机械基础第五章：齿轮机构及其设计

第5章齿轮机构及其设计

内容应用及分类齿轮的齿廓及其啮合特点渐开线标准齿轮的参数和几何尺寸渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动渐开线齿廓的切制原理渐开线齿轮的变位修正斜齿圆柱齿轮传动蜗杆传动圆锥齿轮传动

重点渐开线直齿圆柱齿轮外啮合传动的基本理论和设计计算。作用：传递空间任意两轴（平行、相交、交错）的旋转运动，或将转动转换为移动。应用实例结构特点：圆柱体或圆锥体外（或内）均匀分布有大小一样的轮齿。§1齿轮机构的应用及分类优点：①传动比准确、传动平稳。②圆周速度大，高达300m/s。③传动功率范围大，从几瓦到10万千瓦。④效率高(η→0.99)、使用寿命长、工作安全可靠。⑤可实现平行轴、相交轴和交错轴之间的传动。缺点：要求较高的制造和安装精度，加工成本高、不适宜远距离传动(如单车)。平面齿轮传动（轴线平行）外齿轮直齿斜齿人字齿圆柱齿轮非圆柱齿轮

空间齿轮传动（轴线不平行）按相对运动分

按齿廓曲线分直齿斜齿曲线齿圆锥齿轮两轴相交两轴交错蜗轮蜗杆交错轴斜齿轮准双曲面齿轮渐开线齿轮(1765年)摆线齿轮(1650年)圆弧齿轮(1950年)按速度高低分:按传动比分:按封闭形式分：齿轮传动的类型高速、中速、低速齿轮传动。定传动比、变传动比齿轮传动。开式齿轮传动、闭式齿轮传动。球齿轮抛物线齿轮(近年)分类：内齿轮齿轮齿条齿轮机构的作用两轴平行两轴相交两轴交错齿轮齿条单击图像可播映动画直齿人字齿斜齿圆柱齿轮单击图像可播映动画直齿圆柱齿轮内齿轮外齿轮齿轮齿条单击图像可播映动画圆锥齿轮传动直齿斜齿曲线齿单击图像可播映动画两轴交错齿轮传动蜗轮蜗杆准双曲面齿轮交错轴斜齿轮单击图像可播映动画2ω21ω1椭圆齿轮某发动机传动系统单击图像可播映动画汽车差速器工作原理：§2齿廓啮合基本定律依靠主动齿轮轮齿的齿廓推动从动齿轮轮齿的齿廓来实现运动传递的。啮合：两条齿廓线相互接触。传动比：两齿轮的瞬时角速度之比。基本要求：保证瞬时传动比恒定。一、齿廓啮合基本要求问题？若传动比i12变化会有什么影响？

齿廓形状影响传动性能，若传动比变化

从动轮转速不均匀

惯性力、振动、噪音

传动精度。KPnn

P点？瞬心P12VP1

=

VP2

w1O1P=

w2O2P即:i12

=——=——w1w2O1PO2P齿廓啮合基本定律：二、齿廓啮合基本定律i12

=——=——w1w2O1PO2P传动比为常数的条件？推论——传动比恒定的条件KPnn不论两齿廓在何位置接触，过其接触点所作两齿廓的公法线均须与连心线交于一固定的点P（节点）——P为固定点两齿廓在任一位置接触时，过接触点所作的公法线必通过该接触点，它们的传动比等于连心线被该瞬时接触点所分两段线段的反比。1.节点三、相关概念PK节圆两齿廓接触点公法线nn与两齿轮连心线o1o2

相交于一定点P。2.节圆以o1和o2为圆心过节点所作的圆节圆半径传动时两节圆作何运动？为什么？

两节圆作纯滚动。因为节点P是两轮的同速点，即VP1

=

VP2，在P点没有相对速度3.中心距a当中心距一定时，两节圆半径在传动中是变值还是定值？节圆在描述齿轮传动中有何意义？两齿轮转动中心距离。定值，节圆作纯滚动。轭：两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走。共轭：按一定的规律相配的一对。共轭齿廓：凡满足齿廓啮合基本定律的一对齿轮的齿廓。共轭曲线：共轭齿廓的齿廓曲线。常用齿廓曲线：渐开线齿廓（1765年）摆线齿廓（1650年）圆弧线齿廓（1950年）抛物线齿廓（近年）KO1O2

1

2nnP§3渐开线及渐开线齿廓一、渐开线及其性质1、渐开线形成一条直线沿着半径为rb的圆作纯滚动时，直线上任意点K的轨迹称为该圆的渐开线发生线基圆F向径展角压力角aKaKqKK基圆半径

rbVKrKrb离中心越远，渐开线上的压力角越大。压力角αk：啮合时K点正压力方向与速度方向所夹锐角为渐开线上该点之压力角αk.。rb＝rkcosαk

OABkrkθkαkαkvkrb2、渐开线性质K（1）BK=BA.B发生线沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的圆弧长度。（2）渐开线上任意点法线恒与基圆相切。ArK（3）渐开线上各点的曲率半径不同，离基圆越远，其曲率半径越大，渐开线越平直。（4）渐开线的形状取决于基圆半径rb。B点为曲率中心，BK为曲率半径。渐开线起始点A处曲率半径为0。当rb→∞，变成直线。（5）基圆内无渐开线。▲推论:

同一基圆上两条渐开线间的公法线长度处处相等(等于两渐开线间的基圆弧长)。2、渐开线性质顺口溜弧长等于发生线，基圆切线是法线，曲线形状随基圆，基圆内无渐开线。BC’ACrbOEC”A1B1N1A2B2N2E2E1由性质①和②有：两条反向渐开线,AB

=AN1+N1B=A1N1+N1B1

=A1B1∴A1B1=A2B2AB

=AN2+N2B=A2N2+N2B2

=A2B2两条同向渐开线：B1E1=A1E1－A1B1B2E2=A2E2－A2B2B1E1=B2E2A1E1=A2E23、渐开线方程（1）rK

=———rbcosaK或cosaK=——

rKrb（2）

qK

=

∠NOA-

aK=———-

aKNArb=———-

aKNKrb=

tg

aK

-

aK

令：inv

aK

=

tg

aK

-

aK

..inv

aK称渐开线函数.渐开线方程:{rK

=———rbcosaKinv

aK=

tg

aK

-

aK.aKaKqKKrKrbONA已知aK如何求qK？——工程上查表求得二、渐开线齿廓的啮合特点1.啮合线为一直线啮合线—啮合点(在固定平面上)的轨迹线.

两齿廓所有接触点的公法线均重合,传动时啮合点沿两基圆的内公切线移动。2.传动比恒定公法线不变,节点P

为定点.速比

为定值.

i12

=——=

——w1w2O1PO2P作用力方向恒定传动比恒定N2N1ω2O2rb2O1ω1C1C2KK’Pα’啮合线与节圆公切线之间的夹角α’

。啮合角α’—α’恒等于就是节圆上的压力角问题：啮合角α’在数值上与哪个角相等？O1O2PP'O1O2'rb1rb2rb2rb13.中心可分离性i12

=——=——=——

w1w2O1PO2Prb1rb2i12'=——=——=——

w1w2'O1PO2'

Prb1rb2i12

=

i12'若中心距略有误差传动比不变rbO一、外齿轮1.名称与符号pn齿顶圆－

da、ra齿根圆－

df、rf齿厚－

sk

任意圆上的弧长齿槽宽－

ek

弧长齿距（周节）－

pk=sk+ek

同侧齿廓弧长齿顶高ha齿根高

hf齿全高

h=ha+hf齿宽－

BhahfhBpra分度圆－－人为规定的计算基准圆表示符号：d、r、s、e，p=s+e法向齿距（周节）－

pnseskek=pb§5－4

齿轮各部分名称及标准齿轮的基本尺寸pbrfrpkm=4z=162.基本参数②模数－m①齿数－z出现无理数,不方便为了计算、制造和检验的方便分度圆周长：πd=zp,d=zp/π称为模数m

。m=2z=16模数的单位：mm，它是决定齿轮尺寸的一个基本参数。齿数相同的齿轮，模数大，尺寸也大。于是有：

d=mz，r=mz/2人为规定：

m=p/π只能取某些简单值，m=1z=16

0.350.70.91.752.252.75(3.25)3.5(3.75)第二系列4.55.5(6.5)79(11)14182228(30)3645标准模数系列表（GB1357－87）

0.10.120.150.20.250.50.40.50.60.8第一系列11.251.522.5345681012162025324050为了便于制造、检验和互换使用，国标GB1357-87规定了标准模数系列。Orfrarbr速度方向正压力方向OωrbriBiKiN③分度圆压力角得:αi＝arccos(rb/ri)由

rb＝ricosαi定义分度圆压力角为齿轮的压力角：对于同一条渐开线：ri↓→αi

↓αb＝0α1AαiαiB1K1r1α由d=mz知：m和z一定时，分度圆是一个大小唯一确定的圆。规定标准值：α＝20°由db＝dcosα可知，基圆也是一个大小唯一确定的圆。称

m、z、α为渐开线齿轮的三个基本参数。对于分度圆大小相同的齿轮，如果α不同，则基圆大小将不同，因而其齿廓形状也不同。α是决定渐开线齿廓形状的一个重要参数。或rb＝rcosα，α＝arccos(rb/r)db＝dcosα齿轮各部分尺寸的计算公式：直线类：ha齿顶高：ha=ha*mr齿顶高系数:ha*短齿制：ha*＝0.8，c*＝0.3齿根高：hf=(ha*+c*)mhf顶隙系数:c*齿全高：h=ha+hfh=(2ha*+c*)m标准规定两种齿制：问题：为什么规定齿根高要比齿顶高大呢？正常齿：ha*＝1，c*＝0.25顶隙:c=c*mhahfhBprarfrpnpbrbO基圆直径：=mzcosαNαdb=dcosαse齿轮各部分尺寸的计算公式：圆类：分度圆直径：

d=mz齿顶圆直径：

da=d+2ha=(z+2ha*)m齿根圆直径：

df=d-2hf=(z-2ha*-2c*)m弧类：p=πm分度圆齿距：法向齿距：pn=pb=πdb/z=πmcosα=pcosα注意：分度圆，齿顶，齿根，齿距计算公式重要概念:分度圆:hahfhBprarfrpnpbrbONαse问题：分度圆与节圆的区别？齿轮上具有标准模数、标准压力角的圆。1）分度圆：每个齿轮都有大小确定的分度圆。节圆：一对齿轮啮合时才存在，表明齿轮啮合特性。2）分度圆和节圆可以重合，也可以不重合。3）节圆的大小随中心距变化而变化。分度圆的大小只要齿轮加工好后就确定了。4）分度圆的半径不能大于节圆的半径。基本参数:齿数z、模数m、压力角α、齿顶高系数ha*、顶隙系数c*分析:1）m、z决定齿轮大小d=mz;2）m、ha*、c*决定轮齿大小；3）m、z

、α决定渐开线形状db=dcosα=mzcosα标准齿轮:m、α、ha*、c*均取标准值，具有标准的齿顶高和齿根高，且分度圆齿厚等于齿槽宽的齿轮S=e

。一个标准齿轮的基本参数和参数的值确定之后，其主要尺寸和齿廓形状就完全确定了。总结:标准齿轮的主要参数（13个）4个圆：分度圆d=mz齿顶圆da=d+2ha==(z+2ha*)m齿根圆df=d-2hf=(z+2ha*)m基圆db=dcosα=mzcosα3个高：齿顶高ha=ha*m齿根高hf=(ha*+c*)m齿全高h=ha+hf==(2ha*+c*)m3个距：齿厚齿槽宽齿距p=πm

3个参数：模数m齿数Z压力角αpnhNαsehahfpBOrbrfra1)轮齿与齿槽正好与外齿轮相反。2)df>d>da二、内齿轮3)为保证齿廓全部为渐开线，，da＝d-2ha,df＝d+2hf结构特点：轮齿分布在空心圆柱体内表面上。不同点：要求da>db。rB三、齿条特点：齿廓是直线，各点法线和速度方向线平行1)压力角处处相等，且等于齿形角，2)齿距处处相等:p=πm其它参数的计算与外齿轮相同,如：

s=πm/2e=πm/2esppnhahfz→∞的特例。齿廓曲线（渐开线）→直线ha=ha*mhf=(ha*+c*)mpn=pcosαα为常数。标准值为20。。ααα齿顶线→齿根线中线（分度圆）任意圆齿厚：sk为什么要计算任意圆上的齿厚？所以：齿顶圆齿厚：基圆齿厚：节圆齿厚：齿根圆齿厚：可以求齿顶圆齿厚、基圆齿厚、节圆齿厚等：公法线长度：sk公法线长度公法线长度：公法线用处：1）计算模数2）测量齿轮加工是否结束。例1：Z=18，da=120mm，求m=?例2：已知da=120mm，df=97.5mm，求m=?

Z=?m=5mmZ=22mm

N1N2O1rb1Prb2ω2ω1O2一对轮齿的啮合过程轮齿在从动轮顶圆与N1N2

线交点B2处进入啮合，主动轮齿根推动从动轮齿顶。随着传动的进行，啮合点沿N1N2

线移动。在主动轮顶圆与N1N2

线交点处B1脱离啮合。主动轮：啮合点从齿根走向齿顶，而在从动轮，正好相反。B1B2

－实际啮合线N1N2

：因基圆内无渐开线理论上可能的最长啮合线段--N1、N2

－啮合极限点阴影线部分－齿廓的实际工作段。理论啮合线段一、渐开线齿轮的啮合过程ra2B1----终止啮合点B2

----起始啮合点N1N2ra1B2B1渐开线齿廓能满足齿廓啮合基本定律，那么，是否任意两个渐开线齿轮都能组成一对齿轮传动呢？§5－5渐开线标准齿轮的啮合rb2r2O2ω2rb2r2O2

ω2rb2r2O2ω2rb1r1O1ω1rb1r1O1ω1rb1r1O1ω1pb2pb2pb2pb1pb1<pb2pb1>pb2pb1=pb2pb1pb1不能正确啮合!不能正确啮合!能正确啮合!一对齿轮传动时，所有啮合点都在啮合线N1N2上。m1<m2从外观看齿1比齿2小m1>m2外观齿1比齿2大PN1N2B2B1B1PN1N2B2PN1N2B1B2理论啮合线段N1N2实际啮合线段B1B2rb2r2O2rb1r1O1ω1ω2PN1N2B2B1要使进入啮合区内的各对齿轮都能正确地进入啮合，两齿轮的相邻两齿同侧齿廓间的法向距离应相等：二.正确啮合条件

pb1=pb2将pb=πmcosα代入得：

m1cosα1=m2cosα2因m和α都取标准值，使上式成立的条件为：m1=m2

，α1=α2结论：一对渐开线齿轮的正确啮合条件是它们模数和压力角应分别相等。pb2i12=--ω1ω2传动比：

=--db2db1

=--d’2d’1

=--d2d1

=--Z2Z1pb1三、齿轮传动的无侧隙啮合及标准安装无侧隙——一个齿轮的齿厚与其相啮合的另一个齿轮的齿槽在

两条啮合线上均紧密接触。arf1ra2a'无侧隙啮合传动条件：一个齿轮的节圆齿厚必须等于另一个齿轮的节圆齿槽宽。S1'=

e2';e1'=S2'问题1：实际中无侧隙啮合存在吗？——侧隙很小靠齿轮公差来保证问题2：侧隙的作用？——存润滑油，避免齿轮传动中卡死。标准安装a分度圆与节圆重合r‘=rrf1ra2问题：标准齿轮标准安装时是否保证无侧隙啮合呢？1）标准安装可实现无侧隙S1'=

e2';e1'=S2'S1=e2=e1=S2标准齿轮:S=e=

m/2a'由于m1=m2——两齿轮分度圆相切安装。2）标准中心距a3）标准顶隙=m(Z1+Z2)/2

C=hf-ha=(ha*+c*)m-ha*m=c*m

啮合角不等于分度圆压力角

≠

'a'=

r1'+r2'

=

rf1

+c+ra2=

r1

–(h*+c*)m+c*m

+

r2

+

h*m=

r1

+

r2▲当两标准齿轮按分度圆相切来安装,

则满足传动条件。正确安装非标准安装分度圆与节圆分离r‘>r——两齿轮分度圆分离安装。实际中心距a’啮合角等于分度圆压力角

=

'a'=

r1'+r2'O1O2a'a'r1'r2'P①∵

rb=rcosa=r'cosa'∴

——=———r'rcosacosa'②∵

rb1+rb2

=

r1cosa+r2cosa

=

r1'cosa'+r2'cosa'

∴a'cosa'=a

cosa——中心距可分性公式问题：非标准安装时还具有标准顶隙吗？还无侧隙吗？c=c*m+（a’-a）=c*m+△a

四、齿轮传动尺寸1、标准安装(外啮合)（1）节圆半径r'r‘=r（2）啮合角α'α’=α（3）中心距a’=标准中心距a'=

r1'+r2'=

r1

+

r2=m(Z1+Z2)/2

（4）传动比i12=--ω1ω2

=--rb2rb1

=--r’2r’1

=--r2r1

=--Z2Z1（5）侧隙0△=S1‘-e2'=e1‘-S2'=S-e（6）顶隙cC=hf2-ha1=c*m

2、非标准安装(外啮合)（1）节圆半径r'r‘>（2）啮合角α'α’>α（3）中心距a’>标准中心距aa'=

r1'+r2'>r1

+

r2（4）传动比i12=--ω1ω2

=--rb2rb1

=--r’2r’1

=--r2r1

=--Z2Z1（5）侧隙0△=S1‘-e2'=e1‘-S2'>0（6）顶隙cC=hf2-ha1=c+△a3.齿轮与齿条啮合传动节线可变，节圆不变（标准齿轮和标准齿条）特点啮合线切于齿轮基圆并垂直于齿条齿廓标准安装或非标准安装

d

=

d

=

五、连续传动条件重合度定义:

εα=

B1B2/pb

为一对齿轮的重合度一对齿轮的连续传动条件是：εα≥1

为保证可靠工作，工程上要求：从理论上讲，重合度为1就能保证连续传动，但齿轮制造和安装有误差εα≥[εα]采用标准齿轮，总是有：εα≥1故不必验算。使用场合一般机械制造业汽车拖拉机金属切削机[εα]1.41.1～1.21.3[εα]的推荐值：重合度的计算讨论：重合度与哪些参数有关呢？1)齿数Z，齿数愈多Z

重合度εα愈大2)啮合角

：啮合角愈大

重合度εα愈小3)齿顶压力角

a

：齿顶压力角愈大

重合度εα愈大4)中心距a’

：中心距a’愈大

重合度εα愈小问题：直齿轮外啮合时会不会出现3对齿同时啮合的情况？——不会，最大εαmax=1.981εα的物理意义：同时参加啮合的轮齿对数是多少。2）=2表示在啮合过程中，始终有两对齿同时啮合。分析：1）=1表示啮合过程中始终只有一对齿啮合。3）1<<2表示在啮合过程中，有时是一对齿啮合，有时是两对齿同时啮合。重合度

传动平稳性

承载能力。练习：已知：一对正常齿标准直齿圆柱齿轮外啮合传动。Z1=20，m=10mm，Z2=60。求：保证连续传动的中心距变化范围是多少？解：最小中心距最大中心距由标准压力角20所以：小结正确啮合的条件m1=m2

，α1=α2无侧隙啮合传动S1'=

e2';e1'=S2'中心距安装条件a'cosa'=a

cosa齿轮传动参数节圆、啮合角、中心距、侧隙、顶隙连续传动条件εα≥1

§6渐开线齿廓的切制原理、根切和最少齿数1.仿型法（成型法）精度低、生产率低刀具：1.圆盘铣刀

2.指形铣刀刀具的选择与m、、z有关。一、切削原理刀号12345678加工齿数范围12131416172021252634355455134135

每把刀的刀刃形状,按它加工范围的最少齿数齿轮的齿形来设计。2.范成法切削（沿轮坯轴向）进刀和让刀（沿轮坯径向）范成运动（模拟齿轮啮合传动）刀具与轮坯以i12=

1/

2=Z2/Z1回转

用同一把刀具,通过调节i12

，就可以加工相同模数、相同压力角

,不同齿数的齿轮。齿轮插刀齿条插刀齿轮滚刀二、根切现象、不根切的最少齿数和变位修正法1.根切现象用范成法切削标准齿轮时,如果齿轮的齿数过少，刀具的齿顶就会切去轮齿根部的一部分，这种现象称为根切。2.根切原因.PN1aB23.不产生根切的最少齿数PN1≥

PB2harrsina≥a

hasinamZ2sina≥

msina*ha得:

Z≥sin2a*ha2当

=200、*ha=1、Zmin

=17不根切条件4.避免发生根切的措施限制小齿轮的最小齿数；减少齿顶高系数(重合度减少、非标准刀具)；增大分度圆压力角(正压力径向力增大、非标准刀具)；采用变位修正法：BPN1

xm（x

—变位系数，m

—

模数）

通过改变刀具与轮坯的相互位置以避免根切，从而达到可以制造较少齿数的齿轮。这样制造出来的齿轮称为变位齿轮。切齿刀具所移动的距离xm

称为移距。

变位修正法：最小变位系数§7变位齿轮hamXm*N1PB2aarb

最小变位系数●xm

变位量（移距）

x

变位系数

x>0正变位齿轮

x<0负变位齿轮§8斜齿圆柱齿轮传动1.齿廓曲面的形成直齿轮:AA是直线。斜齿轮:AA是螺旋线。斜齿轮齿廓曲面为:

螺旋渐开面2.特点

（与直齿圆柱齿轮比较）1)传动较为平稳，适用于高速传动。一、斜齿圆柱齿轮的形成原理二、斜齿轮主要参数各部分名称和几何尺寸1.主要参数(法向参数、端面参数)

螺旋角

(左旋、右旋）齿距Pn=Ptcos

模数mn=mtcos

齿宽b=B/cos

法向参数规定为标准值。为什么？（mn、

n、han*、cn*）2.几何尺寸分度圆直径

d=

mtz=mnz/cos

中心距

a=mn（z1+z2）/2cos

2)改变螺旋角可调整中心距进刀方向其它几何尺寸计算（见表5-3）四、重合度3)承载能力高，传动平稳。三、正确啮合条件

模数和压力角分别相等且螺旋角的大小相等、旋向相反（一个左旋，另一个右旋）。B2B1

BV五、当量齿数不产生根切的最少齿数为：

椭圆在节点的曲率半径为当量齿轮的分度圆半径：4)结构紧凑当量齿轮齿形与斜齿轮的法向齿形接近的“直齿轮”当量齿数

“直齿轮”的齿数计算当量齿数的意义：仿形法加工轮齿选刀具弯曲强度计算查齿形系数齿厚测量、变位系数选择

§9蜗杆传动一、蜗杆传动及其特点1.形成蜗杆传动用于空间两交错轴之间的传动（轴交角

=90°）2.类型简介1）圆柱蜗杆阿基米德蜗杆渐开线蜗杆2）环面蜗杆3）锥蜗杆圆弧齿圆柱蜗杆1）从整体看，蜗杆蜗轮齿面间的相对运动类似于螺旋传动。3.阿基米德蜗杆特点

因而可直接应用螺旋的某些结论（例如传动效率、自锁条件等等）。传动连续平稳、无噪音。

因而可直接应用齿轮传动某些结论（例正确啮合条件、几何尺寸计算等等）。2）从中间平面看，蜗杆齿形是标准齿条齿形蜗轮齿形是渐开线齿轮齿形，啮合传动类似于齿轮齿条啮合。二、蜗杆蜗轮的正确啮合条件g蜗杆导程角与蜗轮螺旋角旋向相同b1b2三、传动比i12=——w1w2=—Z2Z1=————d2cosb2d1cosb1当S=90°d2cos(90°-b1)d1c