导数复习知识点总结

高考数学复习详细资料——导数概念与运算知识清单1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f〔x+〕－f〔x〕，比值叫做函数y=f〔x〕在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f〔x〕在点x处的导数，记作f’〔x〕或y’|。即f〔x〕==。说明：〔1〕函数f〔x〕在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。〔2〕是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f〔x〕在点x处的导数的步骤〔可由学生来归纳〕：〔1〕求函数的增量=f〔x+〕－f〔x〕；〔2〕求平均变化率=；〔3〕取极限，得导数f’(x)=。2．导数的几何意义函数y=f〔x〕在点x处的导数的几何意义是曲线y=f〔x〕在点p〔x，f〔x〕〕处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f〔x〕在点p〔x，f〔x〕〕处的切线的斜率是f’〔x〕。相应地，切线方程为y－y=f/〔x〕〔x－x〕。3．几种常见函数的导数:①②③;④;⑤⑥;⑦;⑧.4．两个函数的和、差、积的求导法那么法那么1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(法那么2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：假设C为常数,那么.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：法那么3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=〔v0〕。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法那么：y＇|=y＇|·u＇|2023高考数学复习详细资料——导数应用知识清单单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，如果，那么为增函数；如果，那么为减函数；如果在某区间内恒有，那么为常数；2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3．最值：一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ在(a，b)内的极值；②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比拟，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4．定积分〔1〕概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi〔i＝1，2，…n〕作和式In＝(ξi)△x〔其中△x为小区间长度〕，把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即＝(ξi)△x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。根本的积分公式：＝C；＝＋C〔m∈Q，m≠－1〕；dx＝ln＋C；＝＋C；＝＋C；＝sinx＋C；＝－cosx＋C〔表中C均为常数〕。〔2〕定积分的性质①〔k为常数〕；②；③〔其中a＜c＜b。〔3〕定积分求曲边梯形面积由三条直线x＝a，x＝b〔a<b〕，x轴及一条曲线y＝f〔x〕(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)〔不妨设f1(x)≥f2(x)≥0〕，及直线x＝a，x＝b〔a<b〕围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝。课前预习1．求以下函数导数〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕y=〔5〕y＝2．假设曲线的一条切线与直线垂直，那么的方程为〔〕A．B．C．D．3．过点〔－1，0〕作抛物线的切线，那么其中一条切线为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4．半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，假设将r看作(0，＋∞)上的变量，那么(r2)`＝2req\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,1)式可以用语言表达为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，假设将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于eq\o\ac(○,1)的式子：；eq\o\ac(○,2)式可以用语言表达为：。5．曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是。6．对于R上可导的任意函数f〔x〕，假设满足〔x－1〕0，那么必有〔〕A．f〔0〕＋f〔2〕2f〔1〕B.f〔0〕＋f〔2〕2f〔1〕C．f〔0〕＋f〔2〕2f〔1〕D.f〔0〕＋f〔2〕2f〔1〕7．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如下图，那么函数在开区间内有极小值点〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个8．函数。〔Ⅰ〕设，讨论的单调性；〔Ⅱ〕假设对任意恒有，求的取值范围。9．在区间上的最大值是〔〕(A)－2(B)0(C)2(D)410．设函数f(x)=〔Ⅰ〕求f(x)的单调区间；〔Ⅱ〕讨论f(x)的极值。11．设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求(=1\*ROMANI)求点的坐标；(=2\*ROMANII)求动点的轨迹方程.12．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥〔如右图所示〕。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？13．计算以下定积分的值〔1〕〔2〕；〔3〕；〔4〕；14．〔1〕一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功。〔2〕抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S到达最大值的a、b值，并求Smax．典型例题一导数的概念与运算EG：如果质点A按规律s=2t3运动，那么在t=3s时的瞬时速度为〔〕A.6m/sB.18m/sC.54m/sD.81m/s变式：定义在D上的函数，如果满足：，常数，都有≤M成立，那么称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.【文】〔1〕假设质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.【理】〔2〕假设质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.EG：的值是〔〕 A.B.2C.D.－2变式1：〔〕 A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1变式2： 〔〕 A． B． C． D．根据所给的函数图像比拟变式：函数的图像如下图，以下数值排序正确的选项是〔〕A.yB.C.D.O1234xEG：求所给函数的导数：。变式：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.那么不等式f(x)g(x)＜0的解集是 A．(－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞,－3)∪(3,+∞) D．(－∞,－3)∪(0,3)EG：函数.(1)求这个函数的导数；〔2〕求这个函数在点处的切线的方程.变式1：函数.〔1〕求这个函数在点处的切线的方程；〔2〕过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程.变式2：函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，那么a＝()A.B.C.D.1EG：判断以下函数的单调性，并求出单调区间：变式1：函数的一个单调递增区间是A.B.C.D.变式2：函数(1)假设函数的单调递减区间是〔-3，1〕，那么的是.(2)假设函数在上是单调增函数，那么的取值范围是.变式3：设，点P〔，0〕是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.〔Ⅰ〕用表示a，b，c；〔Ⅱ〕假设函数在〔－1，3〕上单调递减，求的取值范围.EG：求函数的极值.求函数在上的最大值与最小值..变式1：函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如下图，那么函数在开区间内有极小值点〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个变式2：函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如下图.求：〔Ⅰ〕的值；〔Ⅱ〕的值.变式3：假设函数，当时，函数极值，〔1〕求函数的解析式；〔2〕假设函数有3个解，求实数的取值范围．变式4：函数，对x〔－1，2〕，不等式f〔x〕c2恒成立，求c的取值范围。EG：利用函数的单调性，证明：变式1：证明：，变式2：〔理科〕设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.假设关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.EG：函数假设恒成立,求实数的取值范围变式1:设函数假设恒成立，求实数的取值范围.变式2:如图,曲线段OMB是函数的图象,轴于点A,曲线段OMB上一点M处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q，(1)假设t,求切线PQ的方程(2)求的面积的最大值变式3:用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？变式4:某厂生产某种产品件的总本钱〔万元〕，产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？EG：计算以下定积分：〔理科定积分、微积分〕变式1：计算：；〔1〕；〔2〕变式2：求将抛物线和直线围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体的体积.变式3：在曲线上某一点A处作一切线使之与曲线以及轴所围的面积为，试求：〔1〕切点A的坐标；〔2〕在切点A的切线方程.实战训练1.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，那么导函数y=f(x)的图象可能为()2.曲线S:y=3x－x3及点,那么过点P可向S引切线的条数为()(A)0 (B)1 (C)2 (D)33.C设S上的切点求导数得斜率，过点P可求得:.4.函数在下面哪个区间内是增函数〔〕.5.y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于()(A)6 (B)0(C)5 (D)16.函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是()(A)1，－1 (B)3，-17 (C)1，－17(D)9，－197.设l1为曲线y1=sinx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cosx在点(,0)处的切线，那么l1与l2的夹角为___________.8.设函数f(x)=x3+ax2+bx－1，假设当x=1时，有极值为1，那么函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为.9．〔07湖北〕函数的图象在点处的切线方程是，那么10．〔07湖南〕函数在区间上的最小值是11．〔07浙江〕曲线在点处的切线方程是9．.函数〔Ⅰ〕假设函数图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：；〔Ⅱ〕假设，函数图像上任意一点处的切线的斜率为，试讨论的充要条件。12．(07安徽)设函数f〔x〕=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).(Ⅰ)求g(t)的表达式；(Ⅱ)诗论g(t)在区间〔-1,1〕内的单调性并求极值.实战训练B1．〔07福建〕对任意实数，有，且时，，那么时〔〕A． B．C． D．2．〔07海南〕曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3．〔07海南〕曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ