江苏省苏州市苏大附中2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题及答案

第1页/共1页苏大附中2023－2024学年第一学期12月检测高一年级数学试卷（考试时间：120分钟总分150分）命题人：房兵审核：仇卓然一、选择题（共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.2.函数的增区间是（）A. B. C. D.3.已知幂函数的定义域为，且，则的值为（）A B.0 C.1 D.24.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根(精确度为)可以是（）A. B.C. D.5.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.6.设，，，则（）A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.a＞c＞b D.c＞a＞b7.今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（

）（参考数据:）A.年 B.年 C.年 D.年8.若定义在上奇函数满足：对任意，都有．若，则实数的取值范围为（

）A.或 B.或C.或 D.或二、多选题（共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（）A.① B.② C.③ D.④10.若正实数满足，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.11.已知函数，则（）A.的定义域为B.C当时，D.对定义域内的任意两个不相等的实数恒成立.12.关于函数的下列四个说法中，正确的是（）A.若对一切实数成立，则是增函数B.若对一切实数成立，则C.若对一切实数成立，则的图象关于轴对称D.若对一切实数成立，其中且，则是奇函数或偶函数三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答题卡中的横线上）13.若命题“，使得”是真命题，则实数m的取值范围为________．14.若扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的面积为_________．15.函数，函数有3个零点，则k的取值范围为________．16.命题在单调增函数，命题（）在R上为增函数，则命题P是命题Q的________．（在“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中选择最合适的填写）四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.计算下列各式，写出演算过程（1）；（2）18.已知集合，，．（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．19.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当，函数在的最小值记为，求的表达式．20.随着中国经济高速增长，旅游成了众多家庭重要生活方式，A，两地景区自2010年开始，采取了不同的政策：A地提高景区门票价格到120元/人，地取消了景区门票.政策实施后，A地的游客人次近似于直线上升（线性增长），地的游客人次近似于指数增长（如图所示）.已知：①2011年度，A地的游客人次为600万，地的游客人次为300万；②从2011年度开始，A地游客人次的年增加量近似为10万人次，地游客人次的年增长率近似为20%；③平均每位游客出游一次可给当地带来500元收入（不含门票）；（1）填空：2014年度，地的年度游客人次近似为______万；（2）从2011年度开始，分别估计多少年后，A地，地的年度旅游收入开始超过50亿元？（3）结合（2），谈谈你的看法.（附参考数据：，，，，，）21.已知定义域为的函数是奇函数．（1）求实数a值．（2）试判断的单调性，并用定义证明．（3）解关于x的不等式．22.对于定义域为I的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：①在区间上是单调的；②当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“理想区间”，（1）请证明：函数（）不存在“理想区间”；（2）已知函数在R上存在“理想区间”，请求出它的“理想区间”；（3）如果是函数（）的一个“理想区间”，请求出的最大值.

苏大附中2023－2024学年第一学期12月检测高一年级数学试卷（考试时间：120分钟总分150分）命题人：房兵审核：仇卓然一、选择题（共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据韦恩图确定阴影部分元素与集合的关系，结合交、并运算求阴影部分的集合.【详解】由题设，阴影部分元素属于集合或，但不属于，又，，所以阴影部分的集合为.故选：D2.函数的增区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式，求得函数的定义域，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.【详解】由不等式，即，解得或，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，根据复数函数的单调性，可得函数的增区间为.故选：A.3.已知幂函数的定义域为，且，则的值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根据幂函数定义域得到不等式，结合求出，检验后得到答案.【详解】因为幂函数的定义域为R，故，解得，又，所以，检验，时，，即，满足题意．故选：C4.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根(精确度为)可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由零点存在性定理结合二分法的定义即可得出答案.【详解】由表格可得，函数的零点在之间．结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选：C.5.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性及特殊点即可判定.【详解】由于，，，故为奇函数，图象应关于原点中心对称，故排除B和C；又因为，故排除D项，故选：A.6.设，，，则（）A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.a＞c＞b D.c＞a＞b【答案】C【解析】【分析】由换底公式得，由幂的运算法则得，利用对数函数的单调性比较的，再借助中间值1和指数函数性质比较大小可得结论．【详解】∵9＞8，∴3＞，故，从而有，故选：C【点睛】本题考查比较对数和幂的大小，掌握指数函数和对数函数性质是解题关键，解题时可借助中间值如0，1等进行比较．7.今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（

）（参考数据:）A.年 B.年 C.年 D.年【答案】B【解析】【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解.【详解】由题意得:，解得，所以，当时，得，即，两边取对数得，所以，即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年.故选：B.8.若定义在上的奇函数满足：对任意，都有．若，则实数的取值范围为（

）A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】设，根据奇偶性、单调性的定义和性质可确定在上单调递增；将所求不等式化为，由单调性可得自变量大小关系，解不等式可求得结果.【详解】不妨令，则由得：，，设，则在上单调递增，又，为定义在上的奇函数，在上单调递增，由得：，即，，解得：或.故选：D.二、多选题（共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】CD【解析】【分析】求出给定的各个角与到间终边相同的角，即可作答.【详解】对于①，，而是第三象限角，①不是；对于②，角的终边为x轴非正半轴，②不是；对于③，，是第二象限角，③是；对于④，，是第二象限角，④是.故选：CD10.若正实数满足，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用基本不等式判断ABC；利用二次函数求最值判断D.【详解】若，且，则有：对于选项A：因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，故A正确；对于选项B：因为，当且仅当即时，等号成立，所以，故B正确；对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立，可得，所以ab有最大值，故C错误；对于选项D：，因为，所以，所以当时，有最小值，故D错误；故选：AB.11已知函数，则（）A.的定义域为B.C.当时，D.对定义域内的任意两个不相等的实数恒成立.【答案】ABD【解析】【分析】判断的正负即可判断A；判断与2的关系即可判断B；通过，判断及的单调性；根据复合函数单调性即可判断在上单调性，进而求解值域判断C；根据奇偶性及在上单调递减判断在定义域上的单调性，再结合单调性的定义即可判断D.【详解】因为，所以，即恒成立，所以函数的定义域为R，故选项A正确；，所以，故选项B正确；因为，且函数在上单调递增，又有在上单调递减，所以在上单调递减，所以，且x无限趋向于正无穷大时，无限趋向于负无穷，所以，故选项C错误；记函数，由选项A知的定义域为R，且，所以是奇函数，因为，且函数在上单调递增，又有在上单调递减，所以在上单调递减，所以，因为奇函数，所以在上单调递减，所以在R上单调递减，且，所以在R上单调递减，所以对定义域内的任意两个不相等的实数，恒成立，故选项D正确.故选：ABD12.关于函数的下列四个说法中，正确的是（）A.若对一切实数成立，则是增函数B.若对一切实数成立，则C.若对一切实数成立，则的图象关于轴对称D.若对一切实数成立，其中且，则是奇函数或偶函数【答案】BC【解析】【分析】取特殊函数判断AD，根据所给性质推理判断BC.【详解】若，其中表示不超过的最大整数，显然，即对一切实数成立，但不是增函数，故A错；由可得，所以，故B正确；由可得，即，所以函数为偶函数，图象关于y轴对称，故C正确；若，满足，但函数是非奇非偶函数，故D错误.故选：BC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答题卡中的横线上）13.若命题“，使得”是真命题，则实数m的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】原命题转化为“方程有实数解”，再由可求实数的取值范围.【详解】若命题“，使得”是真命题，也就是“方程有实数解”，∴.故答案为：14.若扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的面积为_________．【答案】【解析】【分析】根据扇形面积公式即可求出.【详解】扇形的圆心角为60°，转化为弧度为，该扇形的面积为.故答案为：.15.函数，函数有3个零点，则k的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】根据分段函数解析式，作出图象，利用方程与函数的关系，可得答案.【详解】当时，；令，则，令，解得；可得函数的图象如下：函数有个零点等价于函数与直线有三个交点，由图可知，的取值范围为.故答案为：.16.命题在单调增函数，命题（）在R上为增函数，则命题P是命题Q的________．（在“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中选择最合适的填写）【答案】充要条件【解析】【分析】根据二次函数以及分段函数单调性建立不等式，结合充要条件的定义，可得答案.【详解】根据命题，由函数，此为图象开口向上的二次函数，则其对称轴为直线，由函数在上单调递增，则，解得；根据命题，由题意可得，解得易知命题是命题的充要条件.故答案为：充要条件.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.计算下列各式，写出演算过程（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用根式、指数幂的运算性质计算可得结果；（2）利用对数的运算性质、换底公式计算可得结果.【小问1详解】解：原式.【小问2详解】解：原式.18.已知集合，，．（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）解一元二次不等式、分式不等式求集合，再应用集合的交运算求集合；（2）解含参一元二次不等式求集合C，由必要不充分条件有，进而列不等式组求参数范围.【小问1详解】由，由或，所以或.【小问2详解】由，显然，又“”是“”的必要不充分条件，即，所以（等号不能同时成立），可得.19.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当，函数在最小值记为，求的表达式．【答案】（1）的单调递增区间为，；单调递减区间为.（2）【解析】【分析】（1）根据自变量的范围去掉绝对值，结合二次函数的性质即可求解；（2）根据二次函数的性质分类讨论即可求解.【小问1详解】当时，；当时，，∴在上单调递增；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增；综上所述：的单调递增区间为，；单调递减区间为.【小问2详解】因为，当时，当，即时，在单调递减，在单调递增，；②当，即时，在单调递增，.综上所述：，20.随着中国经济高速增长，旅游成了众多家庭的重要生活方式，A，两地景区自2010年开始，采取了不同的政策：A地提高景区门票价格到120元/人，地取消了景区门票.政策实施后，A地的游客人次近似于直线上升（线性增长），地的游客人次近似于指数增长（如图所示）.已知：①2011年度，A地的游客人次为600万，地的游客人次为300万；②从2011年度开始，A地游客人次的年增加量近似为10万人次，地游客人次的年增长率近似为20%；③平均每位游客出游一次可给当地带来500元收入（不含门票）；（1）填空：2014年度，地的年度游客人次近似为______万；（2）从2011年度开始，分别估计多少年后，A地，地的年度旅游收入开始超过50亿元？（3）结合（2），谈谈你的看法.（附参考数据：，，，，，）【答案】（1）519（2）估计7年后，地的年度旅游收入开始超过50亿元（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据指数增长，计算可得；（2）分别根据一次函数和指数函数的模型列不等式求解；（3）结合快速增长，长远发展，政策适合等进行说明．【小问1详解】2014年度，地年度游客人次为万；【小问2详解】设从2011年度开始，估计年后，A地的年度旅游收入为（单位：万元），则，得，令，得，解得，所以，估计21年后，A地的年度旅游收入开始超过50亿元，由题意，年后，地的年度旅游收入为万元，，，，所以，估计7年后，地的年度旅游收入开始超过50亿元，或者令，得，因为，，结合图像，所以，估计7年后，地的年度旅游收入开始超过50亿元；【小问3详解】指数增长让地的游客人次增长很快，取消门票，反而有利于促进消费，拉动经济增长：或者，地景区的政策更有利于地方经济的长远发展；或者，一段时间后，地景区的收入明显超过A地景区，不同的政策有不同的结果．21.已知定义域为的函数是奇函数．（1）求实数a值．（2）试判断的单调性，并用定义证明．（3）解关于x的不等式．【答案】（1）；（2）单调递减，证明见解析；（3）.【解析】【分析】