高二数学二项式定理知识精讲

wordword/word高二数学二项式定理【本讲主要内容】二项式定理二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数的性质、二项式系数和【知识掌握】【知识点精析】1.二项式定理及其特例：（1）（2）2.二项展开式的通项公式：3.杨辉三角：展开式的二项式系数，当依次取…时，。4.二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，，，…，。可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（证明：）。直线是图象的对称轴。（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值。（3）二项式系数和：证明：∵，令，则（4）在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式中，令，则，即，∴，即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。说明：由性质（3）知【解题方法指导】例1.展开。剖析：按照二项式定理逐项展开解：注意：最终结果要将同类项进行合并。例2.（1）求的展开式常数项；（2）求的展开式的中间两项。剖析：运用二项展开式的通项公式解题。解：∵，∴（1）当时展开式是常数项，即常数项为；（2）的展开式共项，它的中间两项分别是第项、第项，，注意：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性。例3.已知，求：（1）；（2）；（3）。剖析：当时，展开式即是系数和。解：（1）当时，，展开式右边为∴，当时，，∴（2）令，①令，②①②得：，∴。（3）由展开式知：均为负，均为正，∴由（2）中①＋②得：，∴，∴注意：“赋值法”是求二项式展开式中各项系数和的常用方法。【考点突破】有关二项式定理的试题在高考中每年一道题，其中以求展开式中的某一项或某一项的系数较多，也就是对展开式的通项公式的运用较多。二项式定理中的二项式系数，近似计算，部分组合数的和也是高考命题的新动向。【考点指要】排列、组合在高考试题中所占比例不重，且基本为选择题和填空题，但极易出错。对于选择题，由于考虑问题的出发点不同，处理问题的手法不同，符合答案的形式就会不同，所以解题时要慎重。【典型例题分析】例1.在的展开式中，的系数为分析：由通项公式求特定项系数。解：所以的系数为例2.在的展开式中，的幂的指数是整数的项共有（）A.3项B.4项C.5项D.6项分析：由通项公式求特定项系数，有理项时要注意到指数及项数的整数性。解：选C。，∴，即。而。∴。例3.在（x－）2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于（）A.23008 B.－23008 C.23009 D.－2解：设（x－）2006＝a0x2006＋a1x2005＋…＋a2005x＋a2006则当x＝时，有a0（）2006＋a1（）2005＋…＋a2005（）＋a2006＝0（1）当x＝－时，有a0（）2006－a1（）2005＋…－a2005（）＋a2006＝23009（2）（1）－（2）有a1（）2005＋…＋a2005（）＝－230092＝－23008故选B【达标测试】一、选择题1.在(a－b)n(n∈N＋)展开式中，第r项的系数为()A.CB.CC.(－1)rCD.(－1)4-1C2.在(1－x)n展开式中，第5项的二项式系数和第七项的二项式系数相等，则n＝（）A.8B.9C.10D.113.二项式（a＋b）2n(n∈N＋)的展开式中，二项式系数最大的项是（）A.第n项B.第n＋1项C.第n＋2项D.不确定4.在(a＋b)n展开式中与第k项系数相同的项是（）A.第n－k项B.第n－k＋1项C.第n－k＋2项D.第n＋k－1项5.C＋3C＋9C＋…＋3nC的值等于（）A.4B.3·4C.-1D.6.C＋C＋…＋C的值为（）A.2048B.1024C.1023D.5127.若n是正奇数，则7＋C7＋C7＋…C·7被9除的余数为（）A.2B.5C.7D.88.（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）10展开式中X4的系数为（）A.CB.CC.CD.C9.若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（）A.4B.5C.6D.810.某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上二、填空题11.（a-b）n展开式中第r项为。12.0.955精确到0.01的近似值为。13.（2X＋3Y）28展开式中系数最大的项是第项。14.展开式中的系数为，各项系数之和为。15.多项式（）的展开式中，的系数为。三、解答题：16.（1）求的展开式的第四项的系数；（2）求的展开式中的系数及二项式系数。17.求(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)10展开式中x3的系数。18.已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大。求展开式中二项式系数最大的项。【综合测试】一、选择题1.展开式中常数项是（）A.第4项B.C.D.22.(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是（）A.－2048B.－1023C.－1024D.10243.（2005全国卷Ⅲ）在(x−1)(x＋1)8的展开式中x5的系数是(B)A.−14B.14C.−28D.284.（2005某某卷）的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（）A.4项 B.3项 C.2项 D.1项5.展开式中有理项的项数是（）A.4B.5C.6D.76.(2005某某)如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A.7B.C.21D.7.(2005某某卷)在(1＋2x)n展开式中含x3的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于()A.5 B.7 C.9 D.118.若与同时有最大值，则m等于（）A.4或5B.5或6C.3或4D.59.设(2x-3)4=，则a0＋a1＋a2＋a3的值为（）A.1B.16C.-15D.1510.展开式中的中间两项为（）A.B.C.D.二、填空题11.的展开式中二项式系数的和为，各项系数的和为，二项式系数最大的项为第项。12.的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为。13.在展开式中，x5y2的系数是。14.的展开式中的有理项是展开式的第项。15.(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是。16.＋＋＋，则。三、解答题17.求(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)10展开式中x3的系数。18.自然数n为偶数时，求证：19.求被9除的余数。20.已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14：3，求展开式的常数项。达标测试答案一、选择题1.D2.C提示：3.B提示：当是偶数时，中间一项取得最大值4.C5.A提示：=C+3C+9C+…+3nC6.C提示：7.C8.A提示：由展开式通项公式求特定项系数。9.B10.C二、填空题11.12.0.7813.1814.45,015.0提示：三、解答题16.解：的展开式的第四项是，∴的展开式的第四项的系数是。（2）∵的展开式的通项是，∴，，∴的系数，的二项式系数17.解：＝，∴原式中实为这分子中的，则所求系数为。18.解：令，则展开式中各项系数和为，又展开式中二项式系数和为，∴，。∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，∴，。【综合测试答案】一、选择题1.B提示：通项，由，常数项是，选B2.C提示：设f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是，选C。3.B 4.B5.A提示：通项，当r=0，2，4，6时，均为有理项，故有理项的项数为4个，选A6.C 7.A8.A提示：要使最大，因为17为奇数，则或或n=9，若n=8，要使最大，则m==4，若n=9，要使最大，则或或m=5，综上知，m=4或m=5，故选A9.C 10.C二、填空题11.，，12.展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴，13.14.3，9，15，2115.提示：(