流体力学-B4课件

流体力学-B4B4积分形式的基本方程系统广延量控制体广延量

B4.1流体方程的随体导数•输运公式①③②①系统广延量的导数，称为系统导数。②控制体广延量随时间变化率,称为当地变化率；当流场定常时为零。③通过控制面净流出的广延量流量,称为迁移变化率；当流场均匀时为零。输运公式计算取决于控制体(面)的选择B4积分形式的基本方程B4.2积分形式的连续性方程B4.2.1固体的控制体上式表明：通过控制面净流出的质流量等于控制体内流体质量随时间的减少率。输运公式可用于任何分布函数，如密度分布、动量分布、能量分布等。令，由系统的质量不变可得连续性方程对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为B4.2积分形式的连续性方程设出入口截面上的质流量大小为

B4.2.1固体的控制体（续）1.沿流管的定常流动

•一般式•有多个出入口2.沿流管的不可压缩流动

设出入口截面上的体积流量大小为

•一般式•有多个出入口[例B4.2.1]主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程已知:所有管截面均为圆形,d1=2.5cm,d2=1.1cm,d3=0.7cm,d4=0.8cm, d5=2.0cm,平均流量分别为Q1=6l/min,Q3=0.07Q1,Q4=0.04Q1, Q5=0.78Q1

求：

Q2及各管的平均速度

解：取图中虚线所示控制体，有多个出入口。 血液按不可压缩流体处理

可得Q1=Q2+Q3+Q4+Q5

Q2=Q1－(Q3+Q4+Q5）=Q1－(0.07+0.04+0.78)Q

=0.11Q1=0.66l/min

各管的平均速度为[例B4.2.1]主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程B4积分形式的连续性方程B4.2.2运动的控制体将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将速度改成相对速度vr对流体在具有多个出入口的控制体内作定常流动时上式中，vr分别为出入口截面上的平均相对密度和平均相对速度。[例B4.2.2]圆管入口段流动：速度廓线变化已知:不可压缩粘性流体以速度U流入半径R的圆管,圆截面上的速度廓线,不断发展至指数形式分布(湍流)并不再变化称为充分发展流动。求：充分发展流动的速度廓线表达式解：设充分发展流动的速度廓线为指数形式式中um为管轴上的最大速度，在定常流动中为常数，通常取n=1/7-1/10.由连续性方程:

(b)式左端=πR2U,(b)式右端=

(b)(a)UR[例B4.2.2]圆管入口段流动：速度廓线变化由积分公式可得取n=1/7时由(b)式可得

或

U=0.8167um

B4积分形式的基本方程B4.3伯努利方程及其应用伯努利方程的推导：由一维欧拉运动方程沿流线积分伯努利方程的限制条件：(3)定常流动伯努利（D.Bernouli1700－1782）方程的提出和意义(2)不可压缩流体(1)无粘性流体(4)沿流线成立B4.3伯努利方程及其应用B4.3.2沿总流的伯努利方程单位质量流体沿流线法线方向的机械能守恒常数(沿流线法线方向)

惯性离心力做功重力势能压强势能当流线曲率半径，变为常数，符合静力学规律。2.沿总流的伯努利方程沿流线的伯努利方程在沿总流的缓变流截面上按质量流量积分，常数(沿流束)

上式中V为总流截面上的平均速度，为动能修正因子（通常取）限制条件：(1)无粘性流体(2)不可压缩流体(3)定常流(4)截面上为缓变流。

[例B4.3.1]毕托测速管已知:设毕托管正前方的流速保持为v,静压强为p,流体密度为ρ,U形管中 液体密度ρm.求：用液位差Δh表示流速v(a)

AOB线是一条流线(常称为零流线),

沿流线AO段列伯努利方程设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件。解：(b)

端点O,v0=0,称为驻点(或滞止点),p0称为驻点压强.由于zA=z0,可得

[例B4.3.1]毕托测速管称为动压强,p0称为总压强AB的位置差可忽略(c)因vB=v,由上式pB=p.在U形管内列静力学关系式

由(c),(d)式可得k称为毕托管系数。由(e)式可得(d)(e)B4.3伯努利方程及其应用沿流束的水头形式常数(沿流线)沿流线的水头形式

(沿流束)B4.3.3伯努利方程的水力学意义测压管水头速度水头z位置水头压强水头H总水头[例B4.3.2]小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应已知:图示一敞口贮水箱,孔与液面的垂直距离为h(淹深).设水位保持不变.

求：(1)出流速度v(1)设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件.解：(2)出流流量Q从自由液面上任选一点1画一条流线到小孔2，并列伯努利方程(a)

[例B4.3.2]小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应讨论1：(b)式称为托里拆里(E．Tomcelli,1644)公式,形式上与初始速度为零的自由落体运动一样.(b)式也适用于水箱侧壁平行于液面的狭缝出流。液面的速度可近似取为零v1=0，液面和孔口外均为大气压强p1=p2=0(表压)，由(a)式可得(b)

(2)在小孔出口,发生缩颈效应.设缩颈处的截面积为Ae,缩颈系数ε

(c)

小孔出流量(d)

[例B4.3.2]小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应讨论2：上述各式均只适用于小孔情况(孔直径d≤0.1h),对大孔口(d>0.1h)应考虑速度不均匀分布的影响。收缩系数ε与孔口边缘状况有关：实际孔口出流应乘上一修正系数k

<1

(e)

上式中μ=kε,称为流量修正系数，由实验测定。

内伸管ε=0.5,流线型圆弧边ε=1.0.锐角边ε=0.61,B4.3伯努利方程及其应用沿流束的水头形式常数沿流线的不可压缩流体不定常流欧拉运动方程(沿流束)B4.3.4不定常伯努利方程沿流线从位置1积分到位置2(沿流束)不定常惯性力作功[例B4.3.4]文德利流量计：一维平均流动伯努利方程已知:文德利管如图所示求：管内流量Q设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件，截面为A1、A2，平均速度为V1、V2，流体密度为ρ.设解：由一维平均流动伯努利方程移项可得(b)(a)[例B4.3.4]文德利流量计：一维平均流动伯努利方程A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U形管内静止流体一样，可得

(3),(5)位于等压面上,p3=p5，由压强公式

及(c)(d)将上两式代入(d)式可得

(e)[例B4.3.4]文德利流量计：一维平均流动伯努利方程将(c)、(e)式代入(b)式，整理后可得讨论：当ρ、ρm确定后,Q与Δh的关系仅取决于文德利管的面积比A1/A2，且与管子的倾斜角θ无关.A1、A2截面之间存在收缩段急变流并不影响应用伯努利方程。(f)由连续性方程

代入(f)式,整理后可得大管的平均速度为上式中μ称为流速系数，文德利管的流量公式为

B4积分形式的基本方程固定不变形的控制体CV,控制面为CS

设η=ρv,流体系统动量B4.4积分形式的动量方程及其应用由牛顿第二定律∑F为作用在流体系统上的所有外力之合力

B4.4.1固定的控制体由输运公式可得

B4.4积分形式的动量方程及其应用对固定控制体的流体动量方程为v为绝对速度。定常流动时上式表明:作用在固定控制体上的合外力＝从控制面上净流出的动量流量B4.4积分形式的动量方程及其应用沿流管的定常流动通常取β1=β2=1。由一维定常流动连续性方程可得一维定常流动动量方程CS=流管侧面+A1+A2B4.4积分形式的动量方程及其应用具有多个一维出入口的控制体注意:(1)控制体的选取(2)或代表流出平均速度矢量或代表流入平均速度矢量(3)动量方程中的负号是方程本身具有的,和在坐标轴上投影式的正负与坐标系选择有关(4)包含所有外力(大气压强见例B4.4.1).[例B4.4.1A]主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程已知:图示人主动脉弓,条件及所取控制体CV均与例B4.2.1相同,设血液 的密度为ρ=1055kg/m3

解：建立坐标系oxy如图所示求：从控制体净流出的动量流量[例B4.4.1A]主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程讨论：计算结果表明从控制体净流出的动量流量很小，这说明血流对主动脉弓壁的冲击力很小。Δ(mV)y=ρQ1(0.11V2cos16°+0.07V3cos6°+0.04V4cos23°-0.78V5-V1)

=0.1055(0.11×11.6×0.9613+0.07×18.2×0.9945+0.04×8×0.9205

-0.78×24.8-20.4)×10-2

=-0.039N

Δ(mV)x=ρQ1(－0.11V2sin16°+0.07V3sin6°+0.04V4sin23°)=0.1055(-0.11×11.6×0.2756+0.07×18.2×0.1045+0.04×8×0.3907)×10-2净流出控制体的动量流量的x、y坐标分量为

=-1×10–4N

[例B4.4.1B]弯曲喷管受力分析：压强合力的影响已知:设固定的收缩管的前半部向下弯曲,偏转角为θ,A0=0.00636m2,Q=0.02m3/s,d0=9cm,d3=2cm。出口端水喷入大气，忽略重力作用，求：(1)水流对喷管的作用力F的表达式(2)若θ=30°,求水流对喷管的作用力

解：1.只包含水流的控制体2.建立如图所示坐标系oxy。3.由一维不可压缩流体连续性方程4.由伯努利方程因p3=0,p0=395332.85pa5.由一维定常流动动量方程设水对喷管的作用力F如图所示。本例中对控制体的合外力包括喷管对水流的反作用力－F和压强合力。作用在控制面上的压强用表压强表示，本例中入口截面压强为p0，方向沿x轴正向；出口截面压强为零：(1)F的表达式为(2)设θ=30°,F在x,y方向的分量式为压强合力动量变化讨论：(1)一般可不必考虑大气压强作用，控制面上压强用表压强即可。(2)力F的方向可任意设定，计算出的数值为正说明假设方向正确。若欲求固定喷管的力，该力通过喷管直接作用在水流上，与本例F大小相等，方向相反。(3)从计算结果来看,喷管受力中压强占主要成分,流体加速造成的动量变化引起的力只占次要成分.当θ角改变时,压强合力保持不变,仅动量变化引起力的改变,且占的比例始终很小.如在Fx中动量变化占的比例在θ=83.62°时为零,在θ=180°时为最大值,占25%.B4.4积分形式的动量方程及其应用定常时B4.4.2匀速运动控制体坐标系固定在匀速运动的控制体上是相对速度),输运公式为有多个一维出入口时为作用在控制体上的合外力B4.4积分形式的动量方程及其应用B4.5积分形式的动量矩方程B4.5.1固定的控制体按动量矩定律和输运公式，设为绝对速度，为合外力矩，有1．对定轴定常旋转流场，外力矩仅考虑轴距，动量矩方程为欧拉涡轮机方程(转子平面投影式）•对定类机械，对涡轮机类机械•轴功率表达式求：(1)输入轴矩Ts[例B4.5.1]混流式离心泵：固定控制体动量矩方程

已知:一小型混流离心泵如图。d1=30mm，d2=100mm，b=10mm, n=4000转/分，=3m/s。(2)输入轴功率

解：取包围整个叶轮的固定控制体CV，忽略体积力和表面力。设流动是定常的，由连续性方程可得CV[例B4.5.1]混流式离心泵：固定控制体动量矩方程

Vθ1=0,由欧拉涡轮机方程输入功率为

叶轮旋转角速度为

ω=2πn/60=2π×4000/60=418.88(1/s)

出口切向速度为

Vθ2=ωR2=ωd2/2=418.88×0.1/2=20.94(m/s)

B4.5动量矩方程及其应用

当控制体固结于匀速旋转的转子上时(忽略重力和表面力)，动量矩方程为式中为相对速度向心加速度B4.5.2旋转的控制体柯氏加速度惯性力已知:洒水器示意图。R=0.15m,喷口A=40mm2,θ=30°,Q=1200ml/s， 不计阻力。求：(1)Ts=0时，旋转角速度ω(1/s）；

[例B4.5.2]洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程(2)n=400转/分的轴矩Ts和轴功率

解：取包围整个洒水器的控制体CV，就整个控制体而言，从平均的意义上可认为是定常的对圆心取动量矩，当地变化率为零不同位置上的动量矩流量迁移项中的作用是相同的，作为具有两个一维出口的定常流动处理。

设喷口流体的绝对速度为V，牵连速度为U及相对速度为Vr

(1)设Ts＝0,Vθ1=0,由多出口动量矩方程:[例B4.5.2]洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程(2)当n=400转/分时[例B4.5.2]洒水器：有多个一维出入口的动量矩方程ω=400×2π/60=41.89(1/s)

=0.15×(41.89×0.15-15×cos30°)×1.2=-1.21(N–m)

讨论：无摩