南京大学《数值分析》课件-第9章

南京大学《数值分析》课件-第9章汇报人：郑老师2023-12-31目录第9章引言第9章插值法第9章曲线拟合第9章数值微分与积分第9章习题与解答第9章引言01掌握数值分析的基本概念和原理。掌握数值分析中的误差分析和数值稳定性的概念。理解数值分析在科学计算和工程领域的应用。了解数值分析的发展趋势和前沿研究。本章学习目标数值分析的基本概念和原理，包括数值逼近、数值积分、数值微分等。误差分析和数值稳定性的概念，以及如何减小误差和提高数值稳定性。科学计算和工程领域中的数值分析应用，如求解微分方程、积分方程、线性方程组等。数值分析的发展趋势和前沿研究，如并行计算、自适应算法、非线性优化等。本章主要内容概述第9章插值法02插值法定义01插值法是一种通过已知的离散数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在离散数据点上与实际数据相吻合的方法。02插值法的应用插值法广泛应用于科学计算、工程技术和经济领域，如数据拟合、图像处理、金融建模等。03插值法的分类根据所使用的多项式和构造方法的不同，插值法可以分为线性插值、多项式插值、样条插值等。插值法的基本概念拉格朗日插值法的定义拉格朗日插值法是一种通过已知的离散数据点，构造一个多项式函数的方法，该方法由意大利数学家约瑟夫·拉格朗日提出。拉格朗日插值法的步骤首先选择一组基函数，然后利用已知的数据点构造一个多项式，使得该多项式在数据点上与实际数据相吻合。拉格朗日插值法的优缺点拉格朗日插值法简单易懂，易于实现，但当数据点较多时，可能会遇到数值不稳定性问题。拉格朗日插值法牛顿插值法的定义01牛顿插值法是一种通过已知的离散数据点，构造一个多项式函数的方法，该方法由英国数学家艾萨克·牛顿提出。牛顿插值法的步骤02首先将数据点按照自变量从小到大进行排序，然后利用已知的数据点构造一个多项式，使得该多项式在数据点上与实际数据相吻合。牛顿插值法的优缺点03牛顿插值法具有数值稳定性好、计算效率高等优点，但在实际应用中可能会出现Runge现象。牛顿插值法第9章曲线拟合0303逼近程度通过误差平方和来衡量，即选择某种函数形式使得实际数据点到该函数的距离平方和最小。01曲线拟合通过选择适当的函数形式，使得该函数能够尽可能地逼近实际数据点，从而反映数据的内在规律。02数据点实际观测得到的一系列离散点，通常具有一定的噪声和误差。曲线拟合的基本概念最小二乘法一种数学优化技术，通过最小化误差平方和来寻找最佳函数匹配。线性最小二乘法适用于线性函数形式的拟合，通过求解线性方程组来得到最佳拟合参数。非线性最小二乘法适用于非线性函数形式的拟合，通过迭代或优化算法来寻找最佳拟合参数。最小二乘法拟合030201123使用多项式函数形式进行曲线拟合，通常通过最小二乘法来求解最佳拟合多项式的系数。多项式拟合选择合适的多项式阶数对于拟合效果至关重要，过高或过低的阶数可能导致过拟合或欠拟合。多项式的阶数多项式拟合具有简单、直观的优点，但也可能存在曲线过于复杂、不易解释的问题。多项式拟合的优缺点多项式拟合第9章数值微分与积分04数值微分的计算方法常用的数值微分计算方法有前向差分法、后向差分法和中心差分法。数值微分的误差由于数值微分是基于差商近似导数的，因此存在误差。误差的大小取决于所选择的差分公式和步长的大小。数值微分定义数值微分是根据函数在某点的导数，用差商近似代替导数，从而得到函数在该点的微分。数值微分的基本概念数值积分的概念与数值微分一样，数值积分也存在误差。误差的大小取决于所选择的积分公式和步长的大小。数值积分的误差数值积分是根据积分中值定理，将积分区间分成若干小区间，用小区间的矩形面积近似代替被积函数在该区间的曲线面积，从而得到数值积分的结果。数值积分定义常用的数值积分计算方法有矩形法、梯形法和辛普森法则。数值积分的计算方法01梯形法则梯形法则是将积分区间分成若干小区间，用小区间的梯形面积近似代替被积函数在该区间的曲线面积，从而得到数值积分的结果。02辛普森法则辛普森法则是将积分区间分成若干等份，用等份的矩形面积近似代替被积函数在该区间的曲线面积，从而得到数值积分的结果。03误差分析与矩形法和梯形法相比，辛普森法具有更高的精度。这是因为辛普森法的矩形面积更接近被积函数在该区间的曲线面积。梯形法则与辛普森法则第9章习题与解答05习题1简述数值分析在科学计算中的作用。习题3列举三种求解非线性方程的数值方法，并简述其基本思想。习题2解释牛顿迭代法的原理。习题4如何应用二分法求解非线性方程的根？第9章习题VS数值分析是科学计算中的重要工具，它通过数学方法解决各种实际问题，特别是在处理大规模、高维度的数据和复杂数学模型时具有显著优势。数值分析提供了许多有效的算法和技术，如线性代数、微积分、插值与拟合、优化方法等，这些算法和技术广泛应用于科学、工程和经济学等领域。习题2答案牛顿迭代法的基本原理是通过不断逼近函数图像上的点来求解非线性方程的根。具体来说，它从一个初始点开始，根据函数的导数和当前点的函数值来计算下一个点，重复这个过程直到满足一定的收敛条件。牛顿迭代法具有较高的收敛速度，尤其适用于那些具有简单导数函数的非线性方程。习题1答案第9章习题解答通过不断调整弦的斜率来逼近方程的根，适用于求解非线性方程的根。基于二次函数的性质，通过迭代抛物线的顶点来逼近方程的根，适用于求解非线性方程的根。二分法是一种求解非线性方程根的数值方法。它从一个区间开始，不断将该区间一分为二，然