山东省各市中考数学分类解析：三角形

山东各市中考数学试题分类解析汇编选择题1.〔2023山东滨州3分〕把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦函数值【】A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定【答案】A。【考点】锐角三角函数的定义。【分析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变。应选A。2.〔2023山东德州3分〕为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有【】A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】C。【考点】解直角三角形的应用，相似三角形的应用。【分析】此题比拟综合，要多方面考虑：①∵知道∠ACB和BC的长，∴可利用∠ACB的正切直接求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切设方程组求出AB；③∵△ABD∽△EFD，∴可利用相似三角形对应边成比例，求出AB；④无法求出A，B间距离。因此共有3组可以求出A，B间距离。应选C。3.〔2023山东济南3分〕如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，假设△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，那么tan∠ACB的值为【】A．B．C．D．3【答案】A。【考点】网格问题，锐角三角函数的定义。【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解：由图形知：tan∠ACB=。应选A。4.〔2023山东济宁3分〕用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如下图，那么能说明∠AOC=∠BOC的依据是【】A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等【答案】A。【考点】作图〔根本作图〕，全等三角形的判定和性质。【分析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案：在△ONC和△OMC中，ON=OM，NC=MC，OC=OC，∴△ONC≌△OMC〔SSS〕。∴∠AOC=∠BOC。应选A。5.〔2023山东聊城3分〕如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，那么以下结论不正确的选项是【】A．BC=2DEB．△ADE∽△ABCC．D．S△ABC=3S△ADE【答案】D。【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】根据三角形的中位线定理得出DE是△ABC的中位线，再由中位线的性质得出△ADE∽△ABC，进而可得出结论：∵在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴BC=2DE。故A正确。∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故B正确。∵△ADE∽△ABC，∴，故C正确。∵DE是△ABC的中位线，∴AD：BC=1：2，∴S△ABC=4S△ADE，故D错误。应选D。.6.〔2023山东泰安3分〕如图，为测量某物体AB的高度，在在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，那么物体ABA．米B．10米C．米D．米【答案】A。【考点】解直角三角形的应用〔仰角俯角问题〕，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】∵在直角三角形ADC中，∠D=30°，∴=tan30°。∴BD=。∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，∴BC=。∵CD=20，∴CD=BD﹣BC=。解得：AB=。应选A。7.〔2023山东泰安3分〕如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，假设AB=5，CD=3，那么EF的长是【】A．4B．3C．2D．【答案】D。【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。【分析】连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE。∵E是AC中点，∴DE=EH。∴△DCE≌△HAE〔AAS〕。∴DE=HE，DC=AH。∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线。∴EF=BH。∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2。∴EF=1。应选D。8.〔2023山东烟台3分〕如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1．假设将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，那么以下结论正确的选项是【】A．h2=2h1B．h2=1.5h1C．h2=h1D．h2=h1【答案】C。【考点】三角形中位线定理。【分析】直接根据三角形中位线定理进行解答即可：如下图：∵O为AB的中点，OC⊥AD，BD⊥AD，∴OC∥BD，∴OC是△ABD的中位线。∴h1=2OC。同理，当将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，那么h2=2OC。∴h1=h2。应选C。9.〔2023山东枣庄3分〕如图，直角三角板ABC的斜边AB=12㎝，∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板的位置后，再沿CB方向向左平移，使点落在原三角板ABC的斜边AB上，那么三角板平移的距离为【】A.6㎝B.4㎝C.〔6－〕㎝D.〔〕㎝【答案】C。【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，旋转的性质。【分析】如图，过B′作B′D⊥AC，垂足为B′，∵在Rt△ABC中，AB=12，∠A=30°，∴BC=AB=6，AC=AB•sin30°=。由旋转的性质可知B′C=BC=6，∴AB′=AC－B′C=。在Rt△AB′D中，∵∠A=30°，∴B′D=AB′•tan30°=〔cm〕。应选C。二、填空题1.〔2023山东滨州4分〕如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，那么∠C=▲°．【答案】40。【考点】三角形的外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质。【分析】∵AB=AD，∠BAD=20°，∴∠B=。∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°。∵AD=DC，∴∠C=。2.〔2023山东滨州4分〕如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形：▲〔用相似符号连接〕．【答案】△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE。【考点】相似三角形的判定。【分析】〔1〕在△BDE和△CDF中，∵∠BDE=∠CDF，∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE∽△CDF；〔2〕在△ABF和△ACE中，∵∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF∽△ACE。3.〔2023山东济宁3分〕在△ABC中，假设∠A、∠B满足|cosA﹣|+〔sinB﹣〕2=0，那么∠C=▲．【答案】75°。【考点】非负数的性质，绝对值，偶次方，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理。【分析】∵|cosA﹣|+〔sinB﹣〕2=0，∴cosA﹣=0，sinB﹣=0。∴cosA=，sinB=。∴∠A=60°，∠B=45°。∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°。4.〔2023山东济宁3分〕如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE=AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，那么tan∠AEO=▲．【答案】。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，AB=BC。∵BF⊥AC，∴∠ABF=∠ABC=30°。∵AB=AC，AE=AC，∴AB=AE。∵AO平分∠BAE，∴∠BAO=∠EAO。∵在△BAO和△EAO中，AB=AE，∠BAO=∠EAO，AO=AO，∴△BAO≌△EAO〔SAS〕。∴∠AEO=∠ABO=30°。∴tan∠AEO=tan30°=。5.〔2023山东临沂3分〕在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，假设EF=5cm，那么AE=▲cm．【答案】3。【考点】全等三角形的判定和性质。【分析】∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°。∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°。∴∠ECF=∠B，在△ABC和△FEC中，∵∠ECF=∠B，EC=BC，∠ACB=∠FEC=90°，∴△ABC≌△FEC〔ASA〕。∴AC=EF。∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，∴AE=5﹣2=3cm。6.〔2023山东潍坊3分〕如下图，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件▲，使ΔABC≌ΔDBE．(只需添加一个即可)【答案】∠BDE=∠BAC〔答案不唯一〕。【考点】全等三角形的判定，开放型。【分析】根据∠ABD=∠CBE可以证明得到∠ABC=∠DBE，然后根据利用的证明方法，“ASA〞“SAS〞“AAS〞分别写出第三个条件即可：∵∠ABD=∠CBE，∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，即∠ABC=∠DBE。∵AB=DB，∴①用“ASA〞，需添加∠BDE=∠BAC；②用“SAS〞，需添加BE=BC；③用“AAS〞，需添加∠ACB=∠DEB。7.〔2023山东烟台3分〕计算：tan45°+cos45°=▲．【答案】2。【考点】特殊角的三角函数值，二次根式的计算。【分析】把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的计算即可求解：原式=1+=2。8.〔2023山东枣庄4分〕如下图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，假设AB＝5，BC＝8，那么EF的长为▲_．【答案】。【考点】三角形中位线的性质，直角三角形斜边上中线的性质。【分析】由于DE为△ABC的中位线，BC＝8，从而根据三角形中位线平行于第三边并且等于第三边一半的性质，得DE＝4；又由于∠AFB＝90°，点D为AB的中点，AB＝5，从而根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，得DF＝。因此EF＝DE－DF＝4－＝。三．解答题1.〔2023山东滨州12分〕如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．〔1〕求证：△ADF≌△CBE；〔2〕求正方形ABCD的面积；〔3〕如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．2.〔2023山东东营9分〕如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？〔参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈〕【答案】解：根据题意得：PC⊥AB，设PC=x海里．在Rt△APC中，∵，∴。在Rt△PCB中，∵，∴。∵AC+BC=AB=21×5，∴，解得x=60。∵，∴〔海里〕。∴向阳号轮船所处位置B与城市P的距离为100海里【考点】解直角三角形的应用〔方向角问题〕，锐角三角函数定义。【分析】根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中与Rt△PCB中，利用正切函数求得出AC与BC的长，由AB=21×5，即可得方程，解此方程即可求得x的值，从而求得答案。3.〔2023山东菏泽6分〕如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：，使△ABC∽△ADE．【答案】解：∠D=∠B或∠AED=∠C。【考点】相似三角形的判定。【分析】根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可。4.〔2023山东菏泽10分〕如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成以下各题：〔1〕试证明三角形△ABC为直角三角形；〔2〕判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；〔3〕画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似〔要求：用尺规作图，保存痕迹，不写作法与证明〕．【答案】解：〔1〕根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5；显然有AB2+AC2=BC2，∴根据勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形。〔2〕△ABC和△DEF相似。理由如下：根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5，DE=4，DF=2，EF=2。∴。∴△ABC∽△DEF。〔3〕如图：【考点】勾股定理的逆定理，相似三角形的判定，相似变换作图。【分析】〔1〕利用网格借助勾股定理得出AB=2，AC=，BC=5，再利用勾股定理逆定理得出答案即可。〔2〕求出AB=2，AC=，BC=5，DE=4，DF=2，EF=2，利用三角形三边比值关系得出即可。〔3〕根据△P2P4P5三边与△ABC三边长度得出答案即可：连接P2P5，P2P4，P4P5，∵P2P5=，P2P4=，P4P5=2，AB=2，AC=，BC=5，DE=4，∴。∴△ABC∽△P2P4P5。5.〔2023山东莱芜9分〕某市规划局方案在一坡角为16º的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意图如下图．支架AC与斜坡AB的夹角为28º，支架BD⊥AB于点B，且AC、BD的延长线均过⊙O的圆心，AB＝12m，⊙O的半径为1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离(结果精确到0.01m，参考数据：cos28º≈0.9，sin62º≈0.9，sin44º≈0.7，cos46º≈0.7)．【答案】解：如图，过点O作水平地面的垂线，垂足为点E。在Rt△AOB中，，即，∴。∵∠BAE=160，∴∠OAE=280＋160=440。在Rt△AOE中，，即，∴9.333＋1.5=10.833≈10.83〔m〕。答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为10.83m。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】如图，过点O作水平地面的垂线，构造Rt△AOE。解Rt△AOB，求出OA；解Rt△AOE，求出OE，即可得出雕塑最顶端到水平地面的垂直距离。6.〔2023山东聊城7分〕周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船〔如图〕．小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处．在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米〔精确到米〕？〔参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73〕【答案】解：作PD⊥AB于点D，由得PA=200米，∠APD=30°，∠B=37°在Rt△PAD中，由cos30°=，得PD=PAcos30°=200×=100〔米〕。在Rt△PBD中，由sin37°=，得PB=〔米〕。答：小亮与妈妈的距离约为288米【考点】解直角三角形的应用〔方向角问题〕，锐角三角函数。【分析】作PD⊥AB于点D，分别在直角三角形PAD和直角三角形PBD中求得PD和PB即可求得结论。7.〔2023山东青岛8分〕如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22º时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45º时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上)．(1)求教学楼AB的高度；(2)学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离(结果保存整数)．(参考数据：sin22º≈，cos22º≈，tan22º≈)【答案】解：〔1〕过点E作EM⊥AB，垂足为M。设AB为x．在Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x。∴BC=BF＋FC=x＋13。在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB－BM=AB－CE=x－2，又∵，∴，解得：x≈12。∴教学楼的高12m。〔2〕由〔1〕可得ME=BC=x+13≈12+13=25。在Rt△AME中，，∴AE=MEcos22°≈。∴A、E之间的距离约为27m。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】〔1〕首先构造直角三角形△AEM，利用，求出即可。〔2〕利用Rt△AME中，，求出AE即可。8.〔2023山东泰安8分〕如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．〔1〕线段BH与AC相等吗？假设相等给予证明，假设不相等请说明理由；〔2〕求证：BG2﹣GE2=EA2．【答案】解：〔1〕线段BH与AC相等。证明如下：∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，∴DB=DC，∠ABE=∠DCA，在△DBH和△DCA中，∵∠DBH=∠DCA，BD=CD，∠BDH=∠CDA，∴△DBH≌△DCA〔ASA〕。∴BH=AC。〔2〕证明：连接CG，∵F为BC的中点，DB=DC，∴DF垂直平分BC。∴BG=CG。∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴∠AEB=∠CEB。在△ABE和△CBE中，∵∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE，∴△ABE≌△CBE〔ASA〕。∴EC=EA。在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2﹣GE2=EC2。∴BG2﹣GE2=EA2。【考点】全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理。【分析】〔1〕根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根据ASA证出△DBH≌△DCA即可。〔2〕根据DB=DC和F为BC中点，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案。9.〔2023山东威海11分〕探索发现：：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N。〔1〕如图=1\*GB3①，如果AD=BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线；〔2〕如图=2\*GB3②，如果AD≠BC，那么线段AM与BM是否相等？请说明理由。学以致用：仅用直尺〔没有刻度〕，试作出图=3\*GB3③中的矩形ABCD的一条对称轴。〔写出作图步骤，保存作图痕迹〕【答案】解：〔1〕证明：∵AD=BC，CD∥AB，∴AC=BD，∠DAB=∠CBA。∴AE=BE。∴点E在线段AB的垂直平分线上。在△ABD和△BAC中，∵AB=BA，AD=BC，AC=BD，∴△ABD≌△BAC〔SSS〕。∴∠DBA=∠CAB。∴OA=OB。∴点O在线段AB的垂直平分线上。∴直线EM是线段AB的垂直平分线。〔2〕相等。理由如下：∵CD∥AB，∴△EDN∽△EAM，△ENC∽△EMB，△EDC∽△EAB。∴。∴。∴。∵CD∥AB，∴△OND∽△OMB，△ONC∽△OMA，△OCD∽△OAB。∴。∴。∴。∴。∴AM2=BM2。∴AM=BM。〔3〕作图如下：作法：①连接AC，BD，两线相交于点O1；②在梯形ABCD外DC上方任取一点E，连接EA，EB，分别交DC于点G，H；③连接BG，AH，两线相交于点O2；④作直线EO2，交AB于点M；⑤作直线MO1。那么直线MO1。就是矩形ABCD的一条对称轴。【考点】平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定，复杂作图。【分析】〔1〕一方面由可得点E在线段AB的垂直平分线上；另一方面可由SSS证明△ABD≌△BAC，从而得∠DBA=∠CAB，因此OA=OB，得出点O在线段AB的垂直平分线上。从而直线EM是线段AB的垂直平分线。〔2〕一方面由CD∥AB，得△EDN∽△EAM，△ENC∽△EMB，△EDC∽△EAB，利用对应边成比例可得；另一方面由CD∥AB，得△OND∽△OMB，△ONC∽△OMA，△OCD∽△OAB，利用对应边成比例可得。从而得到，即可得到AM=BM的结论。〔3〕按〔2〕的结论作图即可。10.〔2023山东潍坊10分〕校车平安是近几年社会关注的重大问题，平安隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道上确定点D，使CD与垂直，测得CD的长等于21米，在上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=300，∠CBD=600．(1)求AB的长(精确到0.1米，参考数据：)；(2)本路段对校车限速为40千米／小时，假设测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由．11.〔2023山东烟台10分〕〔1〕问题探究如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD1作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D1M与线段D2〔2〕拓展延伸①如图2，假设将“问题探究〞中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1．作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M，N．D1M=D2②如图3，假设将①中的“正三角形〞改为“正五边形〞，其他条件不变．D1M=D2N图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明〕【答案】解：〔1〕D1M=D2N。证明如下：∵∠ACD1=90°，∴∠ACH+∠D1CK=180°﹣90°=90°。∵∠AHK=∠ACD1=90°，∴∠ACH+∠HAC=90°。∴∠D1CK=∠HAC。在△