尺规作图-作业

浅谈尺规作图在数学教学中的应用〔摘要：在中学数学里，尺规作图是占有非常重要的地位，学生是否能学好尺规作图会对数学思维能力的培养产生至关重要影响。本文浅谈尺规作图在历史中的开展和介绍几种常规的作图方法，分析尺规作图在初等平面几何中的应用，从而在教学中培养学生的思维能力。关键词：尺规作图、轨迹交点法、代数作图法、旋转法作图、位似法作图、面积割补法作图。1.尺规作图：尺规作图是起源于古希腊的数学课题。规定只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。它们是由点、直线、圆三种根本图形复合而成,利用这些图形。用不带刻度的直尺和圆规，来作一些满足某些要求的几何图形。尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同：〔1〕、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度；〔2〕、圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。1.1最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两点可以画一条直线；⑵圆心和半径可以作一圆；⑶两直线；一直线和一圆；或两圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法。用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点。一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否那么，就称为尺规作图不能问题.1.2历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于圆的面积。这三个问题后被称为“几何作图三大问题〞.直至1837年，万芝尔，首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼证明π是一个超越数〔即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数〕，由此即可推得根号π(即当圆半径时所求正方形的边长〕不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题。假设干著名的尺规作图是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论。尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。数学家UnderwoodDudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书。2.下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴轨迹相交法：有些作图题常归结到确定某一个点的位置，而一个点确实立，须有两个条件，于是可以分别做出符合其条件的点的轨迹，那么这两个轨迹的交点就是所求的点。像这样利用轨迹相交来确定点的位置，从而做出符合条件的图形的作图方法叫做轨迹相交法。【例1】电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下列图，按照设计要求，发射塔到两个城镇、的距离必须相等，到两条高速公路、的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点应满足两个条件，一是在线段的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点应是它们的交点.⑴作两条公路夹角的平分线或；⑵作线段的垂直平分线；那么射线，与直线的交点，就是发射塔的位置。【例2】作一个三角形的内切圆。：ΔABC求作ΔABC内切于⊙O作法：〔1〕分别作∠ABC和∠ACB的平分线交于O〔此时O为交轨点〕(2)以O为圆心、O到BC的距离OD为半径作圆；那么⊙O为所求的圆。如下图；【分析】此题只要是一道作图题，只要是能找出半径，那么可以作出所要的图形。利用角的平分线的性质，可以找到圆心。⑵代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤。用这种方法作图称为代数作图法。代数法的一般解题步骤是：=1\*alphabetica：用字母表示题中某些的和未知〔欲求〕的量；=2\*alphabeticb：依据给定条件和及定理，找出量和未知量之间的数量关系，列出方程或者方程组；=3\*alphabeticc：解此方程或者方程组，求出根的表达式，必要时，把根的表达式变形，使之与作图成法中的式子类似；d：按根的表达式，做出根所对应的线段：e：再进一步完成满足全部条件的图形。【例3】：：ΔABC，作ΔABC的顶点A所对边BC的平行线EF，使得截成的两局部面积之比为1：3。【分析】：如图，要作出EF，关键在于AB上求作点E,过E作BC的平行线那么可。有题设可得：S△AEF：S△EBCF=1：3,，即S△AEF：S△ABC=1：4，由于相似三角形面积之比于比的平方，可得，AE=0.5AB.因此E是AB的终点，问题片可以解决。【例4】用圆规，不许用直尺，四等分圆周〔圆心〕.设半径为，可算出其内接正方形边长为，也就是说用这个长度去等分圆周。我们的任务就是做出这个长度。六等分圆周时会出现一个的长度。设法构造斜边为，一直角边为的直角三角形，的长度自然就出来了.具体做法：⑴随便画一个圆，设半径为1；⑵先六等分圆周.这时隔了一个等分点的两个等分点距离为.⑶以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.〔“两个相对的等分点〞其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点〞形成的是一个底为2，腰为的等腰三角形.可算出顶点距圆心距离就是.〕⑷以的长度等分圆周就可以啦！⑶旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.：直线、、，且.求作：正，使得、、三点分别在直线、、上.假设是正三角形，且顶点、、三点分别在直线、、上.作于，将绕点逆时针旋转后，置于的位置，此时点的位置可以确定.从而点也可以确定.再作，点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.作法：⑴在直线上取一点，过作于点；⑵以为一边作正三角形；⑶过作，交直线于；⑷以为圆心，为半径作弧，交于(使与在异侧).⑸连接、、得.即为所求.⑷位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例5】：一锐角.求作:一正方形，使得、在边上，在边上，在边上.先放弃一个顶点在边上的条件，作出与正方形位似的正方形，然后利用位似变换将正方形放大〔或缩小〕得到满足全部条件的正方形.作法：⑴在边上任取一点，过作于⑵以为一边作正方形，且使在的延长线上.⑶作直线交于.⑷过分别作交于；作交于.⑸过作交于.那么四边形即为所求.⑸面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例6】如图，过的底边上一定点，，求作一直线，使其平分的面积.因为中线平分的面积，所以首先作中线，假设平分的面积，在中先割去，再补上.只要，那么和就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以就平分了的面积.作法：⑴取中点，连接;⑵过作交于；⑶过、作直线.直线即为所求.：3.结束语尺规作图是平面几何极其重要的一局部，是数学美的一种直观形式表现。在数学这门课程中，能够思维启发思维的一重要工具，它不仅对古人