对一道高一函数试题的分析与反思

对一道09广州二模试题的解题反思【摘要】：解题研究是教师的一项根本技能，是提高教学质量的必要条件，我们不能在题海中沉浸，而应该在“变题〞、“悟题〞中提高解题能力，这种做法应该得到一线教师的足够重视。【关键词】：解题分析；解题研究；反思2023年广州二模试题中出现了如下一道试题：09广州二模理科第20题〔文科第21题〕：函数函数其中。〔1〕假设是函数的极值点，求实数的值;〔2〕假设对任意的都有成立，求实数的取值范围。此题属于利用导数求函数最值的问题，同时也属于恒成立问题，在求导的根底上加以分类讨论即可得出答案。可是学生做后平均得分缺乏6分，令人意想不到，但是经过对试卷的评讲与反思后意识到，主要还是对课本的挖掘不够，欠缺解题研究的方法和实践，进而导致对学生的指导缺乏，现将反思总结如下：1．解法分析第一种方法：由此问属于不等式的恒成立问题，应该可以类比不等式在区间内恒成立的等价条件即构造，对与同一个在区间任意取值的自变量都有。但同时，此题与这个经典问题存在差异，此题中函数与的自变量并不一致，相互没有相关关系，因此再次对不等式成立的条件进行类比：设与的值域分别为M、N，当把两个集合的元素按照从大到小的顺序排列时，N中最大的元素不能超过M中最小的元素，由此得到，题中不等式成立的等价条件为对任意的对任意的都有由于函数不含参数，易知，而函数含有参数，在求最值时就需要分类讨论了。如何确定分类讨论中参数的界呢？由于〔，〕，其符号受到参数范围的影响，所以考虑一元二次不等式解的规律，以自变量的区间端点为界将分为、、三个局部，然后分别利用导数求函数的最小值，解题过程如下：解：对任意的都有成立等价于对任意的对任意的都有当时，在上是增函数，且，=1\*GB3①当且，在上是增函数。由，得，又，不合题意=2\*GB3②当时，假设，那么假设，那么函数在上是减函数，在上是增函数由，得又，=3\*GB3③且时，函数在上是减函数由，得，又，综上所述，的取值范围为第二种方法在求解函数的最小值时，类比函数最值的求法，利用根本不等式。但是在此种解法中，应该注意到根本不等式成立的条件，即，而，这就需要对的取值范围进行讨论，讨论时的界就是自变量取值的边界，解题过程如下：=1\*GB3①当时，而，即=2\*GB3②当或时，解法与标准答案相同2．解题研究分析2.1题目来源选修1—1习题3.3B组第一题，利用函数的单调性，证明以下不等式，并通过函数图像直观验证：〔1〕；〔2〕〔3〕对于此题通常我们都是进行如下讲解：1、构造函数，此处为当时教学的重点内容；2、在区间内恒成立即，利用导数确定函数的单调性，并求出函数的最大〔小〕值；此次考题来源于教材，却有新意。它完全是导数的应用，而所属的恒成立问题也是最近高考的热点问题。但是此题又不拘泥于教材，并能充分挖掘深层次内涵，以全新的角度作适当的变式，而终又不离其宗。此题虽然都不等式恒成立问题，但却有很大的区别特别，题目强调对于任意的都有成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，由的任意性原不等式恒成立的充要条件是：对任意的都有，而此时再去沿用构造方法已经不再适用了由此看来，命题者考察学生能力的意图非常明显，考查学生但并不刁难学生。授人以渔而不授人以鱼，更着眼于优化学生思维品质，使得试题成为了课本内容的升华，而如此命题导向，无疑是对中学数学教学中普遍存在的“重教辅，轻教材〞的倾向的有力矫正，不愧为一道好题，值得我们进行解题研究。2.3思维受阻分析大局部学生可以顺利求出〔1〕中的值，而对〔2〕的求解存在很大困难，思维出现漏洞和阻碍，主要表现及分析如下：第一种情况：有58%的学生对于任意的都有成立的等价条件理解为与课本上习题的等价条件是一样的，即错误的认为是在上恒成立；原因：对恒成立问题的理解比拟浅薄，不能发现恒成立问题的内在条件，学习只停留在简单的模仿阶段。第一种情况：有22%的学生可以想象出应该使得对任意的都有，但是在求解中无视中参数对其符号的影响。原因：此局部学生已经能够正确地理解恒成立问题，找到了解决此题的突破口，可是在导数的应用上存在思维漏洞，无视了函数定义域与参数范围的关系，没有对的范围进行合理和有效的讨论，最终导致求最小值时出现漏解和错解；第三种情况：有13%的学生利用根本不等式求最小值：，且，而，即原因：虽然此种做法使得学生出了正确的结果，但是过程却是有很大漏洞的，即利用根本不等式时无视了等号成立的条件，当时，而原函数的定义域为，所以当或时，仍然需利用单调性讨论函数的最小值。2.4解题研究反思我平时总觉得自己在教学中已能较好地进行“解题分析和解题研究了〞，可是当作批改、评讲完二模试卷后发现，自己的解题分析和解题研究还欠缺很多。学生做错的原因很大程度上是我在教学中没有把问题分析透彻，解题只停留在方法上，盲目地在习题教学中图“快〞、图“巧〞，没有把解题研究更加充分地强调出来，如既没有分析典型的例子，又没有分析自己的解题过程，解题总停留在知识型的水平上，不能形成较强的解题能力。同时还错误地认为随着数学内容的学习和数学知识的丰富，解题方法可以自然而然地掌握、解题能力可以自然而然地生成。在解题研究中一直徘徊在一招一式的归类上，缺少观点上的提高或实质性的突破；有时候，知识解题方法的简单堆积或解题技巧的展示。多研究“怎样解〞，较少问“为什么这样解〞，更少问“怎样学会解〞，重结果、轻过程，所以。在解题教学中，我还错误地认为讲授的例题越多越好，自己对每个题的分析过程讲授充分就够了。通过对这个题的反思，我觉得只是这样简单的分析、重复是不够的。解题教学必须表达五个环节：读题——析题——解题——变题——悟题，其中“变题〞就是将题设条件与结论进行适当的变形或变更问题，使之成为一个新问题；而“悟题〞就是解题后的反思，此题有没有特殊方法进行预判？还能否用别的方法求解？能否把此结论或方法用来解决其他问题？解题时应该用“问题串〞的形式引导学生的思维，并且让他们尝试到成功，体会到解题的方法和快乐，即“授人以渔〞。结合教学实践，对课本习题和本道试题做以下“变题〞和“悟题〞：例：函数，，其中为实数〔1〕对任意，都有成立，求的取值范围；解：设，问题转化为时，恒成立，故。令，得或.由，，，，故，由，得〔2〕存在，使得成立，求的取值范围；解：据题意：存在，使成立，即为：≥0在有解，故，由〔1〕知，于是得〔3〕对任意且，都有成立，求的取值范围解：它与〔1〕问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，要使原不等式恒成立的充要条件是：，对于任意恒成立。由，得或，易得，又