟时既要计算r到期时终值相应带来的期权报答，又要计算期权有效期内r的平均值。最后折现的时候运用的贴现率是这个平均值，用数学符号表示为：第八章期权定价的数法随机样本的产生是服从规范正态分布的一个随机数。大多数程序文语都为抽取0到1之间的随机数编制了程序。假设只需一个单变量,那么可以经过下式获得：其中是0到1的相互独立的随机数。第八章期权定价的数法模拟运算次数确实定假设对估计值要求95％的置信度，那么期权价值应满足式中，为运算次数，为均值，是规范差，期权估计值的规范误差为：第八章期权定价的数法减少方差的技巧对偶变量技术控制方差技术重点抽样法间隔抽样法样本矩匹配法准随机序列抽样法树图取样法第八章期权定价的数法有限差分方法在金融界，有限差分方法越来越多地用在期权定价当中。其主要思想是：运用有限差分方法将衍生证券所满足的偏微分方程

转化为一系列近似的差分方程，即用离散算子逼近、和各项，之后用迭代法求解，

得到期权价值。第八章期权定价的数法有限差分方法的格点图第八章期权定价的数法隐性有限差分法隐性有限差分法可以了解为从格点图内部向外推知外部格点的期权价值，如下图：第八章期权定价的数法的近似对于坐标方格内部的点，期权价值对资产价钱的一阶导数可以用三种差分来表示：第八章期权定价的数法的近似对于点处的，我们那么采取前向差分近似以使时辰的值和时辰的值相关联：第八章期权定价的数法的近似这个二阶差分也是中心差分，其误差为第八章期权定价的数法差分方程把以上三个近似代入布莱克－舒尔斯偏微分方程，整理得到：其中：第八章期权定价的数法边境条件1.其中2.3.第八章期权定价的数法求解期权价值用方程差分方程和边境条件，我们可以写出联立方程：和，，第八章期权定价的数法显性有限差分法第八章期权定价的数法显性有限差分法其中第八章期权定价的数法有限差分方法和树图方法的比较分析有限差分方法和树图方法是相当类似的。实践上很多人以为树图方法就是解出一个偏微分方程的一种数值方法，而有限差分方法其实是这个概念的一个扩展和普通化。这两种方法都用离散的模型模拟资产价钱的延续运动，主要差别在于树图方法中包含了资产价钱的分散和动摇率情形，而有限差分方法中的格点那么是固定均匀的，只是参数进展了相应的变化，以反映改动了的分散情形。第八章