高等应用数学

高等职业教育十三五规划教材

“”

高等应用数学

崔俊明高茜主编

王文武张恩英副主编

韩蕾蕾主审

内容简介

本教材是根据高职教育的目标和特点针对当前高职学生实际状况编写的具有如下特

,,

点所有概念引入都从生活生产中的实例入手内容阐述注重简明直观易懂避免过

:①、;②、、,

深的理论知识和数学推导选编了一些有趣的数学知识起源和数学家小传等小资料以培

;③,

养学生的数学素养扩大学生的知识面

,。

教材内容包括函数极限与连续导数与微分导数和微分的应用不定积分定积分

:、,,,,

及其应用无穷级数微分方程本教材适合作为高等职业院校各专业的教材

,,。。

图书在版编目(CIP)数据

高等应用数学崔俊明高茜主编北京中国

/,.—:

铁道出版社有限公司

,2019.6

高等职业教育十三五规划教材

“”

ISBN978--7--113--25777--4

高崔高应用数学高等

Ⅰ.①…Ⅱ.①…②…Ⅲ.①--

职业教育教材

--Ⅳ.①O29

中国版本图书馆数据核字第号

CIP(2019)087785

书名:高等应用数学

作者:崔俊明高茜

策划:李小军读者热线:

(010)63550836

责任编辑:许璐徐盼欣

封面设计:刘颖

责任校对:张玉华

责任印制:郭向伟

出版发行:中国铁道出版社有限公司北京市西城区右安门西街号

(100054,8)

网址:

/51eds/

印刷:三河市兴博印务有限公司

版次:年月第版年月第次印刷

201961201961

开本:印张:字数:千

720mm×960mm1/1615.25286

书号:

ISBN978--7--113--25777--4

定价:元

39.00

版权所有侵权必究

凡购买铁道版图书如有印制质量问题请与本社教材图书营销部联系调换电话

,,。:(010)63550836

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:(010)51873659

前言

本教材是根据教育部制定的《高职高专教育高等数学课程的教学基本

要求》,结合目前高等职业教育发展要求而编写的。当前,我国高等教育发

展迅速,高等教育实现了大众化,高等职业教育进入了普及化时代,高职高

专教育的目标是培养数以千万计的技能型应用人才。为适应社会对高职

高专发展的要求,根据理工类应用数学教学的实际情况,编写了本教材。

本教材坚持“以应用为目的,以够用为度”的原则;坚持理论联系实际

的原则;坚持知识性与直观性相结合的原则。突出实际应用,注重培养学

生自行学习数学知识以及应用数学知识和方法分析问题与解决问题的能

力,力求做到文字简练、深入浅出、通俗易懂,使读者在没有他人指导的情

况下也能读懂教材,轻松获得相关数学知识。

本教材注重学生数学素养的培养,注重学生文化历史的教育,以严谨

的教材结构和严密的内容逻辑,培养学生良好的人格品质,积极践行“立德

树人”教学目标。

本教材适合作为高等职业院校各专业的教材,教学时数为学时左

80

右。教材中带“”的内容可根据学生实际情况进行选择。

*

本教材由河北地质职工大学崔俊明、高茜任主编,河北地质职工大学

王文武、张恩英任副主编,河北地质职工大学韩蕾蕾任主审。各章编写分

工如下:第、、章和第章、、节由崔俊明编写,第、章和第

167523

章、、节由高茜编写,第章、、节由张恩英编写,第

44

章、、节由王文武编写,全书由崔俊明统稿。河北地质职工大

5

ⅱ高等应用数学

学李艳丽为本教材资料收集、文字录入做了许多工作。张家口学院李素芳

教授、张家口职业技术学院赵燕冰教授对本教材的编写提出宝贵建议。在

此对各位同仁的帮助表示衷心的感谢!

由于编者水平有限,编写时间仓促,教材中难免有不当之处,敬请广大

师生不吝赐教,以使本教材进一步完善。

编者

年月

20194

目录

第1章函数、极限与连续………………

1

函数………………

1.11

习题………………

1.115

极限……………

1.216

习题………………

1.224

极限的运算法则………………

1.325

习题………………

1.327

极限存在定理及两个重要极限………………

1.428

习题………………

1.433

无穷小量与无穷大量…………

1.534

习题………………

1.538

函数的连续性…………………

1.639

习题………………

1.645

小结……………………

46

检测题…………………

48

第2章导数与微分……………………

50

导数的概念……………………

2.150

习题………………

2.156

导数的四则运算与反函数的求导法则………

2.256

习题………………

2.259

复合函数和初等函数的导数…………………

2.359

习题………………

2.362

隐函数和参数方程的导数……………………

2.463

习题………………

2.466

高阶导数………………………

2.567

习题………………

2.569

微分……………

2.669

ⅳ高等应用数学

习题………………

2.674

小结……………………

75

检测题…………………

76

第3章导数和微分的应用……………

77

函数单调性的判定……………

3.177

习题………………

3.180

函数的极值及其求法…………

3.280

习题………………

3.284

函数的最大值与最小值………

3.384

习题………………

3.390

曲线的凹凸性与拐点…………

3.491

习题………………

3.494

洛必达法则……………………

3.595

习题………………

3.598

函数图像………………………

3.699

习题……………

3.6103

*导数在经济分析中的应用…………………

3.7103

习题……………

3.7107

微分的应用……………………

3.8107

习题……………

3.8111

小结…………………

111

检测题………………

111

第4章不定积分……………………

113

不定积分的概念………………

4.1113

习题……………

4.1116

不定积分的性质和基本积分公式……………

4.2117

直接积分法……………………

4.3119

习题……………

4.3120

换元积分法……………………

4.4121

习题……………

4.4128

分部积分法……………………

4.5129

目录ⅴ

习题……………

4.5133

简易积分表的使用……………

4.6133

习题……………

4.6136

小结…………………

136

检测题………………

136

第5章定积分及其应用……………

138

定积分的概念…………………

5.1138

习题……………

5.1142

定积分的性质…………………

5.2143

习题……………

5.2146

微积分基本公式………………

5.3146

习题……………

5.3151

定积分的换元积分法与分部积分法…………

5.4152

习题……………

5.4157

定积分的应用…………………

5.5158

习题……………

5.5165

*广义积分……………………

5.6166

习题……………

5.6170

小结…………………

171

检测题………………

171

第6章无穷级数……………………

173

常数项级数……………………

6.1173

习题……………

6.1182

幂级数…………

6.2183

习题……………

6.2187

小结…………………

187

检测题………………

187

第7章微分方程……………………

189

微分方程基本概念……………

7.1189

习题……………

7.1191

一阶微分方程…………………

7.2192

ⅵ高等应用数学

习题……………

7.2198

二阶常系数齐次线性微分方程………………

7.3199

习题……………

7.3202

小结…………………

203

检测题………………

203

总复习题………………

205

期末检测题1…………

208

期末检测题2…………

210

附录……………………

231

附录积分表……………………

A213

附录部分习题和检测题参考答案……………

B224

参考文献………………

234

第1章

函数、极限与连续

函数是现代数学的基本概念之一是高等数学的主要研究对象极限概念是微积

,.

分学的理论基础极限方法是微积分学的基本分析方法因此掌握运用好极限方法

,,,、

是学好微积分的关键连续是函数的一个重要性质本章将介绍函数极限与连续的基

..、

础知识和有关的基本方法

.

1.1函数

大家在中学阶段已经学习过一次函数二次函数等概念为学好高等数学下面复

、,,

习函数的相关概念

.

1函数的定义

.

定义1设D为一个非空实数集合若存在确定的对应法则f使得对于数集D

,,

中的任意一个数x按照某种定义法则都有唯一确定的实数与之对应则称是

,fy,y

x定义在集合D上的函数记作

,

yfxxD.

=(),∈

其中x称为自变量y称为因变量数集D称为该函数的定义域也可记为Df

,,,,.

如果对于自变量x的某个确定的值xD因变量y能够得到一个确定的值

0∈,

y那么就称函数yfx在x处有定义并把y称为函数在xx处的函数

0,=()0,0=0

值记为

,

yfxxxfx

0=()=0=(0).

当自变量取遍D的所有数值时对应函数值的全体构成的集合称为函数yf

,=

x的值域记为M或D即

(),f(),

MfDyyfxxD.

=()={=(),∈}

注:函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素两个函数相同的充要条件是

.

它们的定义域和对应法则均相同

.

表示函数的记号是可以任意选取的除了常用的外还可用其他的英文字母或

,f,

希腊字母如gFΦ等相应地函数可记作ygxyFxyΦx等有

,“”“”“”,,=(),=(),=().

2高等应用数学

时还可直接用因变量的记号来表示函数即把函数记作yyx当在同一个问题中

,=().

讨论到几个不同的函数时为了表示区别需用不同的记号来表示它们

,,.

2函数的定义域

.

函数的定义域通常可以按以下两种情形来确定一种是对有实际背景的函数其

:,

定义域根据变量的实际意义确定另一种是对抽象地用表达式表达的函数通常约定

;,

这种函数的定义域是使得函数表达式有意义的一切实数组成的集合这种定义域也称

,

函数的自然定义域

.

注:在这种约定之下一般地用表达式表达的函数可用yfx表示而不必再

,,=(),

写出函数定义域Df

.

例1确定函数

fxxx2x

()=3+2-+ln(-2)

的定义域

.

解该函数的定义域应为满足不等式组

xx2

3+2-≥0

{x

-2>0

的x值的全体解此不等式组得其定义域为xx即

,,{2<≤3},(2,3].

函数定义域可以用集合区间形式来表示下面我们介绍一种常用的集合邻域的定义

、..

定义2设a与δ是两个实数且δ数集xaδxaδ称为点a的δ邻

,>0,{-<<+}

域记为

,

Uaδxaδxaδ.

(,)={-<<+}

其中点a称为该邻域的中心δ称为该邻域的半径

,,.

由于aδxaδ相当于xaδ因此

-<<+-<,

Uaδxxaδaδaδ.

(,)={-<}=(-,+)

若把邻域Uaδ的中心去掉所得到的邻域称为点a的去心δ邻域记为Uaδ即

(,),,^(,),

Uaδxxaδaδaaaδ.

^(,)={0<-<}=(-,)∪(,+)

为了使用方便有时把开区间aδa称为点a的左δ邻域把开区间aaδ

,(-,),(,+)

称为点a的右δ邻域

.

Uaδ的几何意义是以a为中心δ为半径的开区间aδaδ如图所

(,):、(-,+),111

示

.

图

111

第章函数、极限与连续3

1

Uaδ的几何意义是以a为中心δ为半径的开区间去掉中心点a的开区间

^(,):、

aδaaaδ如图所示

(-,)∪(,+),112.

图

112

3函数的表示法

.

列表法

1)

列表法是将自变量的值与对应的函数值列成表格的方法

.

图像法

2)

图像法是在坐标系中用图形来表示函数关系的方法

.

公式法解析法

3)()

公式法是将自变量和因变量之间的函数关系用数学表达式又称解析式来表示

()

的方法

.

4分段函数

.

定义3函数在定义域的不同范围内具有不同的解析表达式我们把这样的函

,,

数称为分段函数

.

下面来看几个分段函数的例子

.

绝对值函数

1)

x当x

yx≥0

=={x当x

-<0

的定义域为D值域Rf如图所示

=(-∞,+∞),=[0,+∞),113.

符号函数

2)

ì当x

ï1>0

yxí当x

=sgn=ï0=0

î当x

-1<0

的定义域为D值域Rf如图所示

=(-∞,+∞),={-1,0,1},114.

图图

113114

4高等应用数学

狄利克雷函数

3)

当x是有理数时

yDx1

=()={当x是无理数时

0

的定义域为D值域Rf狄利克雷函数的图像很难画出

=(-∞,+∞),={0,1}..

例2设旅客乘坐火车可免费携带不超过的物品超过而不超过

20kg,20kg

的部分交费a元超过的部分交费b元求运费与携带物品质量的

50kg/kg,50kg/kg,

函数关系

.

解设物品质量为x应交运费为y元由题意可知这时应考虑三种情况

kg,.,:

情况一质量不超过这时

:20kg,

yx

=0,∈[0,20];

情况二质量大于但不超过这时

:20kg50kg,

yxax

=(-20)×,∈(20,50];

情况三质量超过这时

:50kg,

yaxbx.

=(50-20)×+(-50)×,∈(50,+∞)

因此所求的函数是一个分段函数

,

ì当x

ï0∈[0,20]

yíax当x.

=ï(-20)∈(20,50]

îabx当x

(50-20)+(-50)∈(50,+∞)

5反函数

.

函数关系的实质就是从定量分析的角度来描述运动过程变量之间的相互依赖关

系但在研究过程中哪个作为自变量哪个作为因变量函数是由具体问题来决定

.,,(),

的例如设某做匀速直线运动的物体的运动速度为v运动时间为t则其位移s是

.,,,

时间t的函数svt这里t是自变量s是因变量若已知位移s反过来求时间t则有

:=,,;,,

s

t此时s是自变量t是因变量以上两式是同一个关系的两种写法但从函数的

=v,,.,

观点看由于对应法则不同它们是两个不同的函数常称它们是互为反函数

,,,.

一般地有如下定义

,:

定义4yfx是定义在D上的函数其值域为M若对于数集M中的每个数

=(),,

y数集D中都有唯一的一个数x使yfx这就是说变量x